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Theorem lt6abl 17219
Description: A group with fewer than  6 elements is abelian. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
cygctb.1  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
lt6abl  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  <  6 )  ->  G  e.  Abel )

Proof of Theorem lt6abl
Dummy variables  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cygctb.1 . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  G
)
21grpbn0 16401 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  B  =/=  (/) )
32adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  <  6 )  ->  B  =/=  (/) )
4 6re 10656 . . . . . . . 8  |-  6  e.  RR
5 rexr 9668 . . . . . . . 8  |-  ( 6  e.  RR  ->  6  e.  RR* )
6 pnfnlt 11389 . . . . . . . 8  |-  ( 6  e.  RR*  ->  -. +oo  <  6 )
74, 5, 6mp2b 10 . . . . . . 7  |-  -. +oo  <  6
8 fvex 5858 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  G )  e.  _V
91, 8eqeltri 2486 . . . . . . . . . . . 12  |-  B  e. 
_V
109a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  Grp  ->  B  e.  _V )
11 hashinf 12455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  _V  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  ( # `  B
)  = +oo )
1210, 11sylan 469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  ( # `  B
)  = +oo )
1312breq1d 4404 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  B )  <  6  <-> +oo 
<  6 ) )
1413biimpd 207 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  B )  <  6  -> +oo  <  6 ) )
1514impancom 438 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  <  6 )  -> 
( -.  B  e. 
Fin  -> +oo  <  6
) )
167, 15mt3i 126 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  <  6 )  ->  B  e.  Fin )
17 hashnncl 12482 . . . . . 6  |-  ( B  e.  Fin  ->  (
( # `  B )  e.  NN  <->  B  =/=  (/) ) )
1816, 17syl 17 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  <  6 )  -> 
( ( # `  B
)  e.  NN  <->  B  =/=  (/) ) )
193, 18mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  <  6 )  -> 
( # `  B )  e.  NN )
20 nnuz 11161 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2119, 20syl6eleq 2500 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  <  6 )  -> 
( # `  B )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
22 6nn 10737 . . . . 5  |-  6  e.  NN
2322nnzi 10928 . . . 4  |-  6  e.  ZZ
2423a1i 11 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  <  6 )  -> 
6  e.  ZZ )
25 simpr 459 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  <  6 )  -> 
( # `  B )  <  6 )
26 elfzo2 11860 . . 3  |-  ( (
# `  B )  e.  ( 1..^ 6 )  <-> 
( ( # `  B
)  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  6  e.  ZZ  /\  ( # `  B )  <  6
) )
2721, 24, 25, 26syl3anbrc 1181 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  <  6 )  -> 
( # `  B )  e.  ( 1..^ 6 ) )
28 df-6 10638 . . . . . . 7  |-  6  =  ( 5  +  1 )
2928oveq2i 6288 . . . . . 6  |-  ( 1..^ 6 )  =  ( 1..^ ( 5  +  1 ) )
3029eleq2i 2480 . . . . 5  |-  ( (
# `  B )  e.  ( 1..^ 6 )  <-> 
( # `  B )  e.  ( 1..^ ( 5  +  1 ) ) )
31 5nn 10736 . . . . . . 7  |-  5  e.  NN
3231, 20eleqtri 2488 . . . . . 6  |-  5  e.  ( ZZ>= `  1 )
33 fzosplitsni 11955 . . . . . 6  |-  ( 5  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( ( # `
 B )  e.  ( 1..^ ( 5  +  1 ) )  <-> 
( ( # `  B
)  e.  ( 1..^ 5 )  \/  ( # `
 B )  =  5 ) ) )
3432, 33ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( (
# `  B )  e.  ( 1..^ ( 5  +  1 ) )  <-> 
( ( # `  B
)  e.  ( 1..^ 5 )  \/  ( # `
 B )  =  5 ) )
3530, 34bitri 249 . . . 4  |-  ( (
# `  B )  e.  ( 1..^ 6 )  <-> 
( ( # `  B
)  e.  ( 1..^ 5 )  \/  ( # `
 B )  =  5 ) )
36 df-5 10637 . . . . . . . . 9  |-  5  =  ( 4  +  1 )
