MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssvscl Structured version   Unicode version

Theorem lssvscl 17579
Description: Closure of scalar product in a subspace. (Contributed by NM, 11-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lssvscl.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lssvscl.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lssvscl.b  |-  B  =  ( Base `  F
)
lssvscl.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
Assertion
Ref Expression
lssvscl  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  U ) )  -> 
( X  .x.  Y
)  e.  U )

Proof of Theorem lssvscl
StepHypRef Expression
1 simpll 753 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  U ) )  ->  W  e.  LMod )
2 simprl 756 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  U ) )  ->  X  e.  B )
3 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
4 lssvscl.s . . . . . 6  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
53, 4lssel 17562 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  S  /\  Y  e.  U )  ->  Y  e.  ( Base `  W ) )
65ad2ant2l 745 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  U ) )  ->  Y  e.  ( Base `  W ) )
7 lssvscl.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
8 lssvscl.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
9 lssvscl.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  F
)
103, 7, 8, 9lmodvscl 17507 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  ( Base `  W
) )  ->  ( X  .x.  Y )  e.  ( Base `  W
) )
111, 2, 6, 10syl3anc 1229 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  U ) )  -> 
( X  .x.  Y
)  e.  ( Base `  W ) )
12 eqid 2443 . . . 4  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
13 eqid 2443 . . . 4  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
143, 12, 13lmod0vrid 17521 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( X  .x.  Y )  e.  ( Base `  W
) )  ->  (
( X  .x.  Y
) ( +g  `  W
) ( 0g `  W ) )  =  ( X  .x.  Y
) )
151, 11, 14syl2anc 661 . 2  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  U ) )  -> 
( ( X  .x.  Y ) ( +g  `  W ) ( 0g
`  W ) )  =  ( X  .x.  Y ) )
16 simplr 755 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  U ) )  ->  U  e.  S )
17 simprr 757 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  U ) )  ->  Y  e.  U )
1813, 4lss0cl 17571 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  ( 0g `  W )  e.  U )
1918adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  U ) )  -> 
( 0g `  W
)  e.  U )
207, 9, 12, 8, 4lsscl 17567 . . 3  |-  ( ( U  e.  S  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  U  /\  ( 0g `  W
)  e.  U ) )  ->  ( ( X  .x.  Y ) ( +g  `  W ) ( 0g `  W
) )  e.  U
)
2116, 2, 17, 19, 20syl13anc 1231 . 2  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  U ) )  -> 
( ( X  .x.  Y ) ( +g  `  W ) ( 0g
`  W ) )  e.  U )
2215, 21eqeltrrd 2532 1  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  U ) )  -> 
( X  .x.  Y
)  e.  U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Basecbs 14613   +g cplusg 14678  Scalarcsca 14681   .scvsca 14682   0gc0g 14818   LModclmod 17490   LSubSpclss 17556
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-ndx 14616  df-slot 14617  df-base 14618  df-sets 14619  df-plusg 14691  df-0g 14820  df-mgm 15850  df-sgrp 15889  df-mnd 15899  df-grp 16035  df-minusg 16036  df-sbg 16037  df-mgp 17120  df-ur 17132  df-ring 17178  df-lmod 17492  df-lss 17557
This theorem is referenced by:  lssvnegcl  17580  islss3  17583  islss4  17586  lspsneli  17625  lspsn  17626  lmhmima  17671  lmhmpreima  17672  reslmhm  17676  lsmcl  17707  pj1lmhm  17724  lssvs0or  17734  lspfixed  17752  lspexch  17753  lspsolv  17767  lidlmcl  17843  mplbas2  18112  mplbas2OLD  18113  frlmssuvc1  18802  frlmssuvc1OLD  18804  frlmsslsp  18806  frlmsslspOLD  18807  lssnlm  21186  minveclem2  21818  pjthlem1  21829  gsumlsscl  32711  lshpkrlem5  34579  ldualssvscl  34623  dochkr1  36945  dochkr1OLDN  36946  lclkrlem2o  36988  lcfrlem5  37013  lcdlssvscl  37073  hgmapvvlem3  37395
  Copyright terms: Public domain W3C validator