MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lt0ne0d Structured version   Unicode version

Theorem lt0ne0d 10114
Description: Something less than zero is not zero. Deduction form. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
lt0ne0d.1  |-  ( ph  ->  A  <  0 )
Assertion
Ref Expression
lt0ne0d  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )

Proof of Theorem lt0ne0d
StepHypRef Expression
1 lt0ne0d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  <  0 )
2 0re 9592 . . . . 5  |-  0  e.  RR
32ltnri 9689 . . . 4  |-  -.  0  <  0
4 breq1 4450 . . . 4  |-  ( A  =  0  ->  ( A  <  0  <->  0  <  0 ) )
53, 4mtbiri 303 . . 3  |-  ( A  =  0  ->  -.  A  <  0 )
65necon2ai 2702 . 2  |-  ( A  <  0  ->  A  =/=  0 )
71, 6syl 16 1  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    =/= wne 2662   class class class wbr 4447   0cc0 9488    < clt 9624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-ltxr 9629
This theorem is referenced by:  mbfmulc2lem  21789  coseq00topi  22628  argimlt0  22726  atantan  22982  bcm1n  27268
  Copyright terms: Public domain W3C validator