MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsw1 Structured version   Unicode version

Theorem lsw1 12576
Description: The last symbol of a word of length 1 is the first symbol of this word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
lsw1  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W )  =  1 )  -> 
( lastS  `  W )  =  ( W `  0
) )

Proof of Theorem lsw1
StepHypRef Expression
1 lsw 12573 . 2  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( lastS  `  W )  =  ( W `  ( (
# `  W )  -  1 ) ) )
2 oveq1 6277 . . . 4  |-  ( (
# `  W )  =  1  ->  (
( # `  W )  -  1 )  =  ( 1  -  1 ) )
3 1m1e0 10600 . . . 4  |-  ( 1  -  1 )  =  0
42, 3syl6eq 2511 . . 3  |-  ( (
# `  W )  =  1  ->  (
( # `  W )  -  1 )  =  0 )
54fveq2d 5852 . 2  |-  ( (
# `  W )  =  1  ->  ( W `  ( ( # `
 W )  - 
1 ) )  =  ( W `  0
) )
61, 5sylan9eq 2515 1  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W )  =  1 )  -> 
( lastS  `  W )  =  ( W `  0
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   0cc0 9481   1c1 9482    - cmin 9796   #chash 12387  Word cword 12518   lastS clsw 12519
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-ltxr 9622  df-sub 9798  df-lsw 12527
This theorem is referenced by:  lsws1  12609
  Copyright terms: Public domain W3C validator