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Theorem lt6abl 16697
Description: A group with fewer than  6 elements is abelian. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
cygctb.1  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
lt6abl  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  <  6 )  ->  G  e.  Abel )

Proof of Theorem lt6abl
Dummy variables  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cygctb.1 . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  G
)
21grpbn0 15886 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  B  =/=  (/) )
32adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  <  6 )  ->  B  =/=  (/) )
4 6re 10615 . . . . . . . 8  |-  6  e.  RR
5 rexr 9638 . . . . . . . 8  |-  ( 6  e.  RR  ->  6  e.  RR* )
6 pnfnlt 11336 . . . . . . . 8  |-  ( 6  e.  RR*  ->  -. +oo  <  6 )
74, 5, 6mp2b 10 . . . . . . 7  |-  -. +oo  <  6
8 fvex 5875 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  G )  e.  _V
91, 8eqeltri 2551 . . . . . . . . . . . 12  |-  B  e. 
_V
109a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  Grp  ->  B  e.  _V )
11 hashinf 12377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  _V  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  ( # `  B
)  = +oo )
1210, 11sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  ( # `  B
)  = +oo )
1312breq1d 4457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  B )  <  6  <-> +oo 
<  6 ) )
1413biimpd 207 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  B )  <  6  -> +oo  <  6 ) )
1514impancom 440 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  <  6 )  -> 
( -.  B  e. 
Fin  -> +oo  <  6
) )
167, 15mt3i 126 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  <  6 )  ->  B  e.  Fin )
17 hashnncl 12403 . . . . . 6  |-  ( B  e.  Fin  ->  (
( # `  B )  e.  NN  <->  B  =/=  (/) ) )
1816, 17syl 16 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  <  6 )  -> 
( ( # `  B
)  e.  NN  <->  B  =/=  (/) ) )
193, 18mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  <  6 )  -> 
( # `  B )  e.  NN )
20 nnuz 11116 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2119, 20syl6eleq 2565 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  <  6 )  -> 
( # `  B )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
22 6nn 10696 . . . . 5  |-  6  e.  NN
2322nnzi 10887 . . . 4  |-  6  e.  ZZ
2423a1i 11 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  <  6 )  -> 
6  e.  ZZ )
25 simpr 461 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  <  6 )  -> 
( # `  B )  <  6 )
26 elfzo2 11799 . . 3  |-  ( (
# `  B )  e.  ( 1..^ 6 )  <-> 
( ( # `  B
)  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  6  e.  ZZ  /\  ( # `  B )  <  6
) )
2721, 24, 25, 26syl3anbrc 1180 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  <  6 )  -> 
( # `  B )  e.  ( 1..^ 6 ) )
28 df-6 10597 . . . . . . 7  |-  6  =  ( 5  +  1 )
2928oveq2i 6294 . . . . . 6  |-  ( 1..^ 6 )  =  ( 1..^ ( 5  +  1 ) )
3029eleq2i 2545 . . . . 5  |-  ( (
# `  B )  e.  ( 1..^ 6 )  <-> 
( # `  B )  e.  ( 1..^ ( 5  +  1 ) ) )
31 5nn 10695 . . . . . . 7  |-  5  e.  NN
3231, 20eleqtri 2553 . . . . . 6  |-  5  e.  ( ZZ>= `  1 )
33 fzosplitsni 11887 . . . . . 6  |-  ( 5  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( ( # `
 B )  e.  ( 1..^ ( 5  +  1 ) )  <-> 
( ( # `  B
)  e.  ( 1..^ 5 )  \/  ( # `
 B )  =  5 ) ) )
3432, 33ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( (
# `  B )  e.  ( 1..^ ( 5  +  1 ) )  <-> 
( ( # `  B
)  e.  ( 1..^ 5 )  \/  ( # `
 B )  =  5 ) )
3530, 34bitri 249 . . . 4  |-  ( (
# `  B )  e.  ( 1..^ 6 )  <-> 
( ( # `  B
)  e.  ( 1..^ 5 )  \/  ( # `
 B )  =  5 ) )
36 df-5 10596 . . . . . . . . 9  |-  5  =  ( 4  +  1 )
3736oveq2i 6294 . . . . . . . 8  |-  ( 1..^ 5 )  =  ( 1..^ ( 4  +  1 ) )
3837eleq2i 2545 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  B )  e.  ( 1..^ 5 )  <-> 
