Theorem lt01 6871

Description: 0 is less than 1. Theorem I.21 of [Apostol] p. 20.

Assertion

Ref	Expression
lt01	|- 0 < 1

Proof of Theorem lt01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax1ne0 6433	. . 3 |- 1 =/= 0
2		1re 6598	. . . 4 |- 1 e. RR
3	2	msqgt0i 6794	. . 3 |- (1 =/= 0 -> 0 < (1 x. 1))
4	1, 3	ax-mp 7	. 2 |- 0 < (1 x. 1)
5		ax1cn 6422	. . 3 |- 1 e. CC
6	5	mulid1i 6485	. 2 |- (1 x. 1) = 1
7	4, 6	breqtri 3360	1 |- 0 < 1

Syntax hints:   =/= wne 2017   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884  0cc0 6386  1c1 6387   x. cmul 6391   < clt 6653

This theorem is referenced by:  eqnegi 6982  elimgt0 6987  ltp1 6989  recgt0ii 6992  ltm1 6993  mulgt1 7027  lemulge11 7030  recgt0 7043  reclt1 7081  recgt1 7082  recgt1i 7083  recp1lt1 7084  recreclt 7085  halfposi 7087  posexi 7091  nnge1 7126  nngt0 7129  0nnn 7131  nnrecgt0 7137  nnleltp1 7138  2pos 7173  3pos 7175  4pos 7176  5pos 7177  6pos 7178  7pos 7179  8pos 7180  9pos 7181  10pos 7182  halflt1 7216  1rp 7235  lt0nnn0 7325  elnnz1 7364  zltp1le 7390  recnz 7403  cardfz 7719  expgt0 7831  expge0 7833  expordi 7845  exple1 7852  expnbnd 7901  expnlbnd 7902  expnlbnd2 7903  nnesqi 7912  sqrlem1 7923  sqrlem2 7924  sqrlem3 7925  sqrlem6 7928  sqrlem8 7930  sqrlem9 7931  sqrlem10 7932  sqrlem11 7933  sqrlem16 7938  sqrlem19 7941  sqrlem20 7942  sqrlem21 7943  sqrlem22 7944  sqr1 7966  sqr2gt1lt2 7969  inelr 7985  nthruz 7996  absexp 8119  abs1mi 8156  caubndi 8178  faclbnd3 8199  faclbnd4lem1 8200  bcpasci 8221  climmullem1 8380  climmullem2 8381  climmullem3 8382  climmullem4 8383  arisumi 8487  expcnvlem2 8489  expcnvlem5 8492  geolim 8499  geolim1 8501  georeclim 8502  geoisumr 8505  efcltlem1 8566  ef01tlubi 8648  absef01tlubi 8650  eirrlem4 8654  efgt0i 8669  eflegeolem2 8679  eflegeo 8681  efm1legeo 8683  efcnlem4 8687  reeff1olem1 8689  sinbnd 8731  cosbnd 8732  cos1bnd 8740  sin01gt0 8742  sincos1sgn 8745  efieq1re 8751  blex 9126  opnm 9137  tgioolem 9192  dscmet 9196  caun0 9223  nvm1 9624  nvmtri 9631  nv1 9636  sm1cnilem 9686  nmosetn0 9767  nmo0 9791  blocnilem 9804  minveclem25 9914  sinhalfpilem 10028  coskpi 10064  sineq0re 10067  efifolem1 10076  efifolem5 10080  efifolem7 10082  normlem7tALT 10618  norm-ii.i 10637  normsubi 10641  norm1 10754  projlem2 10820  projlem6 10824  projlem28 10846  nmopsetn0 11429  nmfnsetn0 11442  nmopge0 11472  nmfnge0 11488  0cnop 11540  0cnfn 11541  nmop0 11547  nmfn0 11548  nmcopexlem2 11589  nmcopexlem5 11592  nmcfnexlem2 11618  nmcfnexlem5 11621  hstle1 11798  strlem1 11822  strlem3a 11824  strlem5 11827  jplem1 11840  zgt1b1 13771  isprm3 13776  cntrsetlem 14999  fz10 15788  absrdbnd 15799  fsumltisumi 15823  totbndbnd 15944  heiborlem35 15989  rrntotbnd 16022  iccbnd 16026  phtpyid 16049  phtpycom 16050  phtpyco 16056  reparpht 16065  pcohtpy 16083  pcopt 16084  pcoass 16085  pcorevlem 16086  pcorev 16087  pi1gp 16095

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658

Copyright terms: Public domain