3736oveq2i 6288 . . . . . . . 8  |-  ( 1..^ 5 )  =  ( 1..^ ( 4  +  1 ) )
3837eleq2i 2480 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  B )  e.  ( 1..^ 5 )  <-> 
( # `  B )  e.  ( 1..^ ( 4  +  1 ) ) )
39 4nn 10735 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  NN
4039, 20eleqtri 2488 . . . . . . . 8  |-  4  e.  ( ZZ>= `  1 )
41 fzosplitsni 11955 . . . . . . . 8  |-  ( 4  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( ( # `
 B )  e.  ( 1..^ ( 4  +  1 ) )  <-> 
( ( # `  B
)  e.  ( 1..^ 4 )  \/  ( # `
 B )  =  4 ) ) )
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  B )  e.  ( 1..^ ( 4  +  1 ) )  <-> 
( ( # `  B
)  e.  ( 1..^ 4 )  \/  ( # `
 B )  =  4 ) )
4338, 42bitri 249 . . . . . 6  |-  ( (
# `  B )  e.  ( 1..^ 5 )  <-> 
( ( # `  B
)  e.  ( 1..^ 4 )  \/  ( # `
 B )  =  4 ) )
44 df-4 10636 . . . . . . . . . . 11  |-  4  =  ( 3  +  1 )
4544oveq2i 6288 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1..^ 4 )  =  ( 1..^ ( 3  +  1 ) )
4645eleq2i 2480 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  B )  e.  ( 1..^ 4 )  <-> 
( # `  B )  e.  ( 1..^ ( 3  +  1 ) ) )
47 3nn 10734 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  NN
4847, 20eleqtri 2488 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  ( ZZ>= `  1 )
49 fzosplitsni 11955 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( ( # `
 B )  e.  ( 1..^ ( 3  +  1 ) )  <-> 
( ( # `  B
)  e.  ( 1..^ 3 )  \/  ( # `
 B )  =  3 ) ) )
5048, 49ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  B )  e.  ( 1..^ ( 3  +  1 ) )  <-> 
( ( # `  B
)  e.  ( 1..^ 3 )  \/  ( # `
 B )  =  3 ) )
5146, 50bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  B )  e.  ( 1..^ 4 )  <-> 
( ( # `  B
)  e.  ( 1..^ 3 )  \/  ( # `
 B )  =  3 ) )
52 df-3 10635 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  =  ( 2  +  1 )
5352oveq2i 6288 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1..^ 3 )  =  ( 1..^ ( 2  +  1 ) )
5453eleq2i 2480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  B )  e.  ( 1..^ 3 )  <-> 
( # `  B )  e.  ( 1..^ ( 2  +  1 ) ) )
55 2eluzge1 11172 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  ( ZZ>= `  1 )
56 fzosplitsni 11955 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( ( # `
 B )  e.  ( 1..^ ( 2  +  1 ) )  <-> 
( ( # `  B
)  e.  ( 1..^ 2 )  \/  ( # `
 B )  =  2 ) ) )
5755, 56ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  B )  e.  ( 1..^ ( 2  +  1 ) )  <-> 
( ( # `  B
)  e.  ( 1..^ 2 )  \/  ( # `
 B )  =  2 ) )
5854, 57bitri 249 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  B )  e.  ( 1..^ 3 )  <-> 
( ( # `  B
)  e.  ( 1..^ 2 )  \/  ( # `
 B )  =  2 ) )
59 elsni 3996 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
# `  B )  e.  { 1 }  ->  (
# `  B )  =  1 )
60 fzo12sn 11932 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1..^ 2 )  =  {
1 }
6159, 60eleq2s 2510 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  B )  e.  ( 1..^ 2 )  ->  ( # `  B
)  =  1 )
6261adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  e.  ( 1..^ 2 ) )  ->  ( # `
 B )  =  1 )
63 hash1 12516 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( # `  1o )  =  1
6462, 63syl6eqr 2461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  e.  ( 1..^ 2 ) )  ->  ( # `
 B )  =  ( # `  1o ) )
65 1nn0 10851 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  NN0
6662, 65syl6eqel 2498 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  e.  ( 1..^ 2 ) )  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
67 hashclb 12475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  e.  _V  ->  ( B  e.  Fin  <->  ( # `  B
)  e.  NN0 )
)
689, 67ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  e.  Fin  <->  ( # `  B
