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Theorem lswccatn0lsw 12409
 Description: The last symbol of a word concatenated with a nonempty word is the last symbol of the nonempty word. (Contributed by AV, 22-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 24-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
lswccatn0lsw Word Word lastS concat lastS

Proof of Theorem lswccatn0lsw
StepHypRef Expression
1 ovex 6228 . . 3 concat
2 lsw 12388 . . 3 concat lastS concat concat concat
31, 2mp1i 12 . 2 Word Word lastS concat concat concat
4 ccatcl 12396 . . . . . . 7 Word Word concat Word
5 lencl 12371 . . . . . . 7 concat Word concat
64, 5syl 16 . . . . . 6 Word Word concat
76nn0zd 10860 . . . . 5 Word Word concat
8 peano2zm 10803 . . . . 5 concat concat
97, 8syl 16 . . . 4 Word Word concat
1093adant3 1008 . . 3 Word Word concat
11 ccatsymb 12403 . . 3 Word Word concat concat concat concat concat concat
1210, 11syld3an3 1264 . 2 Word Word concat concat concat concat concat
13 ccatlen 12397 . . . . . . . 8 Word Word concat
1413oveq1d 6218 . . . . . . 7 Word Word concat
1514oveq1d 6218 . . . . . 6 Word Word concat
16 lencl 12371 . . . . . . 7 Word
17 lencl 12371 . . . . . . 7 Word
18 nn0cn 10704 . . . . . . . 8
19 nn0cn 10704 . . . . . . . 8
20 addcl 9479 . . . . . . . . . 10
21 ax-1cn 9455 . . . . . . . . . . 11
2221a1i 11 . . . . . . . . . 10
23 simpl 457 . . . . . . . . . 10
2420, 22, 23sub32d 9866 . . . . . . . . 9
25 pncan2 9732 . . . . . . . . . 10
2625oveq1d 6218 . . . . . . . . 9
2724, 26eqtrd 2495 . . . . . . . 8
2818, 19, 27syl2an 477 . . . . . . 7
2916, 17, 28syl2an 477 . . . . . 6 Word Word
3015, 29eqtrd 2495 . . . . 5 Word Word concat
31303adant3 1008 . . . 4 Word Word concat
3231fveq2d 5806 . . 3 Word Word concat
33 lennncl 12372 . . . . . . . 8 Word
34 nnnlt1 10467 . . . . . . . . . . . 12
3534adantr 465 . . . . . . . . . . 11
36 nn0re 10703 . . . . . . . . . . . . 13
3736adantl 466 . . . . . . . . . . . 12
38 nnre 10444 . . . . . . . . . . . . 13
3938adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
40 1red 9516 . . . . . . . . . . . 12
41 ltaddsublt 10078 . . . . . . . . . . . 12
4237, 39, 40, 41syl3anc 1219 . . . . . . . . . . 11
4335, 42mtbid 300 . . . . . . . . . 10
4416, 43sylan2 474 . . . . . . . . 9 Word
4544ex 434 . . . . . . . 8 Word
4633, 45syl 16 . . . . . . 7 Word Word
4746com12 31 . . . . . 6 Word Word
48473impib 1186 . . . . 5 Word Word
4914breq1d 4413 . . . . . . 7 Word Word concat
5049notbid 294 . . . . . 6 Word Word concat
51503adant3 1008 . . . . 5 Word Word concat
5248, 51mpbird 232 . . . 4 Word Word concat
53 iffalse 3910 . . . 4 concat concat concat concat concat
5452, 53syl 16 . . 3 Word Word concat concat concat concat
55 lsw 12388 . . . 4 Word lastS
56553ad2ant2 1010 . . 3 Word Word lastS
5732, 54, 563eqtr4d 2505 . 2 Word Word concat concat concat lastS
583, 12, 573eqtrd 2499 1 Word Word lastS concat lastS
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 965   wceq 1370   wcel 1758   wne 2648  cvv 3078  c0 3748  cif 3902   class class class wbr 4403  cfv 5529  (class class class)co 6203  cc 9395  cr 9396  c1 9398   caddc 9400   clt 9533   cmin 9710  cn 10437  cn0 10694  cz 10761  chash 12224  Word cword 12343   lastS clsw 12344   concat cconcat 12345 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-card 8224  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-n0 10695  df-z 10762  df-uz 10977  df-fz 11559  df-fzo 11670  df-hash 12225  df-word 12351  df-lsw 12352  df-concat 12353 This theorem is referenced by:  lswccats1  12434  lswccats1fst  30433
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