MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltadd2dd Structured version   Unicode version

Theorem ltadd2dd 9652
Description: Addition to both sides of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
letrd.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
ltletrd.4  |-  ( ph  ->  A  <  B )
Assertion
Ref Expression
ltadd2dd  |-  ( ph  ->  ( C  +  A
)  <  ( C  +  B ) )

Proof of Theorem ltadd2dd
StepHypRef Expression
1 ltletrd.4 . 2  |-  ( ph  ->  A  <  B )
2 ltd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 ltd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
4 letrd.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
52, 3, 4ltadd2d 9649 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  ( C  +  A )  <  ( C  +  B ) ) )
61, 5mpbid 210 1  |-  ( ph  ->  ( C  +  A
)  <  ( C  +  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1826   class class class wbr 4367  (class class class)co 6196   RRcr 9402    + caddc 9406    < clt 9539
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-resscn 9460  ax-addrcl 9464  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-ltadd 9479
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-uni 4164  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4709  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-ov 6199  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-ltxr 9544
This theorem is referenced by:  ccatrn  12515  eirrlem  13939  prmreclem5  14440  iccntr  21411  icccmplem2  21413  ivthlem2  21949  uniioombllem3  22079  opnmbllem  22095  dvcnvre  22505  cosordlem  23003  efif1olem2  23015  atanlogaddlem  23360  pntibndlem2  23893  pntlemr  23904  dya2icoseg  28404  opnmbllem0  30215  binomcxplemdvbinom  31426  zltlesub  31635  0ellimcdiv  31821  ioodvbdlimc1lem2  31895  stoweidlem11  31959  stoweidlem14  31962  stoweidlem26  31974  stoweidlem44  31992  dirkertrigeqlem3  32048  dirkercncflem1  32051  dirkercncflem2  32052  fourierdlem4  32059  fourierdlem10  32065  fourierdlem28  32083  fourierdlem40  32095  fourierdlem50  32105  fourierdlem57  32112  fourierdlem59  32114  fourierdlem60  32115  fourierdlem61  32116  fourierdlem68  32123  fourierdlem74  32129  fourierdlem75  32130  fourierdlem76  32131  fourierdlem78  32133  fourierdlem79  32134  fourierdlem84  32139  fourierdlem93  32148  fourierdlem111  32166  fouriersw  32180
  Copyright terms: Public domain W3C validator