)  e.  NN0 )
6966, 68sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  e.  ( 1..^ 2 ) )  ->  B  e.  Fin )
70 1onn 7324 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1o  e.  om
71 nnfi 7747 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1o  e.  om  ->  1o  e.  Fin )
7270, 71ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1o  e.  Fin
73 hashen 12465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  1o  e.  Fin )  -> 
( ( # `  B
)  =  ( # `  1o )  <->  B  ~~  1o ) )
7469, 72, 73sylancl 660 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  e.  ( 1..^ 2 ) )  ->  (
( # `  B )  =  ( # `  1o ) 
<->  B  ~~  1o ) )
7564, 74mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  e.  ( 1..^ 2 ) )  ->  B  ~~  1o )
7610cyg 17217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  ~~  1o )  ->  G  e. CycGrp )
77 cygabl 17215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G  e. CycGrp  ->  G  e.  Abel )
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  ~~  1o )  ->  G  e.  Abel )
7975, 78syldan 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  e.  ( 1..^ 2 ) )  ->  G  e.  Abel )
8079ex 432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( # `  B )  e.  ( 1..^ 2 )  ->  G  e.  Abel ) )
81 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  B )  =  2  ->  ( # `
 B )  =  2 )
82 2prm 14440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  Prime
8381, 82syl6eqel 2498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  B )  =  2  ->  ( # `
 B )  e. 
Prime )
841prmcyg 17218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  e.  Prime )  ->  G  e. CycGrp )
8584, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  e.  Prime )  ->  G  e.  Abel )
8685ex 432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( # `  B )  e.  Prime  ->  G  e. 
Abel ) )
8783, 86syl5 30 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( # `  B )  =  2  ->  G  e.  Abel ) )
8880, 87jaod 378 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( ( # `  B
)  e.  ( 1..^ 2 )  \/  ( # `
 B )  =  2 )  ->  G  e.  Abel ) )
8958, 88syl5bi 217 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( # `  B )  e.  ( 1..^ 3 )  ->  G  e.  Abel ) )
90 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  B )  =  3  ->  ( # `
 B )  =  3 )
91 3prm 14441 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  Prime
9290, 91syl6eqel 2498 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  B )  =  3  ->  ( # `
 B )  e. 
Prime )
9392, 86syl5 30 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( # `  B )  =  3  ->  G  e.  Abel ) )
9489, 93jaod 378 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( ( # `  B
)  e.  ( 1..^ 3 )  \/  ( # `
 B )  =  3 )  ->  G  e.  Abel ) )
9551, 94syl5bi 217 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( # `  B )  e.  ( 1..^ 4 )  ->  G  e.  Abel ) )
96 simpl 455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  =  4 )  ->  G  e.  Grp )
97 2z 10936 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
98 eqid 2402 . . . . . . . . . . . 12  |-  (gEx `  G )  =  (gEx
`  G )
99 eqid 2402 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( od
`  G )  =  ( od `  G
)
1001, 98, 99gexdvds2 16927 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( (gEx `  G
)  ||  2  <->  A. x  e.  B  ( ( od `  G ) `  x )  ||  2
) )
10196, 97, 100sylancl 660 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  =  4 )  -> 
( (gEx `  G
)  ||  2  <->  A. x  e.  B  ( ( od `  G ) `  x )  ||  2
) )
1021, 98gex2abl 17179 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  (gEx `  G )  ||  2 )  ->  G  e.  Abel )
103102ex 432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
(gEx `  G )  ||  2  ->  G  e. 
