MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsw0 Structured version   Unicode version

Theorem lsw0 12386
Description: The last symbol of an empty word does not exist. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
lsw0  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W )  =  0 )  -> 
( lastS  `  W )  =  (/) )

Proof of Theorem lsw0
StepHypRef Expression
1 lsw 12385 . . 3  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( lastS  `  W )  =  ( W `  ( (
# `  W )  -  1 ) ) )
21adantr 465 . 2  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W )  =  0 )  -> 
( lastS  `  W )  =  ( W `  (
( # `  W )  -  1 ) ) )
3 oveq1 6208 . . . 4  |-  ( (
# `  W )  =  0  ->  (
( # `  W )  -  1 )  =  ( 0  -  1 ) )
43fveq2d 5804 . . 3  |-  ( (
# `  W )  =  0  ->  ( W `  ( ( # `
 W )  - 
1 ) )  =  ( W `  (
0  -  1 ) ) )
5 wrdf 12359 . . . . 5  |-  ( W  e. Word  V  ->  W : ( 0..^ (
# `  W )
) --> V )
6 lencl 12368 . . . . 5  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( # `
 W )  e. 
NN0 )
7 fdm 5672 . . . . . 6  |-  ( W : ( 0..^ (
# `  W )
) --> V  ->  dom  W  =  ( 0..^ (
# `  W )
) )
8 1nn 10445 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  NN
9 0mnnnnn0 10724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  NN  ->  (
0  -  1 )  e/  NN0 )
108, 9mp1i 12 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  ( 0  -  1 )  e/  NN0 )
11 df-nel 2651 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  -  1 )  e/  NN0  <->  -.  ( 0  -  1 )  e. 
NN0 )
1210, 11sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  -.  (
0  -  1 )  e.  NN0 )
13 3mix1 1157 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( 0  -  1 )  e.  NN0  ->  ( -.  ( 0  -  1 )  e.  NN0  \/ 
-.  ( # `  W
)  e.  NN  \/  -.  ( 0  -  1 )  <  ( # `  W ) ) )
1412, 13syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  ( -.  ( 0  -  1 )  e.  NN0  \/  -.  ( # `  W
)  e.  NN  \/  -.  ( 0  -  1 )  <  ( # `  W ) ) )
15 3ianor 982 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( ( 0  -  1 )  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN  /\  ( 0  -  1 )  <  ( # `  W ) )  <->  ( -.  ( 0  -  1 )  e.  NN0  \/  -.  ( # `  W
)  e.  NN  \/  -.  ( 0  -  1 )  <  ( # `  W ) ) )
1614, 15sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  -.  (
( 0  -  1 )  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  (
0  -  1 )  <  ( # `  W
) ) )
17 elfzo0 11705 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  -  1 )  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  <->  ( ( 0  -  1 )  e. 
NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN  /\  ( 0  -  1 )  <  ( # `  W ) ) )
1816, 17sylnibr 305 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  -.  (
0  -  1 )  e.  ( 0..^ (
# `  W )
) )
19 eleq2 2527 . . . . . . . 8  |-  ( dom 
W  =  ( 0..^ ( # `  W
) )  ->  (
( 0  -  1 )  e.  dom  W  <->  ( 0  -  1 )  e.  ( 0..^ (
# `  W )
) ) )
2019notbid 294 . . . . . . 7  |-  ( dom 
W  =  ( 0..^ ( # `  W
) )  ->  ( -.  ( 0  -  1 )  e.  dom  W  <->  -.  ( 0  -  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ) )
2118, 20syl5ibr 221 . . . . . 6  |-  ( dom 
W  =  ( 0..^ ( # `  W
) )  ->  (
( # `  W )  e.  NN0  ->  -.  (
0  -  1 )  e.  dom  W ) )
227, 21syl 16 . . . . 5  |-  ( W : ( 0..^ (
# `  W )
) --> V  ->  (
( # `  W )  e.  NN0  ->  -.  (
0  -  1 )  e.  dom  W ) )
235, 6, 22sylc 60 . . . 4  |-  ( W  e. Word  V  ->  -.  ( 0  -  1 )  e.  dom  W
)
24 ndmfv 5824 . . . 4  |-  ( -.  ( 0  -  1 )  e.  dom  W  ->  ( W `  (
0  -  1 ) )  =  (/) )
2523, 24syl 16 . . 3  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( W `  ( 0  -  1 ) )  =  (/) )
264, 25sylan9eqr 2517 . 2  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W )  =  0 )  -> 
( W `  (
( # `  W )  -  1 ) )  =  (/) )
272, 26eqtrd 2495 1  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W )  =  0 )  -> 
( lastS  `  W )  =  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    \/ w3o 964    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    e/ wnel 2649   (/)c0 3746   class class class wbr 4401   dom cdm 4949   -->wf 5523   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   0cc0 9394   1c1 9395    < clt 9530    - cmin 9707   NNcn 10434   NN0cn0 10691  ..^cfzo 11666   #chash 12221  Word cword 12340   lastS clsw 12341
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-oadd 7035  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-card 8221  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-n0 10692  df-z 10759  df-uz 10974  df-fz 11556  df-fzo 11667  df-hash 12222  df-word 12348  df-lsw 12349
This theorem is referenced by:  lsw0g  12387
  Copyright terms: Public domain W3C validator