( # `  B )  e.  ( 1..^ ( 4  +  1 ) ) )
39 4nn 10694 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  NN
4039, 20eleqtri 2553 . . . . . . . 8  |-  4  e.  ( ZZ>= `  1 )
41 fzosplitsni 11887 . . . . . . . 8  |-  ( 4  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( ( # `
 B )  e.  ( 1..^ ( 4  +  1 ) )  <-> 
( ( # `  B
)  e.  ( 1..^ 4 )  \/  ( # `
 B )  =  4 ) ) )
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  B )  e.  ( 1..^ ( 4  +  1 ) )  <-> 
( ( # `  B
)  e.  ( 1..^ 4 )  \/  ( # `
 B )  =  4 ) )
4338, 42bitri 249 . . . . . 6  |-  ( (
# `  B )  e.  ( 1..^ 5 )  <-> 
( ( # `  B
)  e.  ( 1..^ 4 )  \/  ( # `
 B )  =  4 ) )
44 df-4 10595 . . . . . . . . . . 11  |-  4  =  ( 3  +  1 )
4544oveq2i 6294 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1..^ 4 )  =  ( 1..^ ( 3  +  1 ) )
4645eleq2i 2545 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  B )  e.  ( 1..^ 4 )  <-> 
( # `  B )  e.  ( 1..^ ( 3  +  1 ) ) )
47 3nn 10693 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  NN
4847, 20eleqtri 2553 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  ( ZZ>= `  1 )
49 fzosplitsni 11887 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( ( # `
 B )  e.  ( 1..^ ( 3  +  1 ) )  <-> 
( ( # `  B
)  e.  ( 1..^ 3 )  \/  ( # `
 B )  =  3 ) ) )
5048, 49ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  B )  e.  ( 1..^ ( 3  +  1 ) )  <-> 
( ( # `  B
)  e.  ( 1..^ 3 )  \/  ( # `
 B )  =  3 ) )
5146, 50bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  B )  e.  ( 1..^ 4 )  <-> 
( ( # `  B
)  e.  ( 1..^ 3 )  \/  ( # `
 B )  =  3 ) )
52 df-3 10594 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  =  ( 2  +  1 )
5352oveq2i 6294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1..^ 3 )  =  ( 1..^ ( 2  +  1 ) )
5453eleq2i 2545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  B )  e.  ( 1..^ 3 )  <-> 
( # `  B )  e.  ( 1..^ ( 2  +  1 ) ) )
55 2nn 10692 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN
5655, 20eleqtri 2553 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  ( ZZ>= `  1 )
57 fzosplitsni 11887 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( ( # `
 B )  e.  ( 1..^ ( 2  +  1 ) )  <-> 
( ( # `  B
)  e.  ( 1..^ 2 )  \/  ( # `
 B )  =  2 ) ) )
5856, 57ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  B )  e.  ( 1..^ ( 2  +  1 ) )  <-> 
( ( # `  B
)  e.  ( 1..^ 2 )  \/  ( # `
 B )  =  2 ) )
5954, 58bitri 249 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  B )  e.  ( 1..^ 3 )  <-> 
( ( # `  B
)  e.  ( 1..^ 2 )  \/  ( # `
 B )  =  2 ) )
60 elsni 4052 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
# `  B )  e.  { 1 }  ->  (
# `  B )  =  1 )
61 df-2 10593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  =  ( 1  +  1 )
6261oveq2i 6294 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1..^ 2 )  =  ( 1..^ ( 1  +  1 ) )
63 1z 10893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  ZZ
64 fzosn 11853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (
1..^ ( 1  +  1 ) )  =  { 1 } )
6563, 64ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1..^ ( 1  +  1 ) )  =  {
1 }
6662, 65eqtri 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1..^ 2 )  =  {
1 }
6760, 66eleq2s 2575 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  B )  e.  ( 1..^ 2 )  ->  ( # `  B
)  =  1 )
6867adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  e.  ( 1..^ 2 ) )  ->  ( # `
 B )  =  1 )
69 hash1 12434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( # `  1o )  =  1
7068, 69syl6eqr 2526 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  e.  ( 1..^ 2 ) )  ->  ( # `
 B )  =  ( # `  1o ) )
71 1nn0 10810 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  NN0
7268, 71syl6eqel 2563 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  e.  ( 1..^ 2 ) )  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
