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Theorem lt6abl 15459
Description: A group with fewer than  6 elements is abelian. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
cygctb.1  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
lt6abl  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  <  6 )  ->  G  e.  Abel )

Proof of Theorem lt6abl
Dummy variables  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cygctb.1 . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  G
)
21grpbn0 14789 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  B  =/=  (/) )
32adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  <  6 )  ->  B  =/=  (/) )
4 6re 10032 . . . . . . . 8  |-  6  e.  RR
5 rexr 9086 . . . . . . . 8  |-  ( 6  e.  RR  ->  6  e.  RR* )
6 pnfnlt 10681 . . . . . . . 8  |-  ( 6  e.  RR*  ->  -.  +oo  <  6 )
74, 5, 6mp2b 10 . . . . . . 7  |-  -.  +oo  <  6
8 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  G )  e.  _V
91, 8eqeltri 2474 . . . . . . . . . . . 12  |-  B  e. 
_V
109a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  Grp  ->  B  e.  _V )
11 hashinf 11578 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  _V  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  ( # `  B
)  =  +oo )
1210, 11sylan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  ( # `  B
)  =  +oo )
1312breq1d 4182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  B )  <  6  <->  +oo 
<  6 ) )
1413biimpd 199 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  B )  <  6  ->  +oo  <  6 ) )
1514impancom 428 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  <  6 )  -> 
( -.  B  e. 
Fin  ->  +oo  <  6
) )
167, 15mt3i 120 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  <  6 )  ->  B  e.  Fin )
17 hashnncl 11600 . . . . . 6  |-  ( B  e.  Fin  ->  (
( # `  B )  e.  NN  <->  B  =/=  (/) ) )
1816, 17syl 16 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  <  6 )  -> 
( ( # `  B
)  e.  NN  <->  B  =/=  (/) ) )
193, 18mpbird 224 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  <  6 )  -> 
( # `  B )  e.  NN )
20 nnuz 10477 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2119, 20syl6eleq 2494 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  <  6 )  -> 
( # `  B )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
22 6nn 10093 . . . . 5  |-  6  e.  NN
2322nnzi 10261 . . . 4  |-  6  e.  ZZ
2423a1i 11 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  <  6 )  -> 
6  e.  ZZ )
25 simpr 448 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  <  6 )  -> 
( # `  B )  <  6 )
26 elfzo2 11098 . . 3  |-  ( (
# `  B )  e.  ( 1..^ 6 )  <-> 
( ( # `  B
)  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  6  e.  ZZ  /\  ( # `  B )  <  6
) )
2721, 24, 25, 26syl3anbrc 1138 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  <  6 )  -> 
( # `  B )  e.  ( 1..^ 6 ) )
28 df-6 10018 . . . . . . 7  |-  6  =  ( 5  +  1 )
2928oveq2i 6051 . . . . . 6  |-  ( 1..^ 6 )  =  ( 1..^ ( 5  +  1 ) )
3029eleq2i 2468 . . . . 5  |-  ( (
# `  B )  e.  ( 1..^ 6 )  <-> 
( # `  B )  e.  ( 1..^ ( 5  +  1 ) ) )
31 5nn 10092 . . . . . . 7  |-  5  e.  NN
3231, 20eleqtri 2476 . . . . . 6  |-  5  e.  ( ZZ>= `  1 )
33 fzosplitsni 11151 . . . . . 6  |-  ( 5  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( ( # `
 B )  e.  ( 1..^ ( 5  +  1 ) )  <-> 
( ( # `  B
)  e.  ( 1..^ 5 )  \/  ( # `
 B )  =  5 ) ) )
3432, 33ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( (
# `  B )  e.  ( 1..^ ( 5  +  1 ) )  <-> 
( ( # `  B
)  e.  ( 1..^ 5 )  \/  ( # `
 B )  =  5 ) )
3530, 34bitri 241 . . . 4  |-  ( (
# `  B )  e.  ( 1..^ 6 )  <-> 
( ( # `  B
)  e.  ( 1..^ 5 )  \/  ( # `
 B )  =  5 ) )
36 df-5 10017 . . . . . . . . 9  |-  5  =  ( 4  +  1 )
3736oveq2i 6051 . . . . . . . 8  |-  ( 1..^ 5 )  =  ( 1..^ ( 4  +  1 ) )
3837eleq2i 2468 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  B )  e.  ( 1..^ 5 )  <-> 
