Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltaddpr Structured version   Visualization version   Unicode version

 Description: The sum of two positive reals is greater than one of them. Proposition 9-3.5(iii) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 26-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prn0 9432 . . . . 5
2 n0 3732 . . . . 5
31, 2sylib 201 . . . 4
5 addclpr 9461 . . . . . . . . . . . 12
65adantr 472 . . . . . . . . . . 11
7 df-plp 9426 . . . . . . . . . . . . 13
8 addclnq 9388 . . . . . . . . . . . . 13
97, 8genpprecl 9444 . . . . . . . . . . . 12
109imp 436 . . . . . . . . . . 11
11 elprnq 9434 . . . . . . . . . . . . 13
12 addnqf 9391 . . . . . . . . . . . . . . 15
1312fdmi 5746 . . . . . . . . . . . . . 14
14 0nnq 9367 . . . . . . . . . . . . . 14
1513, 14ndmovrcl 6474 . . . . . . . . . . . . 13
16 ltaddnq 9417 . . . . . . . . . . . . 13
1711, 15, 163syl 18 . . . . . . . . . . . 12
18 prcdnq 9436 . . . . . . . . . . . 12
1917, 18mpd 15 . . . . . . . . . . 11
206, 10, 19syl2anc 673 . . . . . . . . . 10
2120exp32 616 . . . . . . . . 9
2221com23 80 . . . . . . . 8
2322alrimdv 1783 . . . . . . 7
24 dfss2 3407 . . . . . . 7
2523, 24syl6ibr 235 . . . . . 6
26 vex 3034 . . . . . . . . 9
2726prlem934 9476 . . . . . . . 8
2827adantr 472 . . . . . . 7
29 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . . 13
3029biimprcd 233 . . . . . . . . . . . 12
3130con3d 140 . . . . . . . . . . 11
329, 31syl6 33 . . . . . . . . . 10
3332expd 443 . . . . . . . . 9
3433com34 85 . . . . . . . 8
3534rexlimdv 2870 . . . . . . 7
3628, 35mpd 15 . . . . . 6
3725, 36jcad 542 . . . . 5
38 dfpss2 3504 . . . . 5
3937, 38syl6ibr 235 . . . 4
4039exlimdv 1787 . . 3
414, 40mpd 15 . 2
42 ltprord 9473 . . 3
435, 42syldan 478 . 2
4441, 43mpbird 240 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wa 376  wal 1450   wceq 1452  wex 1671   wcel 1904   wne 2641  wrex 2757   wss 3390   wpss 3391  c0 3722   class class class wbr 4395   cxp 4837  (class class class)co 6308  cnq 9295   cplq 9298   cltq 9301  cnp 9302   cpp 9304   cltp 9306 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-ni 9315  df-pli 9316  df-mi 9317  df-lti 9318  df-plpq 9351  df-mpq 9352  df-ltpq 9353  df-enq 9354  df-nq 9355  df-erq 9356  df-plq 9357  df-mq 9358  df-1nq 9359  df-rq 9360  df-ltnq 9361  df-np 9424  df-plp 9426  df-ltp 9428 This theorem is referenced by:  ltaddpr2  9478  ltexprlem7  9485  ltaprlem  9487  0lt1sr  9537  mappsrpr  9550
 Copyright terms: Public domain W3C validator