MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltaddpos Structured version   Unicode version

Theorem ltaddpos 9825
Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
ltaddpos  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <  A  <->  B  <  ( B  +  A ) ) )

Proof of Theorem ltaddpos
StepHypRef Expression
1 0re 9382 . . 3  |-  0  e.  RR
2 ltadd2 9474 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  (
0  <  A  <->  ( B  +  0 )  < 
( B  +  A
) ) )
31, 2mp3an1 1296 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <  A  <->  ( B  +  0 )  <  ( B  +  A ) ) )
4 recn 9368 . . . . 5  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  CC )
54addid1d 9565 . . . 4  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B  +  0 )  =  B )
65adantl 463 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  +  0 )  =  B )
76breq1d 4299 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( B  + 
0 )  <  ( B  +  A )  <->  B  <  ( B  +  A ) ) )
83, 7bitrd 253 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <  A  <->  B  <  ( B  +  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   class class class wbr 4289  (class class class)co 6090   RRcr 9277   0cc0 9278    + caddc 9281    < clt 9414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-ov 6093  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-ltxr 9419
This theorem is referenced by:  ltaddpos2  9826  ltsubpos  9827  posdif  9828  ltaddposi  9885  ltaddposd  9919  ltp1  10163  recreclt  10227  ltaddrp  11019
  Copyright terms: Public domain W3C validator