Abel ) )
104103adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  =  4 )  -> 
( (gEx `  G
)  ||  2  ->  G  e.  Abel ) )
105101, 104sylbird 235 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  =  4 )  -> 
( A. x  e.  B  ( ( od
`  G ) `  x )  ||  2  ->  G  e.  Abel )
)
106 rexnal 2851 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x  e.  B  -.  ( ( od `  G ) `  x
)  ||  2  <->  -.  A. x  e.  B  ( ( od `  G ) `  x )  ||  2
)
10796adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  ->  G  e.  Grp )
108 simprl 756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  ->  x  e.  B )
1091, 99odcl 16882 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  B  ->  (
( od `  G
) `  x )  e.  NN0 )
110109ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( ( od `  G ) `  x
)  e.  NN0 )
111 4nn0 10854 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  4  e.  NN0
112111a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
4  e.  NN0 )
113 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  =  4 )  -> 
( # `  B )  =  4 )
114113, 111syl6eqel 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  =  4 )  -> 
( # `  B )  e.  NN0 )
115114, 68sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  =  4 )  ->  B  e.  Fin )
116115adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  ->  B  e.  Fin )
1171, 99oddvds2 16910 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  e.  Fin  /\  x  e.  B )  ->  (
( od `  G
) `  x )  ||  ( # `  B
) )
118107, 116, 108, 117syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( ( od `  G ) `  x
)  ||  ( # `  B
) )
119113adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( # `  B )  =  4 )
120118, 119breqtrd 4418 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( ( od `  G ) `  x
)  ||  4 )
121 sq2 12307 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
12297a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
2  e.  ZZ )
123 2nn0 10852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  e.  NN0
124123a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
2  e.  NN0 )
1251, 99odcl2 16909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  e.  Fin  /\  x  e.  B )  ->  (
( od `  G
) `  x )  e.  NN )
126107, 116, 108, 125syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( ( od `  G ) `  x
)  e.  NN )
127 pccl 14580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 2  e.  Prime  /\  (
( od `  G
) `  x )  e.  NN )  ->  (
2  pCnt  ( ( od `  G ) `  x ) )  e. 
NN0 )
12882, 126, 127sylancr 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( 2  pCnt  (
( od `  G
) `  x )
)  e.  NN0 )
129128nn0zd 11005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( 2  pCnt  (
( od `  G
) `  x )
)  e.  ZZ )
130 df-2 10634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  =  ( 1  +  1 )
131 simprr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  ->  -.  ( ( od `  G ) `  x
)  ||  2 )
132 dvdsexp 14249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( 2  pCnt  (
( od `  G
) `  x )
)  e.  NN0  /\  1  e.  ( ZZ>= `  ( 2  pCnt  (
( od `  G
) `  x )
) ) )  -> 
( 2 ^ (
2  pCnt  ( ( od `  G ) `  x ) ) ) 
||  ( 2 ^ 1 ) )
1331323expia 1199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( 2  pCnt  (
( od `  G
) `  x )
)  e.  NN0 )  ->  ( 1  e.  (
ZZ>= `  ( 2  pCnt 
( ( od `  G ) `  x
) ) )  -> 
( 2 ^ (
2  pCnt  ( ( od `  G ) `  x ) ) ) 
||  ( 2 ^ 1 ) ) )
13497, 128, 133sylancr 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( 1  e.  (
ZZ>= `  ( 2  pCnt 
( ( od `  G ) `  x
) ) )  -> 
( 2 ^ (
2  pCnt  ( ( od `  G ) `  x ) ) ) 
||  ( 2 ^ 1 ) ) )
135 1z 10934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  1  e.  ZZ
136 eluz 11139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( 2  pCnt  (
( od `  G
) `  x )
)  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( 1  e.  (
ZZ>= `  ( 2  pCnt 
( ( od `  G ) `  x
) ) )  <->  ( 2 
pCnt  ( ( od
`  G ) `  x ) )  <_ 
1 ) )
137129, 135, 136sylancl 660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( 1  e.  (
ZZ>= `  ( 2  pCnt 
( ( od `  G ) `  x
) ) )  <->  ( 2 
pCnt  ( ( od
`  G ) `  x ) )  <_ 
1 ) )
138 oveq2 6285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( n  =  2  ->  (
2 ^ n )  =  ( 2 ^ 2 ) )
139138, 121syl6eq 2459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( n  =  2  ->  (
2 ^ n )  =  4 )
140139breq2d 4406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( n  =  2  ->  (
( ( od `  G ) `  x
)  ||  ( 2 ^ n )  <->  ( ( od `  G ) `  x )  ||  4
) )
141140rspcev 3159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  ( ( od `  G ) `  x
)  ||  4 )  ->  E. n  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  ||  ( 2 ^ n ) )
142123, 120, 141sylancr 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  ->  E. n  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  ||  ( 2 ^ n ) )
143 pcprmpw2 14612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( 2  e.  Prime  /\  (
( od `  G
) `  x )  e.  NN )  ->  ( E. n  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  ||  ( 2 ^ n )  <->  ( ( od `  G ) `  x )  =  ( 2 ^ ( 2 
pCnt  ( ( od
`  G ) `  x ) ) ) ) )
14482, 126, 143sylancr 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( E. n  e. 