73 hashclb 12397 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  e.  _V  ->  ( B  e.  Fin  <->  ( # `  B
)  e.  NN0 )
)
749, 73ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  e.  Fin  <->  ( # `  B
)  e.  NN0 )
7572, 74sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  e.  ( 1..^ 2 ) )  ->  B  e.  Fin )
76 1onn 7288 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1o  e.  om
77 nnfi 7710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1o  e.  om  ->  1o  e.  Fin )
7876, 77ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1o  e.  Fin
79 hashen 12387 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  1o  e.  Fin )  -> 
( ( # `  B
)  =  ( # `  1o )  <->  B  ~~  1o ) )
8075, 78, 79sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  e.  ( 1..^ 2 ) )  ->  (
( # `  B )  =  ( # `  1o ) 
<->  B  ~~  1o ) )
8170, 80mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  e.  ( 1..^ 2 ) )  ->  B  ~~  1o )
8210cyg 16695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  ~~  1o )  ->  G  e. CycGrp )
83 cygabl 16693 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G  e. CycGrp  ->  G  e.  Abel )
8482, 83syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  ~~  1o )  ->  G  e.  Abel )
8581, 84syldan 470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  e.  ( 1..^ 2 ) )  ->  G  e.  Abel )
8685ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( # `  B )  e.  ( 1..^ 2 )  ->  G  e.  Abel ) )
87 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  B )  =  2  ->  ( # `
 B )  =  2 )
88 2prm 14091 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  Prime
8987, 88syl6eqel 2563 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  B )  =  2  ->  ( # `
 B )  e. 
Prime )
901prmcyg 16696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  e.  Prime )  ->  G  e. CycGrp )
9190, 83syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  e.  Prime )  ->  G  e.  Abel )
9291ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( # `  B )  e.  Prime  ->  G  e. 
Abel ) )
9389, 92syl5 32 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( # `  B )  =  2  ->  G  e.  Abel ) )
9486, 93jaod 380 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( ( # `  B
)  e.  ( 1..^ 2 )  \/  ( # `
 B )  =  2 )  ->  G  e.  Abel ) )
9559, 94syl5bi 217 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( # `  B )  e.  ( 1..^ 3 )  ->  G  e.  Abel ) )
96 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  B )  =  3  ->  ( # `
 B )  =  3 )
97 3prm 14092 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  Prime
9896, 97syl6eqel 2563 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  B )  =  3  ->  ( # `
 B )  e. 
Prime )
9998, 92syl5 32 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( # `  B )  =  3  ->  G  e.  Abel ) )
10095, 99jaod 380 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( ( # `  B
)  e.  ( 1..^ 3 )  \/  ( # `
 B )  =  3 )  ->  G  e.  Abel ) )
10151, 100syl5bi 217 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( # `  B )  e.  ( 1..^ 4 )  ->  G  e.  Abel ) )
102 simpl 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  =  4 )  ->  G  e.  Grp )
103 2z 10895 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
104 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  (gEx `  G )  =  (gEx
`  G )
105 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( od
`  G )  =  ( od `  G
)
1061, 104, 105gexdvds2 16408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( (gEx `  G
)  ||  2  <->  A. x  e.  B  ( ( od `  G ) `  x )  ||  2
) )
107102, 103, 106sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  =  4 )  -> 
( (gEx `  G
)  ||  2  <->  A. x  e.  B  ( ( od `  G ) `  x )  ||  2
) )
1081, 104gex2abl 16657 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  (gEx `  G )  ||  2 )  ->  G  e.  Abel )
109108ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
(gEx `  G )  ||  2  ->  G  e. 
