MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssss Structured version   Unicode version

Theorem lssss 17359
Description: A subspace is a set of vectors. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lssss.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lssss.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
Assertion
Ref Expression
lssss  |-  ( U  e.  S  ->  U  C_  V )

Proof of Theorem lssss
Dummy variables  a 
b  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2460 . . 3  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
2 eqid 2460 . . 3  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
3 lssss.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
4 eqid 2460 . . 3  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
5 eqid 2460 . . 3  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
6 lssss.s . . 3  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
71, 2, 3, 4, 5, 6islss 17357 . 2  |-  ( U  e.  S  <->  ( U  C_  V  /\  U  =/=  (/)  /\  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) A. a  e.  U  A. b  e.  U  (
( x ( .s
`  W ) a ) ( +g  `  W
) b )  e.  U ) )
87simp1bi 1006 1  |-  ( U  e.  S  ->  U  C_  V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2655   A.wral 2807    C_ wss 3469   (/)c0 3778   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   Basecbs 14479   +g cplusg 14544  Scalarcsca 14547   .scvsca 14548   LSubSpclss 17354
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fv 5587  df-ov 6278  df-lss 17355
This theorem is referenced by:  lssel  17360  lssuni  17362  00lss  17364  lsssubg  17379  islss3  17381  lsslss  17383  lssintcl  17386  lssmre  17388  lssacs  17389  lspid  17404  lspssv  17405  lspssp  17410  lsslsp  17437  lmhmima  17469  reslmhm  17474  lsmsp  17508  pj1lmhm  17522  lsppratlem2  17570  lsppratlem3  17571  lsppratlem4  17572  lspprat  17575  lbsextlem3  17582  lidlss  17632  ocvin  18465  pjdm2  18502  pjff  18503  pjf2  18505  pjfo  18506  pjcss  18507  frlmgsumOLD  18561  frlmgsum  18562  frlmsplit2  18563  lsslindf  18625  lsslinds  18626  lssbn  21518  minveclem1  21567  minveclem2  21569  minveclem3a  21570  minveclem3b  21571  minveclem3  21572  minveclem4a  21573  minveclem4b  21574  minveclem4  21575  minveclem6  21577  minveclem7  21578  pjthlem1  21580  pjthlem2  21581  pjth  21582  islssfg  30609  islssfg2  30610  lnmlsslnm  30620  kercvrlsm  30622  lnmepi  30624  filnm  30629  gsumlsscl  31924  lincellss  31975  ellcoellss  31984  islshpsm  33652  lshpnelb  33656  lshpnel2N  33657  lshpcmp  33660  lsatssv  33670  lssats  33684  lpssat  33685  lssatle  33687  lssat  33688  islshpcv  33725  lkrssv  33768  lkrlsp  33774  dvhopellsm  35789  dvadiaN  35800  dihss  35923  dihrnss  35950  dochord2N  36043  dochord3  36044  dihoml4  36049  dochsat  36055  dochshpncl  36056  dochnoncon  36063  djhlsmcl  36086  dihjat1lem  36100  dochsatshp  36123  dochsatshpb  36124  dochshpsat  36126  dochexmidlem2  36133  dochexmidlem5  36136  dochexmidlem6  36137  dochexmidlem7  36138  dochexmidlem8  36139  lclkrlem2p  36194  lclkrlem2v  36200  lcfrlem5  36218  lcfr  36257  mapdpglem17N  36360  mapdpglem18  36361  mapdpglem21  36364
  Copyright terms: Public domain W3C validator