( # `  B )  e.  ( 1..^ ( 4  +  1 ) ) )
39 4nn 10091 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  NN
4039, 20eleqtri 2476 . . . . . . . 8  |-  4  e.  ( ZZ>= `  1 )
41 fzosplitsni 11151 . . . . . . . 8  |-  ( 4  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( ( # `
 B )  e.  ( 1..^ ( 4  +  1 ) )  <-> 
( ( # `  B
)  e.  ( 1..^ 4 )  \/  ( # `
 B )  =  4 ) ) )
4240, 41ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  B )  e.  ( 1..^ ( 4  +  1 ) )  <-> 
( ( # `  B
)  e.  ( 1..^ 4 )  \/  ( # `
 B )  =  4 ) )
4338, 42bitri 241 . . . . . 6  |-  ( (
# `  B )  e.  ( 1..^ 5 )  <-> 
( ( # `  B
)  e.  ( 1..^ 4 )  \/  ( # `
 B )  =  4 ) )
44 df-4 10016 . . . . . . . . . . 11  |-  4  =  ( 3  +  1 )
4544oveq2i 6051 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1..^ 4 )  =  ( 1..^ ( 3  +  1 ) )
4645eleq2i 2468 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  B )  e.  ( 1..^ 4 )  <-> 
( # `  B )  e.  ( 1..^ ( 3  +  1 ) ) )
47 3nn 10090 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  NN
4847, 20eleqtri 2476 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  ( ZZ>= `  1 )
49 fzosplitsni 11151 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( ( # `
 B )  e.  ( 1..^ ( 3  +  1 ) )  <-> 
( ( # `  B
)  e.  ( 1..^ 3 )  \/  ( # `
 B )  =  3 ) ) )
5048, 49ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  B )  e.  ( 1..^ ( 3  +  1 ) )  <-> 
( ( # `  B
)  e.  ( 1..^ 3 )  \/  ( # `
 B )  =  3 ) )
5146, 50bitri 241 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  B )  e.  ( 1..^ 4 )  <-> 
( ( # `  B
)  e.  ( 1..^ 3 )  \/  ( # `
 B )  =  3 ) )
52 df-3 10015 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  =  ( 2  +  1 )
5352oveq2i 6051 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1..^ 3 )  =  ( 1..^ ( 2  +  1 ) )
5453eleq2i 2468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  B )  e.  ( 1..^ 3 )  <-> 
( # `  B )  e.  ( 1..^ ( 2  +  1 ) ) )
55 2nn 10089 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN
5655, 20eleqtri 2476 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  ( ZZ>= `  1 )
57 fzosplitsni 11151 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( ( # `
 B )  e.  ( 1..^ ( 2  +  1 ) )  <-> 
( ( # `  B
)  e.  ( 1..^ 2 )  \/  ( # `
 B )  =  2 ) ) )
5856, 57ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  B )  e.  ( 1..^ ( 2  +  1 ) )  <-> 
( ( # `  B
)  e.  ( 1..^ 2 )  \/  ( # `
 B )  =  2 ) )
5954, 58bitri 241 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  B )  e.  ( 1..^ 3 )  <-> 
( ( # `  B
)  e.  ( 1..^ 2 )  \/  ( # `
 B )  =  2 ) )
60 elsni 3798 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
# `  B )  e.  { 1 }  ->  (
# `  B )  =  1 )
61 df-2 10014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  =  ( 1  +  1 )
6261oveq2i 6051 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1..^ 2 )  =  ( 1..^ ( 1  +  1 ) )
63 1z 10267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  ZZ
64 fzosn 11136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (
1..^ ( 1  +  1 ) )  =  { 1 } )
6563, 64ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1..^ ( 1  +  1 ) )  =  {
1 }
6662, 65eqtri 2424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1..^ 2 )  =  {
1 }
6760, 66eleq2s 2496 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  B )  e.  ( 1..^ 2 )  ->  ( # `  B
)  =  1 )
6867adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  e.  ( 1..^ 2 ) )  ->  ( # `
 B )  =  1 )
69 hash1 11628 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( # `  1o )  =  1
7068, 69syl6eqr 2454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  e.  ( 1..^ 2 ) )  ->  ( # `
 B )  =  ( # `  1o ) )
71 1nn0 10193 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  NN0
7268, 71syl6eqel 2492 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  e.  ( 1..^ 2 ) )  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