NN0  ( ( od
`  G ) `  x )  ||  (
2 ^ n )  <-> 
( ( od `  G ) `  x
)  =  ( 2 ^ ( 2  pCnt 
( ( od `  G ) `  x
) ) ) ) )
145142, 144mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( ( od `  G ) `  x
)  =  ( 2 ^ ( 2  pCnt 
( ( od `  G ) `  x
) ) ) )
146145eqcomd 2410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( 2 ^ (
2  pCnt  ( ( od `  G ) `  x ) ) )  =  ( ( od
`  G ) `  x ) )
147 2cn 10646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  2  e.  CC
148 exp1 12214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( 2  e.  CC  ->  (
2 ^ 1 )  =  2 )
149147, 148ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 2 ^ 1 )  =  2
150149a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( 2 ^ 1 )  =  2 )
151146, 150breq12d 4407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( ( 2 ^ ( 2  pCnt  (
( od `  G
) `  x )
) )  ||  (
2 ^ 1 )  <-> 
( ( od `  G ) `  x
)  ||  2 ) )
152134, 137, 1513imtr3d 267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( ( 2  pCnt 
( ( od `  G ) `  x
) )  <_  1  ->  ( ( od `  G ) `  x
)  ||  2 ) )
153131, 152mtod 177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  ->  -.  ( 2  pCnt  (
( od `  G
) `  x )
)  <_  1 )
154 1re 9624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  e.  RR
155128nn0red 10893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( 2  pCnt  (
( od `  G
) `  x )
)  e.  RR )
156 ltnle 9694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( 2  pCnt  (
( od `  G
) `  x )
)  e.  RR )  ->  ( 1  < 
( 2  pCnt  (
( od `  G
) `  x )
)  <->  -.  ( 2 
pCnt  ( ( od
`  G ) `  x ) )  <_ 
1 ) )
157154, 155, 156sylancr 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( 1  <  (
2  pCnt  ( ( od `  G ) `  x ) )  <->  -.  (
2  pCnt  ( ( od `  G ) `  x ) )  <_ 
1 ) )
158153, 157mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
1  <  ( 2 
pCnt  ( ( od
`  G ) `  x ) ) )
159 nn0ltp1le 10961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 1  e.  NN0  /\  ( 2  pCnt  (
( od `  G
) `  x )
)  e.  NN0 )  ->  ( 1  <  (
2  pCnt  ( ( od `  G ) `  x ) )  <->  ( 1  +  1 )  <_ 
( 2  pCnt  (
( od `  G
) `  x )
) ) )
16065, 128, 159sylancr 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( 1  <  (
2  pCnt  ( ( od `  G ) `  x ) )  <->  ( 1  +  1 )  <_ 
( 2  pCnt  (
( od `  G
) `  x )
) ) )
161158, 160mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( 1  +  1 )  <_  ( 2 
pCnt  ( ( od
`  G ) `  x ) ) )
162130, 161syl5eqbr 4427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
2  <_  ( 2 
pCnt  ( ( od
`  G ) `  x ) ) )
163 eluz2 11132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2  pCnt  ( ( od `  G ) `  x ) )  e.  ( ZZ>= `  2 )  <->  ( 2  e.  ZZ  /\  ( 2  pCnt  (
( od `  G
) `  x )
)  e.  ZZ  /\  2  <_  ( 2  pCnt 
( ( od `  G ) `  x
) ) ) )
164122, 129, 162, 163syl3anbrc 1181 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( 2  pCnt  (
( od `  G
) `  x )
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
165 dvdsexp 14249 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  2  e.  NN0  /\  (
2  pCnt  ( ( od `  G ) `  x ) )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( 2 ^ 2 )  ||  ( 2 ^ (
2  pCnt  ( ( od `  G ) `  x ) ) ) )
166122, 124, 164, 165syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( 2 ^ 2 )  ||  ( 2 ^ ( 2  pCnt 
( ( od `  G ) `  x
) ) ) )
167121, 166syl5eqbrr 4428 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
4  ||  ( 2 ^ ( 2  pCnt 
( ( od `  G ) `  x
) ) ) )
168167, 145breqtrrd 4420 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
4  ||  ( ( od `  G ) `  x ) )
169 dvdseq 14240 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( od
`  G ) `  x )  e.  NN0  /\  4  e.  NN0 )  /\  ( ( ( od
`  G ) `  x )  ||  4  /\  4  ||  ( ( od `  G ) `
 x ) ) )  ->  ( ( od `  G ) `  x )  =  4 )
