MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltaddrp2d Structured version   Unicode version

Theorem ltaddrp2d 11372
Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpgecld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
rpgecld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
ltaddrp2d  |-  ( ph  ->  A  <  ( B  +  A ) )

Proof of Theorem ltaddrp2d
StepHypRef Expression
1 rpgecld.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 rpgecld.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
31, 2ltaddrpd 11371 . 2  |-  ( ph  ->  A  <  ( A  +  B ) )
41recnd 9668 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
52rpcnd 11343 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
64, 5addcomd 9834 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  =  ( B  +  A ) )
73, 6breqtrd 4450 1  |-  ( ph  ->  A  <  ( B  +  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1870   class class class wbr 4426  (class class class)co 6305   RRcr 9537    + caddc 9541    < clt 9674   RR+crp 11302
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-ltxr 9679  df-rp 11303
This theorem is referenced by:  lhop1  22843  cxp2limlem  23766  logdiflbnd  23785  lgamucov  23828  bposlem1  24075  pntpbnd1a  24286  pntibndlem3  24293  pntlemb  24298  pntlemp  24311  2sqmod  28247  madjusmdetlem2  28493  bccolsum  30162  2timesgt  37110  wallispilem4  37499  wallispi  37501  wallispi2lem1  37502  wallispi2lem2  37503  stirlinglem6  37510  stirlinglem7  37511  stirlinglem10  37514  stirlinglem11  37515  dirkertrigeqlem1  37529  fourierdlem42  37580  nnfoctbdjlem  37802
  Copyright terms: Public domain W3C validator