73 hashclb 11596 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  e.  _V  ->  ( B  e.  Fin  <->  ( # `  B
)  e.  NN0 )
)
749, 73ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  e.  Fin  <->  ( # `  B
)  e.  NN0 )
7572, 74sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  e.  ( 1..^ 2 ) )  ->  B  e.  Fin )
76 1onn 6841 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1o  e.  om
77 nnfi 7258 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1o  e.  om  ->  1o  e.  Fin )
7876, 77ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1o  e.  Fin
79 hashen 11586 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  1o  e.  Fin )  -> 
( ( # `  B
)  =  ( # `  1o )  <->  B  ~~  1o ) )
8075, 78, 79sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  e.  ( 1..^ 2 ) )  ->  (
( # `  B )  =  ( # `  1o ) 
<->  B  ~~  1o ) )
8170, 80mpbid 202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  e.  ( 1..^ 2 ) )  ->  B  ~~  1o )
8210cyg 15457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  ~~  1o )  ->  G  e. CycGrp )
83 cygabl 15455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G  e. CycGrp  ->  G  e.  Abel )
8482, 83syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  ~~  1o )  ->  G  e.  Abel )
8581, 84syldan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  e.  ( 1..^ 2 ) )  ->  G  e.  Abel )
8685ex 424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( # `  B )  e.  ( 1..^ 2 )  ->  G  e.  Abel ) )
87 id 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  B )  =  2  ->  ( # `
 B )  =  2 )
88 2prm 13050 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  Prime
8987, 88syl6eqel 2492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  B )  =  2  ->  ( # `
 B )  e. 
Prime )
901prmcyg 15458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  e.  Prime )  ->  G  e. CycGrp )
9190, 83syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  e.  Prime )  ->  G  e.  Abel )
9291ex 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( # `  B )  e.  Prime  ->  G  e. 
Abel ) )
9389, 92syl5 30 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( # `  B )  =  2  ->  G  e.  Abel ) )
9486, 93jaod 370 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( ( # `  B
)  e.  ( 1..^ 2 )  \/  ( # `
 B )  =  2 )  ->  G  e.  Abel ) )
9559, 94syl5bi 209 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( # `  B )  e.  ( 1..^ 3 )  ->  G  e.  Abel ) )
96 id 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  B )  =  3  ->  ( # `
 B )  =  3 )
97 3prm 13051 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  Prime
9896, 97syl6eqel 2492 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  B )  =  3  ->  ( # `
 B )  e. 
Prime )
9998, 92syl5 30 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( # `  B )  =  3  ->  G  e.  Abel ) )
10095, 99jaod 370 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( ( # `  B
)  e.  ( 1..^ 3 )  \/  ( # `
 B )  =  3 )  ->  G  e.  Abel ) )
10151, 100syl5bi 209 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( # `  B )  e.  ( 1..^ 4 )  ->  G  e.  Abel ) )
102 simpl 444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  =  4 )  ->  G  e.  Grp )
103 2z 10268 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
104 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  (gEx `  G )  =  (gEx
`  G )
105 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( od
`  G )  =  ( od `  G
)
1061, 104, 105gexdvds2 15174 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( (gEx `  G
)  ||  2  <->  A. x  e.  B  ( ( od `  G ) `  x )  ||  2
) )
107102, 103, 106sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  =  4 )  -> 
( (gEx `  G
)  ||  2  <->  A. x  e.  B  ( ( od `  G ) `  x )  ||  2
) )
1081, 104gex2abl 15421 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  (gEx `  G )  ||  2 )  ->  G  e.  Abel )
109108ex 424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
(gEx `  G )  ||  2  ->  G  e. 
