MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lt2add Structured version   Unicode version

Theorem lt2add 9811
Description: Adding both sides of two 'less than' relations. Theorem I.25 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 15-Aug-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
lt2add  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  -> 
( ( A  < 
C  /\  B  <  D )  ->  ( A  +  B )  <  ( C  +  D )
) )

Proof of Theorem lt2add
StepHypRef Expression
1 ltle 9450 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <  C  ->  A  <_  C )
)
21ad2ant2r 739 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  -> 
( A  <  C  ->  A  <_  C )
)
3 leltadd 9810 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  -> 
( ( A  <_  C  /\  B  <  D
)  ->  ( A  +  B )  <  ( C  +  D )
) )
42, 3syland 478 1  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  -> 
( ( A  < 
C  /\  B  <  D )  ->  ( A  +  B )  <  ( C  +  D )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1755   class class class wbr 4280  (class class class)co 6080   RRcr 9268    + caddc 9272    < clt 9405    <_ cle 9406
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-ov 6083  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411
This theorem is referenced by:  addgt0  9812  lt2addi  9889  lt2halves  10546  ulmcn  21748  bposlem7  22513  heicant  28267  ftc1anclem6  28313  heibor1lem  28549  2leaddle2  30018
  Copyright terms: Public domain W3C validator