Theorem lt01 5680

Description: 0 is less than 1. Theorem I.21 of [Apostol] p. 20.

Assertion

Ref	Expression
lt01	|- 0 < 1

Proof of Theorem lt01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax1ne0 5280	. . 3 |- 1 =/= 0
2		1re 5435	. . . 4 |- 1 e. RR
3	2	msqgt0 5613	. . 3 |- (1 =/= 0 -> 0 < (1 x. 1))
4	1, 3	ax-mp 7	. 2 |- 0 < (1 x. 1)
5		ax1cn 5269	. . 3 |- 1 e. CC
6	5	mulid1 5332	. 2 |- (1 x. 1) = 1
7	4, 6	breqtr 2638	1 |- 0 < 1

Syntax hints:   =/= wne 1585   class class class wbr 2619  (class class class)co 3963  0cc0 5234  1c1 5235   x. cmul 5239   < clt 5486

This theorem is referenced by:  eqneg 5804  elimgt0 5809  ltp1t 5811  recgt0i 5814  ltm1t 5815  mulgt1t 5845  lemulge11t 5848  recgt0t 5861  reclt1t 5898  recgt1t 5899  recgt1it 5900  recp1lt1 5901  recrecltt 5902  halfpos 5904  posex 5908  nnge1t 5943  nngt0t 5946  0nnn 5948  nnrecgt0t 5953  nnleltp1t 5954  2pos 5989  3pos 5991  4pos 5992  5pos 5993  6pos 5994  7pos 5995  8pos 5996  9pos 5997  10pos 5998  halflt1 6030  lt0nnn0 6116  elnnz1 6155  zltp1let 6181  recnzt 6191  rpexpclt 6582  expgt0t 6589  expge0t 6591  expordit 6600  exple1t 6607  expnbndt 6654  expnlbndt 6655  nnesq 6662  sqrlem1 6673  sqrlem2 6674  sqrlem3 6675  sqrlem6 6678  sqrlem8 6680  sqrlem9 6681  sqrlem10 6682  sqrlem11 6683  sqrlem16 6688  sqrlem19 6691  sqrlem20 6692  sqrlem21 6693  sqrlem22 6694  sqr1 6716  sqr2gt1lt2 6719  inelr 6735  nthruz 6746  absexpt 6868  abs1m 6904  caubnd 6926  faclbnd3 6947  faclbnd4lem1 6948  bcpasc 6969  climmullem1 7120  climmullem2 7121  climmullem3 7122  climmullem4 7123  fnsmnt 7226  expcnvlem2 7228  expcnvlem5 7231  geolim 7237  geolim1 7239  georeclim 7240  geoisumr 7243  mulc1cncf 7279  efcltlem1 7304  ef01tlub 7386  absef01tlub 7388  eirrlem4 7392  efgt0 7404  eflegeolem2 7414  eflegeot 7416  efm1legeot 7418  efcnlem4 7422  reeff1olem1 7424  sinbndt 7465  cosbndt 7466  cos1bnd 7474  sin01gt0 7476  sincos1sgn 7479  blex 7849  opnm 7860  tgioolem 7914  dscmet 7918  caun0 7945  nvm1 8292  nvmtri 8299  nv1 8304  sm1cnilem 8347  nmosetn0 8428  nmo0 8451  blocnilem 8464  minveclem25 8569  sinhalfpilem 8679  efifolem1 8722  efifolem5 8726  efifolem7 8728  log1 8766  normlem7tALT 8985  norm-ii 9004  normsub 9008  norm1t 9121  projlem2 9187  projlem6 9191  projlem28 9213  nmopsetn0 9792  nmfnsetn0 9805  nmopge0t 9835  nmfnge0t 9851  0cnop 9903  0cnfn 9904  nmop0 9910  nmfn0 9911  nmcopexlem2 9952  nmcopexlem5 9955  nmcfnexlem2 9981  nmcfnexlem5 9984  hstle1t 10153  strlem1 10177  strlem3a 10179  strlem5 10182  jplem1 10195  iintlem2 10633

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491

Copyright terms: Public domain