MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssvnegcl Structured version   Unicode version

Theorem lssvnegcl 17049
Description: Closure of negative vectors in a subspace. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lssvnegcl.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lssvnegcl.n  |-  N  =  ( invg `  W )
Assertion
Ref Expression
lssvnegcl  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  X  e.  U )  ->  ( N `  X )  e.  U )

Proof of Theorem lssvnegcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
2 lssvnegcl.s . . . . 5  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
31, 2lssel 17031 . . . 4  |-  ( ( U  e.  S  /\  X  e.  U )  ->  X  e.  ( Base `  W ) )
4 lssvnegcl.n . . . . 5  |-  N  =  ( invg `  W )
5 eqid 2443 . . . . 5  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
6 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
7 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)
8 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( invg `  (Scalar `  W ) )  =  ( invg `  (Scalar `  W ) )
91, 4, 5, 6, 7, 8lmodvneg1 17000 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  ( Base `  W
) )  ->  (
( ( invg `  (Scalar `  W )
) `  ( 1r `  (Scalar `  W )
) ) ( .s
`  W ) X )  =  ( N `
 X ) )
103, 9sylan2 474 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( U  e.  S  /\  X  e.  U )
)  ->  ( (
( invg `  (Scalar `  W ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W ) X )  =  ( N `  X ) )
11103impb 1183 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  X  e.  U )  ->  (
( ( invg `  (Scalar `  W )
) `  ( 1r `  (Scalar `  W )
) ) ( .s
`  W ) X )  =  ( N `
 X ) )
12 simp1 988 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  X  e.  U )  ->  W  e.  LMod )
13 simp2 989 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  X  e.  U )  ->  U  e.  S )
145lmodrng 16968 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  (Scalar `  W )  e.  Ring )
15143ad2ant1 1009 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  X  e.  U )  ->  (Scalar `  W )  e.  Ring )
16 rnggrp 16662 . . . . 5  |-  ( (Scalar `  W )  e.  Ring  -> 
(Scalar `  W )  e.  Grp )
1715, 16syl 16 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  X  e.  U )  ->  (Scalar `  W )  e.  Grp )
18 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
1918, 7rngidcl 16677 . . . . 5  |-  ( (Scalar `  W )  e.  Ring  -> 
( 1r `  (Scalar `  W ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )
2015, 19syl 16 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  X  e.  U )  ->  ( 1r `  (Scalar `  W
) )  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) )
2118, 8grpinvcl 15595 . . . 4  |-  ( ( (Scalar `  W )  e.  Grp  /\  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) )  ->  (
( invg `  (Scalar `  W ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  W ) ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) )
2217, 20, 21syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  X  e.  U )  ->  (
( invg `  (Scalar `  W ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  W ) ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) )
23 simp3 990 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  X  e.  U )  ->  X  e.  U )
245, 6, 18, 2lssvscl 17048 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( ( ( invg `  (Scalar `  W ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  W ) ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  X  e.  U )
)  ->  ( (
( invg `  (Scalar `  W ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W ) X )  e.  U )
2512, 13, 22, 23, 24syl22anc 1219 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  X  e.  U )  ->  (
( ( invg `  (Scalar `  W )
) `  ( 1r `  (Scalar `  W )
) ) ( .s
`  W ) X )  e.  U )
2611, 25eqeltrrd 2518 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  X  e.  U )  ->  ( N `  X )  e.  U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   Basecbs 14186  Scalarcsca 14253   .scvsca 14254   Grpcgrp 15422   invgcminusg 15423   1rcur 16615   Ringcrg 16657   LModclmod 16960   LSubSpclss 17025
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-nn 10335  df-2 10392  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-sets 14192  df-plusg 14263  df-0g 14392  df-mnd 15427  df-grp 15557  df-minusg 15558  df-sbg 15559  df-mgp 16604  df-ur 16616  df-rng 16659  df-lmod 16962  df-lss 17026
This theorem is referenced by:  lsssubg  17050  lidlnegcl  17308  mapdpglem14  35342  baerlem3lem1  35364  baerlem5amN  35373  baerlem5bmN  35374  baerlem5abmN  35375
  Copyright terms: Public domain W3C validator