MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsssssubg Structured version   Unicode version

Theorem lsssssubg 17924
Description: All subspaces are subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
lsssubg.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
Assertion
Ref Expression
lsssssubg  |-  ( W  e.  LMod  ->  S  C_  (SubGrp `  W ) )

Proof of Theorem lsssssubg
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsssubg.s . . . 4  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
21lsssubg 17923 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  (SubGrp `  W )
)
32ex 432 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( x  e.  S  ->  x  e.  (SubGrp `  W )
) )
43ssrdv 3448 1  |-  ( W  e.  LMod  ->  S  C_  (SubGrp `  W ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842    C_ wss 3414   ` cfv 5569  SubGrpcsubg 16519   LModclmod 17832   LSubSpclss 17898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-0g 15056  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-grp 16381  df-minusg 16382  df-sbg 16383  df-subg 16522  df-mgp 17462  df-ur 17474  df-ring 17520  df-lmod 17834  df-lss 17899
This theorem is referenced by:  lsmsp  18052  lspprabs  18061  pj1lmhm  18066  pj1lmhm2  18067  lspindpi  18098  lvecindp  18104  lsmcv  18107  pjdm2  19040  pjf2  19043  pjfo  19044  ocvpj  19046  pjthlem2  22145  lshpnel  32001  lshpnelb  32002  lsmsat  32026  lrelat  32032  lsmcv2  32047  lcvexchlem1  32052  lcvexchlem2  32053  lcvexchlem3  32054  lcvexchlem4  32055  lcvexchlem5  32056  lcv1  32059  lcv2  32060  lsatexch  32061  lsatcv0eq  32065  lsatcvatlem  32067  lsatcvat  32068  lsatcvat3  32070  l1cvat  32073  lkrlsp  32120  lshpsmreu  32127  lshpkrlem5  32132  dia2dimlem5  34088  dia2dimlem9  34092  dvhopellsm  34137  diblsmopel  34191  cdlemn5pre  34220  cdlemn11c  34229  dihjustlem  34236  dihord1  34238  dihord2a  34239  dihord2b  34240  dihord11c  34244  dihord6apre  34276  dihord5b  34279  dihord5apre  34282  dihjatc3  34333  dihmeetlem9N  34335  dihjatcclem1  34438  dihjatcclem2  34439  dihjat  34443  dvh3dim3N  34469  dochexmidlem2  34481  dochexmidlem6  34485  dochexmidlem7  34486  lclkrlem2b  34528  lclkrlem2f  34532  lclkrlem2v  34548  lclkrslem2  34558  lcfrlem23  34585  lcfrlem25  34587  lcfrlem35  34597  mapdlsm  34684  mapdpglem3  34695  mapdindp0  34739  lspindp5  34790  hdmaprnlem3eN  34881  hdmapglem7a  34950
  Copyright terms: Public domain W3C validator