Abel ) )
110109adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  =  4 )  -> 
( (gEx `  G
)  ||  2  ->  G  e.  Abel ) )
111107, 110sylbird 227 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  =  4 )  -> 
( A. x  e.  B  ( ( od
`  G ) `  x )  ||  2  ->  G  e.  Abel )
)
112 rexnal 2677 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x  e.  B  -.  ( ( od `  G ) `  x
)  ||  2  <->  -.  A. x  e.  B  ( ( od `  G ) `  x )  ||  2
)
113102adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  ->  G  e.  Grp )
114 simprl 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  ->  x  e.  B )
1151, 105odcl 15129 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  B  ->  (
( od `  G
) `  x )  e.  NN0 )
116115ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( ( od `  G ) `  x
)  e.  NN0 )
117 4nn0 10196 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  4  e.  NN0
118117a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
4  e.  NN0 )
119 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  =  4 )  -> 
( # `  B )  =  4 )
120119, 117syl6eqel 2492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  =  4 )  -> 
( # `  B )  e.  NN0 )
121120, 74sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  =  4 )  ->  B  e.  Fin )
122121adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  ->  B  e.  Fin )
1231, 105oddvds2 15157 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  e.  Fin  /\  x  e.  B )  ->  (
( od `  G
) `  x )  ||  ( # `  B
) )
124113, 122, 114, 123syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( ( od `  G ) `  x
)  ||  ( # `  B
) )
125119adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( # `  B )  =  4 )
126124, 125breqtrd 4196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( ( od `  G ) `  x
)  ||  4 )
127 sq2 11432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
128103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
2  e.  ZZ )
129 2nn0 10194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  e.  NN0
130129a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
2  e.  NN0 )
1311, 105odcl2 15156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  e.  Fin  /\  x  e.  B )  ->  (
( od `  G
) `  x )  e.  NN )
132113, 122, 114, 131syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( ( od `  G ) `  x
)  e.  NN )
133 pccl 13178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 2  e.  Prime  /\  (
( od `  G
) `  x )  e.  NN )  ->  (
2  pCnt  ( ( od `  G ) `  x ) )  e. 
NN0 )
13488, 132, 133sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( 2  pCnt  (
( od `  G
) `  x )
)  e.  NN0 )
135134nn0zd 10329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( 2  pCnt  (
( od `  G
) `  x )
)  e.  ZZ )
136 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  ->  -.  ( ( od `  G ) `  x
)  ||  2 )
137 dvdsexp 12860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( 2  pCnt  (
( od `  G
) `  x )
)  e.  NN0  /\  1  e.  ( ZZ>= `  ( 2  pCnt  (
( od `  G
) `  x )
) ) )  -> 
( 2 ^ (
2  pCnt  ( ( od `  G ) `  x ) ) ) 
||  ( 2 ^ 1 ) )
1381373expia 1155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( 2  pCnt  (
( od `  G
) `  x )
)  e.  NN0 )  ->  ( 1  e.  (
ZZ>= `  ( 2  pCnt 
( ( od `  G ) `  x
) ) )  -> 
( 2 ^ (
2  pCnt  ( ( od `  G ) `  x ) ) ) 
||  ( 2 ^ 1 ) ) )
139103, 134, 138sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( 1  e.  (
ZZ>= `  ( 2  pCnt 
( ( od `  G ) `  x
) ) )  -> 
( 2 ^ (
2  pCnt  ( ( od `  G ) `  x ) ) ) 
||  ( 2 ^ 1 ) ) )
140 eluz 10455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( 2  pCnt  (
( od `  G
) `  x )
)  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( 1  e.  (
ZZ>= `  ( 2  pCnt 
( ( od `  G ) `  x
) ) )  <->  ( 2 
pCnt  ( ( od
`  G ) `  x ) )  <_ 
1 ) )
141135, 63, 140sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( 1  e.  (
ZZ>= `  ( 2  pCnt 
( ( od `  G ) `  x
) ) )  <->  ( 2 
pCnt  ( ( od
`  G ) `  x ) )  <_ 
1 ) )
142 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( n  =  2  ->  (
2 ^ n )  =  ( 2 ^ 2 ) )
143142, 127syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( n  =  2  ->  (
2 ^ n )  =  4 )
144143breq2d 4184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( n  =  2  ->  (
( ( od `  G ) `  x
)  ||  ( 2 ^ n )  <->  ( ( od `  G ) `  x )  ||  4
) )
145144rspcev 3012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  ( ( od `  G ) `  x
)  ||  4 )  ->  E. n  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  ||  ( 2 ^ n ) )
146129, 126, 145sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  ->  E. n  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  ||  ( 2 ^ n ) )
147 pcprmpw2 13210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( 2  e.  Prime  /\  (
( od `  G
) `  x )  e.  NN )  ->  ( E. n  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  ||  ( 2 ^ n )  <->  ( ( od `  G ) `  x )  =  ( 2 ^ ( 2 
pCnt  ( ( od
`  G ) `  x ) ) ) ) )
14888, 132, 147sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( E. n  e. 
