MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsspropd Structured version   Unicode version

Theorem lsspropd 17076
Description: If two structures have the same components (properties), they have the same subspace structure. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsspropd.b1  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
lsspropd.b2  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
lsspropd.w  |-  ( ph  ->  B  C_  W )
lsspropd.p  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W ) )  -> 
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y ) )
lsspropd.s1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .s
`  K ) y )  e.  W )
lsspropd.s2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .s
`  K ) y )  =  ( x ( .s `  L
) y ) )
lsspropd.p1  |-  ( ph  ->  P  =  ( Base `  (Scalar `  K )
) )
lsspropd.p2  |-  ( ph  ->  P  =  ( Base `  (Scalar `  L )
) )
Assertion
Ref Expression
lsspropd  |-  ( ph  ->  ( LSubSp `  K )  =  ( LSubSp `  L
) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, K, y    ph, x, y    x, W, y    x, L, y    x, P, y

Proof of Theorem lsspropd
Dummy variables  a 
b  z  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 748 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  C_  B )  /\  (
z  e.  P  /\  ( a  e.  s  /\  b  e.  s ) ) )  ->  ph )
2 simprl 750 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  C_  B )  /\  (
z  e.  P  /\  ( a  e.  s  /\  b  e.  s ) ) )  -> 
z  e.  P )
3 simplr 749 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  C_  B )  /\  (
z  e.  P  /\  ( a  e.  s  /\  b  e.  s ) ) )  -> 
s  C_  B )
4 simprrl 758 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  C_  B )  /\  (
z  e.  P  /\  ( a  e.  s  /\  b  e.  s ) ) )  -> 
a  e.  s )
53, 4sseldd 3354 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  C_  B )  /\  (
z  e.  P  /\  ( a  e.  s  /\  b  e.  s ) ) )  -> 
a  e.  B )
6 lsspropd.s1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .s
`  K ) y )  e.  W )
76ralrimivva 2806 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s
`  K ) y )  e.  W )
87ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  C_  B )  /\  (
z  e.  P  /\  ( a  e.  s  /\  b  e.  s ) ) )  ->  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s
`  K ) y )  e.  W )
9 proplem2 14623 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  e.  P  /\  a  e.  B
)  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  W )  ->  (
z ( .s `  K ) a )  e.  W )
102, 5, 8, 9syl21anc 1212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  C_  B )  /\  (
z  e.  P  /\  ( a  e.  s  /\  b  e.  s ) ) )  -> 
( z ( .s
`  K ) a )  e.  W )
11 lsspropd.w . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  C_  W )
1211ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  C_  B )  /\  (
z  e.  P  /\  ( a  e.  s  /\  b  e.  s ) ) )  ->  B  C_  W )
13 simprrr 759 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  C_  B )  /\  (
z  e.  P  /\  ( a  e.  s  /\  b  e.  s ) ) )  -> 
b  e.  s )
143, 13sseldd 3354 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  C_  B )  /\  (
z  e.  P  /\  ( a  e.  s  /\  b  e.  s ) ) )  -> 
b  e.  B )
1512, 14sseldd 3354 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  C_  B )  /\  (
