MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssuni Structured version   Unicode version

Theorem lssuni 18098
Description: The union of all subspaces is the vector space. (Contributed by NM, 13-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lssss.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lssss.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lssuni.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
Assertion
Ref Expression
lssuni  |-  ( ph  ->  U. S  =  V )

Proof of Theorem lssuni
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rabid2 3013 . . . 4  |-  ( S  =  { x  e.  S  |  x  C_  V }  <->  A. x  e.  S  x  C_  V )
2 lssss.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 lssss.s . . . . 5  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
42, 3lssss 18095 . . . 4  |-  ( x  e.  S  ->  x  C_  V )
51, 4mprgbir 2796 . . 3  |-  S  =  { x  e.  S  |  x  C_  V }
65unieqi 4231 . 2  |-  U. S  =  U. { x  e.  S  |  x  C_  V }
7 lssuni.w . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
82, 3lss1 18097 . . 3  |-  ( W  e.  LMod  ->  V  e.  S )
9 unimax 4257 . . 3  |-  ( V  e.  S  ->  U. {
x  e.  S  |  x  C_  V }  =  V )
107, 8, 93syl 18 . 2  |-  ( ph  ->  U. { x  e.  S  |  x  C_  V }  =  V
)
116, 10syl5eq 2482 1  |-  ( ph  ->  U. S  =  V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437    e. wcel 1870   {crab 2786    C_ wss 3442   U.cuni 4222   ` cfv 5601   Basecbs 15084   LModclmod 18026   LSubSpclss 18090
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-0g 15299  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-grp 16624  df-lmod 18028  df-lss 18091
This theorem is referenced by:  mapdunirnN  34927
  Copyright terms: Public domain W3C validator