MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssvancl2 Structured version   Unicode version

Theorem lssvancl2 17368
Description: Non-closure: if one vector belongs to a subspace but another does not, their sum does not belong. Useful for obtaining a new vector not in a subspace. (Contributed by NM, 20-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lssvancl.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lssvancl.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
lssvancl.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lssvancl.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lssvancl.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lssvancl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  U )
lssvancl.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
lssvancl.n  |-  ( ph  ->  -.  Y  e.  U
)
Assertion
Ref Expression
lssvancl2  |-  ( ph  ->  -.  ( Y  .+  X )  e.  U
)

Proof of Theorem lssvancl2
StepHypRef Expression
1 lssvancl.w . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
2 lssvancl.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
3 lssvancl.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  U )
4 lssvancl.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
5 lssvancl.s . . . . 5  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
64, 5lssel 17360 . . . 4  |-  ( ( U  e.  S  /\  X  e.  U )  ->  X  e.  V )
72, 3, 6syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
8 lssvancl.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
9 lssvancl.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  W )
104, 9lmodcom 17332 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .+  Y )  =  ( Y  .+  X
) )
111, 7, 8, 10syl3anc 1223 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  =  ( Y 
.+  X ) )
12 lssvancl.n . . 3  |-  ( ph  ->  -.  Y  e.  U
)
134, 9, 5, 1, 2, 3, 8, 12lssvancl1 17367 . 2  |-  ( ph  ->  -.  ( X  .+  Y )  e.  U
)
1411, 13eqneltrrd 2570 1  |-  ( ph  ->  -.  ( Y  .+  X )  e.  U
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1374    e. wcel 1762   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   Basecbs 14479   +g cplusg 14544   LModclmod 17288   LSubSpclss 17354
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-plusg 14557  df-0g 14686  df-mnd 15721  df-grp 15851  df-minusg 15852  df-sbg 15853  df-cmn 16589  df-abl 16590  df-mgp 16925  df-ur 16937  df-rng 16981  df-lmod 17290  df-lss 17355
This theorem is referenced by:  dvh3dim2  36120  dvh3dim3N  36121  hdmap11lem2  36517  hdmaprnlem3N  36525
  Copyright terms: Public domain W3C validator