Abel ) )
110109adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  =  4 )  -> 
( (gEx `  G
)  ||  2  ->  G  e.  Abel ) )
111107, 110sylbird 235 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  =  4 )  -> 
( A. x  e.  B  ( ( od
`  G ) `  x )  ||  2  ->  G  e.  Abel )
)
112 rexnal 2912 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x  e.  B  -.  ( ( od `  G ) `  x
)  ||  2  <->  -.  A. x  e.  B  ( ( od `  G ) `  x )  ||  2
)
113102adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  ->  G  e.  Grp )
114 simprl 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  ->  x  e.  B )
1151, 105odcl 16363 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  B  ->  (
( od `  G
) `  x )  e.  NN0 )
116115ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( ( od `  G ) `  x
)  e.  NN0 )
117 4nn0 10813 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  4  e.  NN0
118117a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
4  e.  NN0 )
119 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  =  4 )  -> 
( # `  B )  =  4 )
120119, 117syl6eqel 2563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  =  4 )  -> 
( # `  B )  e.  NN0 )
121120, 74sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  =  4 )  ->  B  e.  Fin )
122121adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  ->  B  e.  Fin )
1231, 105oddvds2 16391 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  e.  Fin  /\  x  e.  B )  ->  (
( od `  G
) `  x )  ||  ( # `  B
) )
124113, 122, 114, 123syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( ( od `  G ) `  x
)  ||  ( # `  B
) )
125119adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( # `  B )  =  4 )
126124, 125breqtrd 4471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( ( od `  G ) `  x
)  ||  4 )
127 sq2 12231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
128103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
2  e.  ZZ )
129 2nn0 10811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  e.  NN0
130129a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
2  e.  NN0 )
1311, 105odcl2 16390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  e.  Fin  /\  x  e.  B )  ->  (
( od `  G
) `  x )  e.  NN )
132113, 122, 114, 131syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( ( od `  G ) `  x
)  e.  NN )
133 pccl 14231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 2  e.  Prime  /\  (
( od `  G
) `  x )  e.  NN )  ->  (
2  pCnt  ( ( od `  G ) `  x ) )  e. 
NN0 )
13488, 132, 133sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( 2  pCnt  (
( od `  G
) `  x )
)  e.  NN0 )
135134nn0zd 10963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( 2  pCnt  (
( od `  G
) `  x )
)  e.  ZZ )
136 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  ->  -.  ( ( od `  G ) `  x
)  ||  2 )
137 dvdsexp 13900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( 2  pCnt  (
( od `  G
) `  x )
)  e.  NN0  /\  1  e.  ( ZZ>= `  ( 2  pCnt  (
( od `  G
) `  x )
) ) )  -> 
( 2 ^ (
2  pCnt  ( ( od `  G ) `  x ) ) ) 
||  ( 2 ^ 1 ) )
1381373expia 1198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( 2  pCnt  (
( od `  G
) `  x )
)  e.  NN0 )  ->  ( 1  e.  (
ZZ>= `  ( 2  pCnt 
( ( od `  G ) `  x
) ) )  -> 
( 2 ^ (
2  pCnt  ( ( od `  G ) `  x ) ) ) 
||  ( 2 ^ 1 ) ) )
139103, 134, 138sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( 1  e.  (
ZZ>= `  ( 2  pCnt 
( ( od `  G ) `  x
) ) )  -> 
( 2 ^ (
2  pCnt  ( ( od `  G ) `  x ) ) ) 
||  ( 2 ^ 1 ) ) )
140 eluz 11094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( 2  pCnt  (
( od `  G
) `  x )
)  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( 1  e.  (
ZZ>= `  ( 2  pCnt 
( ( od `  G ) `  x
) ) )  <->  ( 2 
pCnt  ( ( od
`  G ) `  x ) )  <_ 
1 ) )
141135, 63, 140sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( 1  e.  (
ZZ>= `  ( 2  pCnt 
( ( od `  G ) `  x
) ) )  <->  ( 2 
pCnt  ( ( od
`  G ) `  x ) )  <_ 
1 ) )
142 oveq2 6291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( n  =  2  ->  (
2 ^ n )  =  ( 2 ^ 2 ) )
143142, 127syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( n  =  2  ->  (
2 ^ n )  =  4 )
144143breq2d 4459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( n  =  2  ->  (
( ( od `  G ) `  x
)  ||  ( 2 ^ n )  <->  ( ( od `  G ) `  x )  ||  4
) )
145144rspcev 3214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  ( ( od `  G ) `  x
)  ||  4 )  ->  E. n  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  ||  ( 2 ^ n ) )
146129, 126, 145sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  ->  E. n  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  ||  ( 2 ^ n ) )
147 pcprmpw2 14263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( 2  e.  Prime  /\  (
( od `  G
) `  x )  e.  NN )  ->  ( E. n  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  ||  ( 2 ^ n )  <->  ( ( od `  G ) `  x )  =  ( 2 ^ ( 2 
pCnt  ( ( od
`  G ) `  x ) ) ) ) )
14888, 132, 147sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( E. n  e. 
