MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssvancl1 Structured version   Unicode version

Theorem lssvancl1 17025
Description: Non-closure: if one vector belongs to a subspace but another does not, their sum does not belong. Useful for obtaining a new vector not in a subspace. TODO: notice similarity to lspindp3 17216. Can it be used along with lspsnne1 17197, lspsnne2 17198 to shorten this proof? (Contributed by NM, 14-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lssvancl.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lssvancl.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
lssvancl.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lssvancl.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lssvancl.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lssvancl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  U )
lssvancl.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
lssvancl.n  |-  ( ph  ->  -.  Y  e.  U
)
Assertion
Ref Expression
lssvancl1  |-  ( ph  ->  -.  ( X  .+  Y )  e.  U
)

Proof of Theorem lssvancl1
StepHypRef Expression
1 lssvancl.n . 2  |-  ( ph  ->  -.  Y  e.  U
)
2 lssvancl.w . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
3 lmodabl 16991 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
42, 3syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  Abel )
5 lssvancl.u . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
6 lssvancl.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  U )
7 lssvancl.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  W
)
8 lssvancl.s . . . . . . 7  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
97, 8lssel 17018 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  S  /\  X  e.  U )  ->  X  e.  V )
105, 6, 9syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
11 lssvancl.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
12 lssvancl.p . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  W )
13 eqid 2442 . . . . . 6  |-  ( -g `  W )  =  (
-g `  W )
147, 12, 13ablpncan2 16304 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  Abel  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( X  .+  Y
) ( -g `  W
) X )  =  Y )
154, 10, 11, 14syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X  .+  Y ) ( -g `  W ) X )  =  Y )
1615adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  e.  U
)  ->  ( ( X  .+  Y ) (
-g `  W ) X )  =  Y )
172adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  e.  U
)  ->  W  e.  LMod )
185adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  e.  U
)  ->  U  e.  S )
19 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  e.  U
)  ->  ( X  .+  Y )  e.  U
)
206adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  e.  U
)  ->  X  e.  U )
2113, 8lssvsubcl 17024 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( ( X 
.+  Y )  e.  U  /\  X  e.  U ) )  -> 
( ( X  .+  Y ) ( -g `  W ) X )  e.  U )
2217, 18, 19, 20, 21syl22anc 1219 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  e.  U
)  ->  ( ( X  .+  Y ) (
-g `  W ) X )  e.  U
)
2316, 22eqeltrrd 2517 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  e.  U
)  ->  Y  e.  U )
241, 23mtand 659 1  |-  ( ph  ->  -.  ( X  .+  Y )  e.  U
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   Basecbs 14173   +g cplusg 14237   -gcsg 15412   Abelcabel 16277   LModclmod 16947   LSubSpclss 17012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-er 7100  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-nn 10322  df-2 10379  df-ndx 14176  df-slot 14177  df-base 14178  df-sets 14179  df-plusg 14250  df-0g 14379  df-mnd 15414  df-grp 15544  df-minusg 15545  df-sbg 15546  df-cmn 16278  df-abl 16279  df-mgp 16591  df-ur 16603  df-rng 16646  df-lmod 16949  df-lss 17013
This theorem is referenced by:  lssvancl2  17026  dvh3dim2  35091  dvh3dim3N  35092  hdmap11lem2  35488
  Copyright terms: Public domain W3C validator