MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltadd2dd Structured version   Unicode version

Theorem ltadd2dd 9729
Description: Addition to both sides of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
letrd.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
ltletrd.4  |-  ( ph  ->  A  <  B )
Assertion
Ref Expression
ltadd2dd  |-  ( ph  ->  ( C  +  A
)  <  ( C  +  B ) )

Proof of Theorem ltadd2dd
StepHypRef Expression
1 ltletrd.4 . 2  |-  ( ph  ->  A  <  B )
2 ltd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 ltd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
4 letrd.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
52, 3, 4ltadd2d 9726 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  ( C  +  A )  <  ( C  +  B ) ) )
61, 5mpbid 210 1  |-  ( ph  ->  ( C  +  A
)  <  ( C  +  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1762   class class class wbr 4440  (class class class)co 6275   RRcr 9480    + caddc 9484    < clt 9617
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-resscn 9538  ax-addrcl 9542  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-ltadd 9557
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-ov 6278  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-ltxr 9622
This theorem is referenced by:  eirrlem  13787  prmreclem5  14286  iccntr  21054  icccmplem2  21056  ivthlem2  21592  uniioombllem3  21722  opnmbllem  21738  dvcnvre  22148  cosordlem  22644  efif1olem2  22656  atanlogaddlem  22965  pntibndlem2  23497  pntlemr  23508  dya2icoseg  27874  opnmbllem0  29614  0ellimcdiv  31146  ioodvbdlimc1lem2  31217  stoweidlem11  31266  stoweidlem14  31269  stoweidlem26  31281  stoweidlem44  31299  dirkertrigeqlem3  31355  dirkercncflem1  31358  dirkercncflem2  31359  fourierdlem28  31390  fourierdlem40  31402  fourierdlem50  31412  fourierdlem57  31419  fourierdlem59  31421  fourierdlem68  31430  fourierdlem74  31436  fourierdlem75  31437  fourierdlem76  31438  fourierdlem78  31440  fourierdlem79  31441  fourierdlem111  31473  fouriersw  31487
  Copyright terms: Public domain W3C validator