Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lswccat0lsw Structured version   Unicode version

Theorem lswccat0lsw 12588
 Description: The last symbol of a word concatenated with the empty word is the last symbol of the word. (Contributed by AV, 22-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
lswccat0lsw Word lastS concat lastS

Proof of Theorem lswccat0lsw
StepHypRef Expression
1 wrd0 12546 . . . . . 6 Word
2 ccatlen 12574 . . . . . 6 Word Word concat
31, 2mpan2 671 . . . . 5 Word concat
4 hash0 12417 . . . . . . 7
54a1i 11 . . . . . 6 Word
65oveq2d 6311 . . . . 5 Word
7 lencl 12543 . . . . . . 7 Word
8 nn0cn 10817 . . . . . . 7
97, 8syl 16 . . . . . 6 Word
109addid1d 9791 . . . . 5 Word
113, 6, 103eqtrd 2512 . . . 4 Word concat
1211oveq1d 6310 . . 3 Word concat
1312fveq2d 5876 . 2 Word concat
14 ccatcl 12573 . . . . 5 Word Word concat Word
151, 14mpan2 671 . . . 4 Word concat Word
16 lsw 12565 . . . 4 concat Word lastS concat concat concat
1715, 16syl 16 . . 3 Word lastS concat concat concat
181a1i 11 . . . 4 Word Word
19 nn0z 10899 . . . . . . . 8
20 0z 10887 . . . . . . . . . 10
214, 20eqeltri 2551 . . . . . . . . 9
2221a1i 11 . . . . . . . 8
2319, 22zaddcld 10982 . . . . . . 7
247, 23syl 16 . . . . . 6 Word
253, 24eqeltrd 2555 . . . . 5 Word concat
26 peano2zm 10918 . . . . 5 concat concat
2725, 26syl 16 . . . 4 Word concat
28 ccatsymb 12580 . . . 4 Word Word concat concat concat concat concat concat
2918, 27, 28mpd3an23 1326 . . 3 Word concat concat concat concat concat
303, 6eqtrd 2508 . . . . . 6 Word concat
3130oveq1d 6310 . . . . 5 Word concat
328addid1d 9791 . . . . . . . 8
3332oveq1d 6310 . . . . . . 7
34 nn0re 10816 . . . . . . . 8
3534ltm1d 10490 . . . . . . 7
3633, 35eqbrtrd 4473 . . . . . 6
377, 36syl 16 . . . . 5 Word
3831, 37eqbrtrd 4473 . . . 4 Word concat
39 iftrue 3951 . . . 4 concat concat concat concat concat
4038, 39syl 16 . . 3 Word concat concat concat concat
4117, 29, 403eqtrd 2512 . 2 Word lastS concat concat
42 lsw 12565 . 2 Word lastS
4313, 41, 423eqtr4d 2518 1 Word lastS concat lastS
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wceq 1379   wcel 1767  c0 3790  cif 3945   class class class wbr 4453  cfv 5594  (class class class)co 6295  cc 9502  cc0 9504  c1 9505   caddc 9507   clt 9640   cmin 9817  cn0 10807  cz 10876  chash 12385  Word cword 12515   lastS clsw 12516   concat cconcat 12517 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-hash 12386  df-word 12523  df-lsw 12524  df-concat 12525 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator