MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lt0neg1d Structured version   Unicode version

Theorem lt0neg1d 10182
Description: Comparison of a number and its negative to zero. Theorem I.23 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
leidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
lt0neg1d  |-  ( ph  ->  ( A  <  0  <->  0  <  -u A ) )

Proof of Theorem lt0neg1d
StepHypRef Expression
1 leidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 lt0neg1 10119 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  <  0  <->  0  <  -u A ) )
31, 2syl 17 1  |-  ( ph  ->  ( A  <  0  <->  0  <  -u A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    e. wcel 1870   class class class wbr 4426   RRcr 9537   0cc0 9538    < clt 9674   -ucneg 9860
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862
This theorem is referenced by:  recgt0  10448  prodge0  10451  expneg  12277  discr1  12405  rlimrege0  13621  bitsfzo  14383  subgmulg  16786  xrhmeo  21874  mbfmulc2lem  22488  mbfposr  22493  dvferm2lem  22823  dvferm2  22824  sincosq4sgn  23329  tanabsge  23334  sinq34lt0t  23337  tanord  23360  argimlt0  23435  logdmnrp  23459  dvloglem  23466  atanlogsub  23715  atantan  23722  lgsdilem  24121  ostth3  24347  sgnmul  29209  elpell14qr2  35429  jm2.24  35534  mulltgt0  36998  fourierdlem43  37596  fourierdlem44  37597  fourierdlem92  37645  fourierdlem109  37662
  Copyright terms: Public domain W3C validator