MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lt2sqi Structured version   Unicode version

Theorem lt2sqi 11946
Description: The square function on nonnegative reals is strictly monotonic. (Contributed by NM, 12-Sep-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
resqcl.1  |-  A  e.  RR
lt2sq.2  |-  B  e.  RR
Assertion
Ref Expression
lt2sqi  |-  ( ( 0  <_  A  /\  0  <_  B )  -> 
( A  <  B  <->  ( A ^ 2 )  <  ( B ^
2 ) ) )

Proof of Theorem lt2sqi
StepHypRef Expression
1 resqcl.1 . . 3  |-  A  e.  RR
2 lt2sq.2 . . 3  |-  B  e.  RR
31, 2lt2msqi 10237 . 2  |-  ( ( 0  <_  A  /\  0  <_  B )  -> 
( A  <  B  <->  ( A  x.  A )  <  ( B  x.  B ) ) )
41recni 9390 . . . 4  |-  A  e.  CC
54sqvali 11937 . . 3  |-  ( A ^ 2 )  =  ( A  x.  A
)
62recni 9390 . . . 4  |-  B  e.  CC
76sqvali 11937 . . 3  |-  ( B ^ 2 )  =  ( B  x.  B
)
85, 7breq12i 4294 . 2  |-  ( ( A ^ 2 )  <  ( B ^
2 )  <->  ( A  x.  A )  <  ( B  x.  B )
)
93, 8syl6bbr 263 1  |-  ( ( 0  <_  A  /\  0  <_  B )  -> 
( A  <  B  <->  ( A ^ 2 )  <  ( B ^
2 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1756   class class class wbr 4285  (class class class)co 6086   RRcr 9273   0cc0 9274    x. cmul 9279    < clt 9410    <_ cle 9411   2c2 10363   ^cexp 11857
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2418  ax-sep 4406  ax-nul 4414  ax-pow 4463  ax-pr 4524  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rab 2718  df-v 2968  df-sbc 3180  df-csb 3282  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3631  df-if 3785  df-pw 3855  df-sn 3871  df-pr 3873  df-tp 3875  df-op 3877  df-uni 4085  df-iun 4166  df-br 4286  df-opab 4344  df-mpt 4345  df-tr 4379  df-eprel 4624  df-id 4628  df-po 4633  df-so 4634  df-fr 4671  df-we 4673  df-ord 4714  df-on 4715  df-lim 4716  df-suc 4717  df-xp 4838  df-rel 4839  df-cnv 4840  df-co 4841  df-dm 4842  df-rn 4843  df-res 4844  df-ima 4845  df-iota 5374  df-fun 5413  df-fn 5414  df-f 5415  df-f1 5416  df-fo 5417  df-f1o 5418  df-fv 5419  df-riota 6045  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-seq 11799  df-exp 11858
This theorem is referenced by:  cos2bnd  13464  abs2sqlti  27271
  Copyright terms: Public domain W3C validator