Theorem ltadd2i 6765

Description: Addition to both sides of 'less than'. (Proof shortened by Paul Chapman, 27-Jan-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	|- A e. RR
lt.2	|- B e. RR
lt.3	|- C e. RR

Assertion

Ref	Expression
ltadd2i	|- (A < B <-> (C + A) < (C + B))

Proof of Theorem ltadd2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. . 3 |- A e. RR
2		lt.2	. . 3 |- B e. RR
3		lt.3	. . 3 |- C e. RR
4		axltadd 6674	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> (A < B -> (C + A) < (C + B)))
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1191	. 2 |- (A < B -> (C + A) < (C + B))
6		axltadd 6674	. . . . . . 7 |- ((B e. RR /\ A e. RR /\ C e. RR) -> (B < A -> (C + B) < (C + A)))
7	2, 1, 3, 6	mp3an 1191	. . . . . 6 |- (B < A -> (C + B) < (C + A))
8		opreq2 4890	. . . . . 6 |- (B = A -> (C + B) = (C + A))
9	7, 8	orim12i 363	. . . . 5 |- ((B < A \/ B = A) -> ((C + B) < (C + A) \/ (C + B) = (C + A)))
10	2, 1	leloei 6750	. . . . 5 |- (B <_ A <-> (B < A \/ B = A))
11	3, 2	readdcli 6487	. . . . . 6 |- (C + B) e. RR
12	3, 1	readdcli 6487	. . . . . 6 |- (C + A) e. RR
13	11, 12	leloei 6750	. . . . 5 |- ((C + B) <_ (C + A) <-> ((C + B) < (C + A) \/ (C + B) = (C + A)))
14	9, 10, 13	3imtr4i 236	. . . 4 |- (B <_ A -> (C + B) <_ (C + A))
15	2, 1	lenlti 6753	. . . 4 |- (B <_ A <-> -. A < B)
16	11, 12	lenlti 6753	. . . 4 |- ((C + B) <_ (C + A) <-> -. (C + A) < (C + B))
17	14, 15, 16	3imtr3i 235	. . 3 |- (-. A < B -> -. (C + A) < (C + B))
18	17	con4i 90	. 2 |- ((C + A) < (C + B) -> A < B)
19	5, 18	impbii 174	1 |- (A < B <-> (C + A) < (C + B))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   = wceq 1298   e. wcel 1300   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884  RRcr 6385   + caddc 6389   <_ cle 6448   < clt 6653

This theorem is referenced by:  ltadd1i 6766  lt2addi 6773  addgt0iOLD 6776  nneoi 7409  sqrlem1 7923  sqrlem10 7932  sqrlem15 7937  sqrlem16 7938  ruclem1 8779  ruclem25 8803  fsumltisumii 15822

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-c 6392  df-r 6396  df-plus 6397  df-lt 6399  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658

Copyright terms: Public domain