MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lt0ne0d Structured version   Unicode version

Theorem lt0ne0d 10186
Description: Something less than zero is not zero. Deduction form. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
lt0ne0d.1  |-  ( ph  ->  A  <  0 )
Assertion
Ref Expression
lt0ne0d  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )

Proof of Theorem lt0ne0d
StepHypRef Expression
1 lt0ne0d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  <  0 )
2 0re 9650 . . . . 5  |-  0  e.  RR
32ltnri 9750 . . . 4  |-  -.  0  <  0
4 breq1 4426 . . . 4  |-  ( A  =  0  ->  ( A  <  0  <->  0  <  0 ) )
53, 4mtbiri 304 . . 3  |-  ( A  =  0  ->  -.  A  <  0 )
65necon2ai 2655 . 2  |-  ( A  <  0  ->  A  =/=  0 )
71, 6syl 17 1  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437    =/= wne 2614   class class class wbr 4423   0cc0 9546    < clt 9682
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-ltxr 9687
This theorem is referenced by:  mul2lt0rlt0  11405  mbfmulc2lem  22601  coseq00topi  23455  argimlt0  23560  atantan  23847  bcm1n  28377  sgnmul  29421  sgnsub  29423  sgn0bi  29426  sgnmulsgn  29428  signsvfnn  29483
  Copyright terms: Public domain W3C validator