NN0  ( ( od
`  G ) `  x )  ||  (
2 ^ n )  <-> 
( ( od `  G ) `  x
)  =  ( 2 ^ ( 2  pCnt 
( ( od `  G ) `  x
) ) ) ) )
149146, 148mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( ( od `  G ) `  x
)  =  ( 2 ^ ( 2  pCnt 
( ( od `  G ) `  x
) ) ) )
150149eqcomd 2409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( 2 ^ (
2  pCnt  ( ( od `  G ) `  x ) ) )  =  ( ( od
`  G ) `  x ) )
151 2cn 10026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  2  e.  CC
152 exp1 11342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( 2  e.  CC  ->  (
2 ^ 1 )  =  2 )
153151, 152ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 2 ^ 1 )  =  2
154153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( 2 ^ 1 )  =  2 )
155150, 154breq12d 4185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( ( 2 ^ ( 2  pCnt  (
( od `  G
) `  x )
) )  ||  (
2 ^ 1 )  <-> 
( ( od `  G ) `  x
)  ||  2 ) )
156139, 141, 1553imtr3d 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( ( 2  pCnt 
( ( od `  G ) `  x
) )  <_  1  ->  ( ( od `  G ) `  x
)  ||  2 ) )
157136, 156mtod 170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  ->  -.  ( 2  pCnt  (
( od `  G
) `  x )
)  <_  1 )
158 1re 9046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  e.  RR
159134nn0red 10231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( 2  pCnt  (
( od `  G
) `  x )
)  e.  RR )
160 ltnle 9111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( 2  pCnt  (
( od `  G
) `  x )
)  e.  RR )  ->  ( 1  < 
( 2  pCnt  (
( od `  G
) `  x )
)  <->  -.  ( 2 
pCnt  ( ( od
`  G ) `  x ) )  <_ 
1 ) )
161158, 159, 160sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( 1  <  (
2  pCnt  ( ( od `  G ) `  x ) )  <->  -.  (
2  pCnt  ( ( od `  G ) `  x ) )  <_ 
1 ) )
162157, 161mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
1  <  ( 2 
pCnt  ( ( od
`  G ) `  x ) ) )
163 nn0ltp1le 10288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 1  e.  NN0  /\  ( 2  pCnt  (
( od `  G
) `  x )
)  e.  NN0 )  ->  ( 1  <  (
2  pCnt  ( ( od `  G ) `  x ) )  <->  ( 1  +  1 )  <_ 
( 2  pCnt  (
( od `  G
) `  x )
) ) )
16471, 134, 163sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( 1  <  (
2  pCnt  ( ( od `  G ) `  x ) )  <->  ( 1  +  1 )  <_ 
( 2  pCnt  (
( od `  G
) `  x )
) ) )
165162, 164mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( 1  +  1 )  <_  ( 2 
pCnt  ( ( od
`  G ) `  x ) ) )
16661, 165syl5eqbr 4205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
2  <_  ( 2 
pCnt  ( ( od
`  G ) `  x ) ) )
167 eluz2 10450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2  pCnt  ( ( od `  G ) `  x ) )  e.  ( ZZ>= `  2 )  <->  ( 2  e.  ZZ  /\  ( 2  pCnt  (
( od `  G
) `  x )
)  e.  ZZ  /\  2  <_  ( 2  pCnt 
( ( od `  G ) `  x
) ) ) )
168128, 135, 166, 167syl3anbrc 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( 2  pCnt  (
( od `  G
) `  x )
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
169 dvdsexp 12860 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  2  e.  NN0  /\  (
2  pCnt  ( ( od `  G ) `  x ) )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( 2 ^ 2 )  ||  ( 2 ^ (
2  pCnt  ( ( od `  G ) `  x ) ) ) )
170128, 130, 168, 169syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( 2 ^ 2 )  ||  ( 2 ^ ( 2  pCnt 
( ( od `  G ) `  x
) ) ) )
171127, 170syl5eqbrr 4206 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
4  ||  ( 2 ^ ( 2  pCnt 
( ( od `  G ) `  x
) ) ) )
172171, 149breqtrrd 4198 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