NN0  ( ( od
`  G ) `  x )  ||  (
2 ^ n )  <-> 
( ( od `  G ) `  x
)  =  ( 2 ^ ( 2  pCnt 
( ( od `  G ) `  x
) ) ) ) )
149146, 148mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( ( od `  G ) `  x
)  =  ( 2 ^ ( 2  pCnt 
( ( od `  G ) `  x
) ) ) )
150149eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( 2 ^ (
2  pCnt  ( ( od `  G ) `  x ) ) )  =  ( ( od
`  G ) `  x ) )
151 2cn 10605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  2  e.  CC
152 exp1 12139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( 2  e.  CC  ->  (
2 ^ 1 )  =  2 )
153151, 152ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 2 ^ 1 )  =  2
154153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( 2 ^ 1 )  =  2 )
155150, 154breq12d 4460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( ( 2 ^ ( 2  pCnt  (
( od `  G
) `  x )
) )  ||  (
2 ^ 1 )  <-> 
( ( od `  G ) `  x
)  ||  2 ) )
156139, 141, 1553imtr3d 267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( ( 2  pCnt 
( ( od `  G ) `  x
) )  <_  1  ->  ( ( od `  G ) `  x
)  ||  2 ) )
157136, 156mtod 177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  ->  -.  ( 2  pCnt  (
( od `  G
) `  x )
)  <_  1 )
158 1re 9594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  e.  RR
159134nn0red 10852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( 2  pCnt  (
( od `  G
) `  x )
)  e.  RR )
160 ltnle 9663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( 2  pCnt  (
( od `  G
) `  x )
)  e.  RR )  ->  ( 1  < 
( 2  pCnt  (
( od `  G
) `  x )
)  <->  -.  ( 2 
pCnt  ( ( od
`  G ) `  x ) )  <_ 
1 ) )
161158, 159, 160sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( 1  <  (
2  pCnt  ( ( od `  G ) `  x ) )  <->  -.  (
2  pCnt  ( ( od `  G ) `  x ) )  <_ 
1 ) )
162157, 161mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
1  <  ( 2 
pCnt  ( ( od
`  G ) `  x ) ) )
163 nn0ltp1le 10919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 1  e.  NN0  /\  ( 2  pCnt  (
( od `  G
) `  x )
)  e.  NN0 )  ->  ( 1  <  (
2  pCnt  ( ( od `  G ) `  x ) )  <->  ( 1  +  1 )  <_ 
( 2  pCnt  (
( od `  G
) `  x )
) ) )
16471, 134, 163sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( 1  <  (
2  pCnt  ( ( od `  G ) `  x ) )  <->  ( 1  +  1 )  <_ 
( 2  pCnt  (
( od `  G
) `  x )
) ) )
165162, 164mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( 1  +  1 )  <_  ( 2 
pCnt  ( ( od
`  G ) `  x ) ) )
16661, 165syl5eqbr 4480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
2  <_  ( 2 
pCnt  ( ( od
`  G ) `  x ) ) )
167 eluz2 11087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2  pCnt  ( ( od `  G ) `  x ) )  e.  ( ZZ>= `  2 )  <->  ( 2  e.  ZZ  /\  ( 2  pCnt  (
( od `  G
) `  x )
)  e.  ZZ  /\  2  <_  ( 2  pCnt 
( ( od `  G ) `  x
) ) ) )
168128, 135, 166, 167syl3anbrc 1180 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( 2  pCnt  (
( od `  G
) `  x )
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
169 dvdsexp 13900 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  2  e.  NN0  /\  (
2  pCnt  ( ( od `  G ) `  x ) )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( 2 ^ 2 )  ||  ( 2 ^ (
2  pCnt  ( ( od `  G ) `  x ) ) ) )
170128, 130, 168, 169syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( 2 ^ 2 )  ||  ( 2 ^ ( 2  pCnt 
( ( od `  G ) `  x
) ) ) )
171127, 170syl5eqbrr 4481 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
4  ||  ( 2 ^ ( 2  pCnt 
( ( od `  G ) `  x
) ) ) )
172171, 149breqtrrd 4473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
4  ||  ( ( od `  G ) `  x ) )
173 dvdseq 13891 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( od
`  G ) `  x )  e.  NN0  /\  4  e.  NN0 )  /\  ( ( ( od
`  G ) `  x )  ||  4  /\  4  ||  ( ( od `  G ) `
 x ) ) )  ->  ( ( od `  G ) `  x )  =  4 )
174116, 118, 126, 172, 173syl22anc 1229 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( ( od `  G ) `  x
)  =  4 )
