MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssssr Structured version   Unicode version

Theorem lssssr 17578
Description: Conclude subspace ordering from nonzero vector membership. (ssrdv 3495 analog.) (Contributed by NM, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lssssr.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lssssr.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lssssr.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lssssr.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lssssr.t  |-  ( ph  ->  T  C_  V )
lssssr.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lssssr.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  (
x  e.  T  ->  x  e.  U )
)
Assertion
Ref Expression
lssssr  |-  ( ph  ->  T  C_  U )
Distinct variable groups:    x, T    x, U    ph, x
Allowed substitution hints:    S( x)    V( x)    W( x)    .0. ( x)

Proof of Theorem lssssr
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  =  .0.  )  ->  x  =  .0.  )
2 lssssr.w . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
3 lssssr.u . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
4 lssssr.o . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
5 lssssr.s . . . . . . . 8  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
64, 5lss0cl 17572 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  .0.  e.  U )
72, 3, 6syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  .0.  e.  U )
87adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  =  .0.  )  ->  .0.  e.  U )
91, 8eqeltrd 2531 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  =  .0.  )  ->  x  e.  U )
109a1d 25 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  =  .0.  )  ->  ( x  e.  T  ->  x  e.  U ) )
11 lssssr.t . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  C_  V )
1211sseld 3488 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  T  ->  x  e.  V ) )
1312ancrd 554 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  T  ->  ( x  e.  V  /\  x  e.  T
) ) )
1413adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  =/=  .0.  )  ->  ( x  e.  T  ->  (
x  e.  V  /\  x  e.  T )
) )
15 eldifsn 4140 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  <->  ( x  e.  V  /\  x  =/=  .0.  ) )
16 lssssr.1 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  (
x  e.  T  ->  x  e.  U )
)
1715, 16sylan2br 476 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  x  =/=  .0.  ) )  -> 
( x  e.  T  ->  x  e.  U ) )
1817exp32 605 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  V  ->  ( x  =/=  .0.  ->  ( x  e.  T  ->  x  e.  U ) ) ) )
1918com23 78 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  =/=  .0.  ->  ( x  e.  V  ->  ( x  e.  T  ->  x  e.  U ) ) ) )
2019imp4b 590 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  =/=  .0.  )  ->  ( ( x  e.  V  /\  x  e.  T )  ->  x  e.  U ) )
2114, 20syld 44 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  =/=  .0.  )  ->  ( x  e.  T  ->  x  e.  U ) )
2210, 21pm2.61dane 2761 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  T  ->  x  e.  U ) )
2322ssrdv 3495 1  |-  ( ph  ->  T  C_  U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638    \ cdif 3458    C_ wss 3461   {csn 4014   ` cfv 5578   Basecbs 14614   0gc0g 14819   LModclmod 17491   LSubSpclss 17557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-plusg 14692  df-0g 14821  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-grp 16036  df-minusg 16037  df-sbg 16038  df-mgp 17121  df-ur 17133  df-ring 17179  df-lmod 17493  df-lss 17558
This theorem is referenced by:  dihjat1lem  37030
  Copyright terms: Public domain W3C validator