z  e.  P  /\  ( a  e.  s  /\  b  e.  s ) ) )  -> 
b  e.  W )
16 lsspropd.p . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W ) )  -> 
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y ) )
1716proplem 14624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
z ( .s `  K ) a )  e.  W  /\  b  e.  W ) )  -> 
( ( z ( .s `  K ) a ) ( +g  `  K ) b )  =  ( ( z ( .s `  K
) a ) ( +g  `  L ) b ) )
181, 10, 15, 17syl12anc 1211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  C_  B )  /\  (
z  e.  P  /\  ( a  e.  s  /\  b  e.  s ) ) )  -> 
( ( z ( .s `  K ) a ) ( +g  `  K ) b )  =  ( ( z ( .s `  K
) a ) ( +g  `  L ) b ) )
19 lsspropd.s2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .s
`  K ) y )  =  ( x ( .s `  L
) y ) )
2019proplem 14624 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  P  /\  a  e.  B ) )  -> 
( z ( .s
`  K ) a )  =  ( z ( .s `  L
) a ) )
211, 2, 5, 20syl12anc 1211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  C_  B )  /\  (
z  e.  P  /\  ( a  e.  s  /\  b  e.  s ) ) )  -> 
( z ( .s
`  K ) a )  =  ( z ( .s `  L
) a ) )
2221oveq1d 6105 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  C_  B )  /\  (
z  e.  P  /\  ( a  e.  s  /\  b  e.  s ) ) )  -> 
( ( z ( .s `  K ) a ) ( +g  `  L ) b )  =  ( ( z ( .s `  L
) a ) ( +g  `  L ) b ) )
2318, 22eqtrd 2473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  C_  B )  /\  (
z  e.  P  /\  ( a  e.  s  /\  b  e.  s ) ) )  -> 
( ( z ( .s `  K ) a ) ( +g  `  K ) b )  =  ( ( z ( .s `  L
) a ) ( +g  `  L ) b ) )
2423eleq1d 2507 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  C_  B )  /\  (
z  e.  P  /\  ( a  e.  s  /\  b  e.  s ) ) )  -> 
( ( ( z ( .s `  K
) a ) ( +g  `  K ) b )  e.  s  <-> 
( ( z ( .s `  L ) a ) ( +g  `  L ) b )  e.  s ) )
2524anassrs 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  C_  B )  /\  z  e.  P )  /\  ( a  e.  s  /\  b  e.  s ) )  ->  (
( ( z ( .s `  K ) a ) ( +g  `  K ) b )  e.  s  <->  ( (
z ( .s `  L ) a ) ( +g  `  L
) b )  e.  s ) )
26252ralbidva 2753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  C_  B )  /\  z  e.  P )  ->  ( A. a  e.  s  A. b  e.  s 
( ( z ( .s `  K ) a ) ( +g  `  K ) b )  e.  s  <->  A. a  e.  s  A. b  e.  s  ( (
z ( .s `  L ) a ) ( +g  `  L
) b )  e.  s ) )
2726ralbidva 2729 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  C_  B )  ->  ( A. z  e.  P  A. a  e.  s  A. b  e.  s 
( ( z ( .s `  K ) a ) ( +g  `  K ) b )  e.  s  <->  A. z  e.  P  A. a  e.  s  A. b  e.  s  ( (
z ( .s `  L ) a ) ( +g  `  L
) b )  e.  s ) )
2827anbi2d 698 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  C_  B )  ->  (
( s  =/=  (/)  /\  A. z  e.  P  A. a  e.  s  A. b  e.  s  (
( z ( .s
`  K ) a ) ( +g  `  K
) b )  e.  s )  <->  ( s  =/=  (/)  /\  A. z  e.  P  A. a  e.  s  A. b  e.  s  ( (
z ( .s `  L ) a ) ( +g  `  L
) b )  e.  s ) ) )
2928pm5.32da 636 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( s  C_  B  /\  ( s  =/=  (/)  /\  A. z  e.  P  A. a  e.  s  A. b  e.  s  ( ( z ( .s `  K
) a ) ( +g  `  K ) b )  e.  s ) )  <->  ( s  C_  B  /\  ( s  =/=  (/)  /\  A. z  e.  P  A. a  e.  s  A. b  e.  s  ( (
z ( .s `  L ) a ) ( +g  `  L
) b )  e.  s ) ) ) )
30 3anass 964 . . . . 5  |-  ( ( s  C_  B  /\  s  =/=  (/)  /\  A. z  e.  P  A. a  e.  s  A. b  e.  s  ( (
z ( .s `  K ) a ) ( +g  `  K
