Theorem ltadd2dd 9526

Description: Addition to both sides of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )
letrd.3	|- ( ph -> C e. RR )
ltletrd.4	|- ( ph -> A < B )

Assertion

Ref	Expression
ltadd2dd	|- ( ph -> ( C + A ) < ( C + B ) )

Proof of Theorem ltadd2dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltletrd.4	. 2 |- ( ph -> A < B )
2		ltd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
3		ltd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
4		letrd.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
5	2, 3, 4	ltadd2d 9523	. 2 |- ( ph -> ( A < B <-> ( C + A ) < ( C + B ) ) )
6	1, 5	mpbid 210	1 |- ( ph -> ( C + A ) < ( C + B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1761   class class class wbr 4289  (class class class)co 6090   RRcr 9277   + caddc 9281   < clt 9414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-resscn 9335  ax-addrcl 9339  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-ltadd 9354

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-ov 6093  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-ltxr 9419

This theorem is referenced by:  eirrlem  13482  prmreclem5  13977  iccntr  20357  icccmplem2  20359  ivthlem2  20895  uniioombllem3  21024  opnmbllem  21040  dvcnvre  21450  cosordlem  21946  efif1olem2  21958  atanlogaddlem  22267  pntibndlem2  22799  pntlemr  22810  dya2icoseg  26628  opnmbllem0  28352  stoweidlem11  29731  stoweidlem14  29734  stoweidlem26  29746  stoweidlem44  29764