170110, 112, 120, 168, 169syl22anc 1231 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( ( od `  G ) `  x
)  =  4 )
171170, 119eqtr4d 2446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( ( od `  G ) `  x
)  =  ( # `  B ) )
1721, 99, 107, 108, 171iscygodd 17213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  ->  G  e. CycGrp )
173172, 77syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  ->  G  e.  Abel )
174173rexlimdvaa 2896 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  =  4 )  -> 
( E. x  e.  B  -.  ( ( od `  G ) `
 x )  ||  2  ->  G  e.  Abel ) )
175106, 174syl5bir 218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  =  4 )  -> 
( -.  A. x  e.  B  ( ( od `  G ) `  x )  ||  2  ->  G  e.  Abel )
)
176105, 175pm2.61d 158 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  =  4 )  ->  G  e.  Abel )
177176ex 432 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( # `  B )  =  4  ->  G  e.  Abel ) )
17895, 177jaod 378 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( ( # `  B
)  e.  ( 1..^ 4 )  \/  ( # `
 B )  =  4 )  ->  G  e.  Abel ) )
17943, 178syl5bi 217 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( # `  B )  e.  ( 1..^ 5 )  ->  G  e.  Abel ) )
180 id 22 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  B )  =  5  ->  ( # `
 B )  =  5 )
181 5prm 14801 . . . . . . 7  |-  5  e.  Prime
182180, 181syl6eqel 2498 . . . . . 6  |-  ( (
# `  B )  =  5  ->  ( # `
 B )  e. 
Prime )
183182, 86syl5 30 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( # `  B )  =  5  ->  G  e.  Abel ) )
184179, 183jaod 378 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( ( # `  B
)  e.  ( 1..^ 5 )  \/  ( # `
 B )  =  5 )  ->  G  e.  Abel ) )
18535, 184syl5bi 217 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( # `  B )  e.  ( 1..^ 6 )  ->  G  e.  Abel ) )
186185imp 427 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  e.  ( 1..^ 6 ) )  ->  G  e.  Abel )
18727, 186syldan 468 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  <  6 )  ->  G  e.  Abel )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2753   E.wrex 2754   _Vcvv 3058   (/)c0 3737   {csn 3971   class class class wbr 4394   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   omcom 6682   1oc1o 7159    ~~ cen 7550   Fincfn 7553   CCcc 9519   RRcr 9520   1c1 9522    + caddc 9524   +oocpnf 9654   RR*cxr 9656    < clt 9657    <_ cle 9658   NNcn 10575   2c2 10625   3c3 10626   4c4 10627   5c5 10628   6c6 10629   NN0cn0 10835   ZZcz 10904   ZZ>=cuz 11126  ..^cfzo 11852   ^cexp 12208   #chash 12450    || cdvds 14193   Primecprime 14424    pCnt cpc 14567   Basecbs 14839   Grpcgrp 16375   odcod 16871  gExcgex 16872   Abelcabl 17121  CycGrpccyg 17202
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-disj 4366  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-2o 7167  df-oadd 7170  df-omul 7171  df-er 7347  df-ec 7349  df-qs 7353  df-map 7458  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-sup 7934  df-oi 7968  df-card 8351  df-acn 8354  df-cda 8579  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-9 10641  df-10 10642  df-n0 10836  df-z 10905  df-dec 11019  df-uz 11127  df-q 11227  df-rp 11265  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-fl 11964  df-mod 12033  df-seq 12150  df-exp 12209  df-hash 12451  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-clim 13458  df-sum 13656  df-dvds 14194  df-gcd 14352  df-prm 14425  df-pc 14568  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-0g 15054  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-grp 16379  df-minusg 16380  df-sbg 16381  df-mulg 16382  df-subg 16520  df-eqg 16522  df-od 16875  df-gex 16876  df-cmn 17122  df-abl 17123  df-cyg 17203
This theorem is referenced by:  pgrple2abl  38450
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