MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lswcl Structured version   Unicode version

Theorem lswcl 12497
Description: Closure of the last symbol: the last symbol of a not empty word belongs to the alphabet for the word. (Contributed by AV, 2-Aug-2018.) (Proof shortened by AV, 29-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
lswcl  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  W  =/=  (/) )  ->  ( lastS  `  W )  e.  V
)

Proof of Theorem lswcl
StepHypRef Expression
1 lsw 12493 . . 3  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( lastS  `  W )  =  ( W `  ( (
# `  W )  -  1 ) ) )
21adantr 463 . 2  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  W  =/=  (/) )  ->  ( lastS  `  W )  =  ( W `  ( (
# `  W )  -  1 ) ) )
3 lennncl 12470 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  W  =/=  (/) )  ->  ( # `
 W )  e.  NN )
4 fzo0end 11803 . . . 4  |-  ( (
# `  W )  e.  NN  ->  ( ( # `
 W )  - 
1 )  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )
53, 4syl 16 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  W  =/=  (/) )  ->  (
( # `  W )  -  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) )
6 wrdsymbcl 12466 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  -  1 )  e.  ( 0..^ (
# `  W )
) )  ->  ( W `  ( ( # `
 W )  - 
1 ) )  e.  V )
75, 6syldan 468 . 2  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  W  =/=  (/) )  ->  ( W `  ( ( # `
 W )  - 
1 ) )  e.  V )
82, 7eqeltrd 2470 1  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  W  =/=  (/) )  ->  ( lastS  `  W )  e.  V
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826    =/= wne 2577   (/)c0 3711   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   0cc0 9403   1c1 9404    - cmin 9718   NNcn 10452  ..^cfzo 11717   #chash 12307  Word cword 12438   lastS clsw 12439
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-card 8233  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-hash 12308  df-word 12446  df-lsw 12447
This theorem is referenced by:  lswlgt0cl  12498  2swrd1eqwrdeq  12590  wrdind  12613  wrd2ind  12614  ccats1swrdeqrex  12615  wwlkextwrd  24849  wwlkextfun  24850  rusgraprop4  25065  rusgranumwlks  25077  sseqf  28514  ccats1pfxeqrex  32597
  Copyright terms: Public domain W3C validator