MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssvancl2 Structured version   Unicode version

Theorem lssvancl2 17914
Description: Non-closure: if one vector belongs to a subspace but another does not, their sum does not belong. Useful for obtaining a new vector not in a subspace. (Contributed by NM, 20-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lssvancl.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lssvancl.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
lssvancl.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lssvancl.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lssvancl.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lssvancl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  U )
lssvancl.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
lssvancl.n  |-  ( ph  ->  -.  Y  e.  U
)
Assertion
Ref Expression
lssvancl2  |-  ( ph  ->  -.  ( Y  .+  X )  e.  U
)

Proof of Theorem lssvancl2
StepHypRef Expression
1 lssvancl.w . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
2 lssvancl.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
3 lssvancl.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  U )
4 lssvancl.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
5 lssvancl.s . . . . 5  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
64, 5lssel 17906 . . . 4  |-  ( ( U  e.  S  /\  X  e.  U )  ->  X  e.  V )
72, 3, 6syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
8 lssvancl.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
9 lssvancl.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  W )
104, 9lmodcom 17878 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .+  Y )  =  ( Y  .+  X
) )
111, 7, 8, 10syl3anc 1232 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  =  ( Y 
.+  X ) )
12 lssvancl.n . . 3  |-  ( ph  ->  -.  Y  e.  U
)
134, 9, 5, 1, 2, 3, 8, 12lssvancl1 17913 . 2  |-  ( ph  ->  -.  ( X  .+  Y )  e.  U
)
1411, 13eqneltrrd 2514 1  |-  ( ph  ->  -.  ( Y  .+  X )  e.  U
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1407    e. wcel 1844   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   Basecbs 14843   +g cplusg 14911   LModclmod 17834   LSubSpclss 17900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-nn 10579  df-2 10637  df-ndx 14846  df-slot 14847  df-base 14848  df-sets 14849  df-plusg 14924  df-0g 15058  df-mgm 16198  df-sgrp 16237  df-mnd 16247  df-grp 16383  df-minusg 16384  df-sbg 16385  df-cmn 17126  df-abl 17127  df-mgp 17464  df-ur 17476  df-ring 17522  df-lmod 17836  df-lss 17901
This theorem is referenced by:  dvh3dim2  34481  dvh3dim3N  34482  hdmap11lem2  34878  hdmaprnlem3N  34886
  Copyright terms: Public domain W3C validator