MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsw0 Structured version   Unicode version

Theorem lsw0 12517
Description: The last symbol of an empty word does not exist. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Mar-2018.) (Proof shortened by AV, 2-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
lsw0  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W )  =  0 )  -> 
( lastS  `  W )  =  (/) )

Proof of Theorem lsw0
StepHypRef Expression
1 lsw 12516 . . 3  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( lastS  `  W )  =  ( W `  ( (
# `  W )  -  1 ) ) )
21adantr 463 . 2  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W )  =  0 )  -> 
( lastS  `  W )  =  ( W `  (
( # `  W )  -  1 ) ) )
3 oveq1 6225 . . . 4  |-  ( (
# `  W )  =  0  ->  (
( # `  W )  -  1 )  =  ( 0  -  1 ) )
43fveq2d 5795 . . 3  |-  ( (
# `  W )  =  0  ->  ( W `  ( ( # `
 W )  - 
1 ) )  =  ( W `  (
0  -  1 ) ) )
5 wrddm 12483 . . . 4  |-  ( W  e. Word  V  ->  dom  W  =  ( 0..^ (
# `  W )
) )
6 1nn 10485 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN
7 nnnle0 10505 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  NN  ->  -.  1  <_  0 )
86, 7ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  -.  1  <_  0
9 0re 9529 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
10 1re 9528 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
119, 10subge0i 10045 . . . . . . 7  |-  ( 0  <_  ( 0  -  1 )  <->  1  <_  0 )
128, 11mtbir 297 . . . . . 6  |-  -.  0  <_  ( 0  -  1 )
13 elfzole1 11752 . . . . . 6  |-  ( ( 0  -  1 )  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  0  <_  ( 0  -  1 ) )
1412, 13mto 176 . . . . 5  |-  -.  (
0  -  1 )  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)
15 eleq2 2469 . . . . 5  |-  ( dom 
W  =  ( 0..^ ( # `  W
) )  ->  (
( 0  -  1 )  e.  dom  W  <->  ( 0  -  1 )  e.  ( 0..^ (
# `  W )
) ) )
1614, 15mtbiri 301 . . . 4  |-  ( dom 
W  =  ( 0..^ ( # `  W
) )  ->  -.  ( 0  -  1 )  e.  dom  W
)
17 ndmfv 5815 . . . 4  |-  ( -.  ( 0  -  1 )  e.  dom  W  ->  ( W `  (
0  -  1 ) )  =  (/) )
185, 16, 173syl 20 . . 3  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( W `  ( 0  -  1 ) )  =  (/) )
194, 18sylan9eqr 2459 . 2  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W )  =  0 )  -> 
( W `  (
( # `  W )  -  1 ) )  =  (/) )
202, 19eqtrd 2437 1  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W )  =  0 )  -> 
( lastS  `  W )  =  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1836   (/)c0 3728   class class class wbr 4384   dom cdm 4930   ` cfv 5513  (class class class)co 6218   0cc0 9425   1c1 9426    <_ cle 9562    - cmin 9740   NNcn 10474  ..^cfzo 11739   #chash 12330  Word cword 12461   lastS clsw 12462
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-rep 4495  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pow 4560  ax-pr 4618  ax-un 6513  ax-cnex 9481  ax-resscn 9482  ax-1cn 9483  ax-icn 9484  ax-addcl 9485  ax-addrcl 9486  ax-mulcl 9487  ax-mulrcl 9488  ax-mulcom 9489  ax-addass 9490  ax-mulass 9491  ax-distr 9492  ax-i2m1 9493  ax-1ne0 9494  ax-1rid 9495  ax-rnegex 9496  ax-rrecex 9497  ax-cnre 9498  ax-pre-lttri 9499  ax-pre-lttrn 9500  ax-pre-ltadd 9501  ax-pre-mulgt0 9502
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-nel 2594  df-ral 2751  df-rex 2752  df-reu 2753  df-rmo 2754  df-rab 2755  df-v 3053  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3729  df-if 3875  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4181  df-int 4217  df-iun 4262  df-br 4385  df-opab 4443  df-mpt 4444  df-tr 4478  df-eprel 4722  df-id 4726  df-po 4731  df-so 4732  df-fr 4769  df-we 4771  df-ord 4812  df-on 4813  df-lim 4814  df-suc 4815  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-dm 4940  df-rn 4941  df-res 4942  df-ima 4943  df-iota 5477  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-riota 6180  df-ov 6221  df-oprab 6222  df-mpt2 6223  df-om 6622  df-1st 6721  df-2nd 6722  df-recs 6982  df-rdg 7016  df-1o 7070  df-oadd 7074  df-er 7251  df-en 7458  df-dom 7459  df-sdom 7460  df-fin 7461  df-card 8255  df-cda 8483  df-pnf 9563  df-mnf 9564  df-xr 9565  df-ltxr 9566  df-le 9567  df-sub 9742  df-neg 9743  df-nn 10475  df-2 10533  df-n0 10735  df-z 10804  df-uz 11024  df-fz 11616  df-fzo 11740  df-hash 12331  df-word 12469  df-lsw 12470
This theorem is referenced by:  lsw0g  12518
  Copyright terms: Public domain W3C validator