175174, 125eqtr4d 2511 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( ( od `  G ) `  x
)  =  ( # `  B ) )
1761, 105, 113, 114, 175iscygodd 16691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  ->  G  e. CycGrp )
177176, 83syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  ->  G  e.  Abel )
178177rexlimdvaa 2956 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  =  4 )  -> 
( E. x  e.  B  -.  ( ( od `  G ) `
 x )  ||  2  ->  G  e.  Abel ) )
179112, 178syl5bir 218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  =  4 )  -> 
( -.  A. x  e.  B  ( ( od `  G ) `  x )  ||  2  ->  G  e.  Abel )
)
180111, 179pm2.61d 158 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  =  4 )  ->  G  e.  Abel )
181180ex 434 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( # `  B )  =  4  ->  G  e.  Abel ) )
182101, 181jaod 380 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( ( # `  B
)  e.  ( 1..^ 4 )  \/  ( # `
 B )  =  4 )  ->  G  e.  Abel ) )
18343, 182syl5bi 217 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( # `  B )  e.  ( 1..^ 5 )  ->  G  e.  Abel ) )
184 id 22 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  B )  =  5  ->  ( # `
 B )  =  5 )
185 5prm 14451 . . . . . . 7  |-  5  e.  Prime
186184, 185syl6eqel 2563 . . . . . 6  |-  ( (
# `  B )  =  5  ->  ( # `
 B )  e. 
Prime )
187186, 92syl5 32 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( # `  B )  =  5  ->  G  e.  Abel ) )
188183, 187jaod 380 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( ( # `  B
)  e.  ( 1..^ 5 )  \/  ( # `
 B )  =  5 )  ->  G  e.  Abel ) )
18935, 188syl5bi 217 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( # `  B )  e.  ( 1..^ 6 )  ->  G  e.  Abel ) )
190189imp 429 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  e.  ( 1..^ 6 ) )  ->  G  e.  Abel )
19127, 190syldan 470 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  <  6 )  ->  G  e.  Abel )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113   (/)c0 3785   {csn 4027   class class class wbr 4447   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   omcom 6679   1oc1o 7123    ~~ cen 7513   Fincfn 7516   CCcc 9489   RRcr 9490   1c1 9492    + caddc 9494   +oocpnf 9624   RR*cxr 9626    < clt 9627    <_ cle 9628   NNcn 10535   2c2 10584   3c3 10585   4c4 10586   5c5 10587   6c6 10588   NN0cn0 10794   ZZcz 10863   ZZ>=cuz 11081  ..^cfzo 11791   ^cexp 12133   #chash 12372    || cdivides 13846   Primecprime 14075    pCnt cpc 14218   Basecbs 14489   Grpcgrp 15726   odcod 16352  gExcgex 16353   Abelcabl 16602  CycGrpccyg 16680
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-inf2 8057  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568  ax-pre-sup 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-disj 4418  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-isom 5596  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-omul 7135  df-er 7311  df-ec 7313  df-qs 7317  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-sup 7900  df-oi 7934  df-card 8319  df-acn 8322  df-cda 8547  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10206  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-4 10595  df-5 10596  df-6 10597  df-7 10598  df-8 10599  df-9 10600  df-10 10601  df-n0 10795  df-z 10864  df-dec 10976  df-uz 11082  df-q 11182  df-rp 11220  df-fz 11672  df-fzo 11792  df-fl 11896  df-mod 11964  df-seq 12075  df-exp 12134  df-hash 12373  df-cj 12894  df-re 12895  df-im 12896  df-sqrt 13030  df-abs 13031  df-clim 13273  df-sum 13471  df-dvds 13847  df-gcd 14003  df-prm 14076  df-pc 14219  df-ndx 14492  df-slot 14493  df-base 14494  df-sets 14495  df-ress 14496  df-plusg 14567  df-0g 14696  df-mnd 15731  df-grp 15864  df-minusg 15865  df-sbg 15866  df-mulg 15867  df-subg 16000  df-eqg 16002  df-od 16356  df-gex 16357  df-cmn 16603  df-abl 16604  df-cyg 16681
This theorem is referenced by:  pgrple2abl  32043
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