MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltadd2dd Structured version   Unicode version

Theorem ltadd2dd 9744
Description: Addition to both sides of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
letrd.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
ltletrd.4  |-  ( ph  ->  A  <  B )
Assertion
Ref Expression
ltadd2dd  |-  ( ph  ->  ( C  +  A
)  <  ( C  +  B ) )

Proof of Theorem ltadd2dd
StepHypRef Expression
1 ltletrd.4 . 2  |-  ( ph  ->  A  <  B )
2 ltd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 ltd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
4 letrd.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
52, 3, 4ltadd2d 9741 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  ( C  +  A )  <  ( C  +  B ) ) )
61, 5mpbid 210 1  |-  ( ph  ->  ( C  +  A
)  <  ( C  +  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1804   class class class wbr 4437  (class class class)co 6281   RRcr 9494    + caddc 9498    < clt 9631
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-resscn 9552  ax-addrcl 9556  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-ltadd 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-ltxr 9636
This theorem is referenced by:  ccatrn  12585  eirrlem  13814  prmreclem5  14315  iccntr  21199  icccmplem2  21201  ivthlem2  21737  uniioombllem3  21867  opnmbllem  21883  dvcnvre  22293  cosordlem  22790  efif1olem2  22802  atanlogaddlem  23116  pntibndlem2  23648  pntlemr  23659  dya2icoseg  28121  opnmbllem0  30025  zltlesub  31417  0ellimcdiv  31563  ioodvbdlimc1lem2  31633  stoweidlem11  31682  stoweidlem14  31685  stoweidlem26  31697  stoweidlem44  31715  dirkertrigeqlem3  31771  dirkercncflem1  31774  dirkercncflem2  31775  fourierdlem4  31782  fourierdlem10  31788  fourierdlem28  31806  fourierdlem40  31818  fourierdlem50  31828  fourierdlem57  31835  fourierdlem59  31837  fourierdlem60  31838  fourierdlem61  31839  fourierdlem68  31846  fourierdlem74  31852  fourierdlem75  31853  fourierdlem76  31854  fourierdlem78  31856  fourierdlem79  31857  fourierdlem84  31862  fourierdlem93  31871  fourierdlem111  31889  fouriersw  31903
  Copyright terms: Public domain W3C validator