4  ||  ( ( od `  G ) `  x ) )
173 dvdseq 12852 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( od
`  G ) `  x )  e.  NN0  /\  4  e.  NN0 )  /\  ( ( ( od
`  G ) `  x )  ||  4  /\  4  ||  ( ( od `  G ) `
 x ) ) )  ->  ( ( od `  G ) `  x )  =  4 )
174116, 118, 126, 172, 173syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( ( od `  G ) `  x
)  =  4 )
175174, 125eqtr4d 2439 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( ( od `  G ) `  x
)  =  ( # `  B ) )
1761, 105, 113, 114, 175iscygodd 15453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  ->  G  e. CycGrp )
177176, 83syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  ->  G  e.  Abel )
178177rexlimdvaa 2791 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  =  4 )  -> 
( E. x  e.  B  -.  ( ( od `  G ) `
 x )  ||  2  ->  G  e.  Abel ) )
179112, 178syl5bir 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  =  4 )  -> 
( -.  A. x  e.  B  ( ( od `  G ) `  x )  ||  2  ->  G  e.  Abel )
)
180111, 179pm2.61d 152 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  =  4 )  ->  G  e.  Abel )
181180ex 424 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( # `  B )  =  4  ->  G  e.  Abel ) )
182101, 181jaod 370 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( ( # `  B
)  e.  ( 1..^ 4 )  \/  ( # `
 B )  =  4 )  ->  G  e.  Abel ) )
18343, 182syl5bi 209 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( # `  B )  e.  ( 1..^ 5 )  ->  G  e.  Abel ) )
184 id 20 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  B )  =  5  ->  ( # `
 B )  =  5 )
185 5prm 13386 . . . . . . 7  |-  5  e.  Prime
186184, 185syl6eqel 2492 . . . . . 6  |-  ( (
# `  B )  =  5  ->  ( # `
 B )  e. 
Prime )
187186, 92syl5 30 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( # `  B )  =  5  ->  G  e.  Abel ) )
188183, 187jaod 370 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( ( # `  B
)  e.  ( 1..^ 5 )  \/  ( # `
 B )  =  5 )  ->  G  e.  Abel ) )
18935, 188syl5bi 209 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( # `  B )  e.  ( 1..^ 6 )  ->  G  e.  Abel ) )
190189imp 419 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  e.  ( 1..^ 6 ) )  ->  G  e.  Abel )
19127, 190syldan 457 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  <  6 )  ->  G  e.  Abel )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916   (/)c0 3588   {csn 3774   class class class wbr 4172   omcom 4804   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   1oc1o 6676    ~~ cen 7065   Fincfn 7068   CCcc 8944   RRcr 8945   1c1 8947    + caddc 8949    +oocpnf 9073   RR*cxr 9075    < clt 9076    <_ cle 9077   NNcn 9956   2c2 10005   3c3 10006   4c4 10007   5c5 10008   6c6 10009   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444  ..^cfzo 11090   ^cexp 11337   #chash 11573    || cdivides 12807   Primecprime 13034    pCnt cpc 13165   Basecbs 13424   Grpcgrp 14640   odcod 15118  gExcgex 15119   Abelcabel 15368  CycGrpccyg 15442
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-disj 4143  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-ec 6866  df-qs 6870  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-acn 7785  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435  df-dvds 12808  df-gcd 12962  df-prm 13035  df-pc 13166  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-eqg 14898  df-od 15122  df-gex 15123  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-cyg 15443
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