) b )  e.  s )  <->  ( s  C_  B  /\  ( s  =/=  (/)  /\  A. z  e.  P  A. a  e.  s  A. b  e.  s  ( (
z ( .s `  K ) a ) ( +g  `  K
) b )  e.  s ) ) )
31 3anass 964 . . . . 5  |-  ( ( s  C_  B  /\  s  =/=  (/)  /\  A. z  e.  P  A. a  e.  s  A. b  e.  s  ( (
z ( .s `  L ) a ) ( +g  `  L
) b )  e.  s )  <->  ( s  C_  B  /\  ( s  =/=  (/)  /\  A. z  e.  P  A. a  e.  s  A. b  e.  s  ( (
z ( .s `  L ) a ) ( +g  `  L
) b )  e.  s ) ) )
3229, 30, 313bitr4g 288 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( s  C_  B  /\  s  =/=  (/)  /\  A. z  e.  P  A. a  e.  s  A. b  e.  s  (
( z ( .s
`  K ) a ) ( +g  `  K
) b )  e.  s )  <->  ( s  C_  B  /\  s  =/=  (/)  /\  A. z  e.  P  A. a  e.  s  A. b  e.  s  ( ( z ( .s `  L
) a ) ( +g  `  L ) b )  e.  s ) ) )
33 lsspropd.b1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
3433sseq2d 3381 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( s  C_  B  <->  s 
C_  ( Base `  K
) ) )
35 lsspropd.p1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  =  ( Base `  (Scalar `  K )
) )
3635raleqdv 2921 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  P  A. a  e.  s  A. b  e.  s  ( ( z ( .s `  K
) a ) ( +g  `  K ) b )  e.  s  <->  A. z  e.  ( Base `  (Scalar `  K
) ) A. a  e.  s  A. b  e.  s  ( (
z ( .s `  K ) a ) ( +g  `  K
) b )  e.  s ) )
3734, 363anbi13d 1286 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( s  C_  B  /\  s  =/=  (/)  /\  A. z  e.  P  A. a  e.  s  A. b  e.  s  (
( z ( .s
`  K ) a ) ( +g  `  K
) b )  e.  s )  <->  ( s  C_  ( Base `  K
)  /\  s  =/=  (/) 
/\  A. z  e.  (
Base `  (Scalar `  K
) ) A. a  e.  s  A. b  e.  s  ( (
z ( .s `  K ) a ) ( +g  `  K
) b )  e.  s ) ) )
38 lsspropd.b2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
3938sseq2d 3381 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( s  C_  B  <->  s 
C_  ( Base `  L
) ) )
40 lsspropd.p2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  =  ( Base `  (Scalar `  L )
) )
4140raleqdv 2921 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  P  A. a  e.  s  A. b  e.  s  ( ( z ( .s `  L
) a ) ( +g  `  L ) b )  e.  s  <->  A. z  e.  ( Base `  (Scalar `  L
) ) A. a  e.  s  A. b  e.  s  ( (
z ( .s `  L ) a ) ( +g  `  L
) b )  e.  s ) )
4239, 413anbi13d 1286 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( s  C_  B  /\  s  =/=  (/)  /\  A. z  e.  P  A. a  e.  s  A. b  e.  s  (
( z ( .s
`  L ) a ) ( +g  `  L
) b )  e.  s )  <->  ( s  C_  ( Base `  L
)  /\  s  =/=  (/) 
/\  A. z  e.  (
Base `  (Scalar `  L
) ) A. a  e.  s  A. b  e.  s  ( (
z ( .s `  L ) a ) ( +g  `  L
) b )  e.  s ) ) )
4332, 37, 423bitr3d 283 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( s  C_  ( Base `  K )  /\  s  =/=  (/)  /\  A. z  e.  ( Base `  (Scalar `  K )
) A. a  e.  s  A. b  e.  s  ( ( z ( .s `  K
) a ) ( +g  `  K ) b )  e.  s )  <->  ( s  C_  ( Base `  L )  /\  s  =/=  (/)  /\  A. z  e.  ( Base `  (Scalar `  L )
) A. a  e.  s  A. b  e.  s  ( ( z ( .s `  L
) a ) ( +g  `  L ) b )  e.  s ) ) )
44 eqid 2441 . . . 4  |-  (Scalar `  K )  =  (Scalar `  K )
45 eqid 2441 . . . 4  |-  ( Base `  (Scalar `  K )
)  =  ( Base `  (Scalar `  K )
)
46 eqid 2441 . . . 4  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
47 eqid 2441 . . . 4  |-  ( +g  `  K )  =  ( +g  `  K )
48 eqid 2441 . . . 4  |-  ( .s
`  K )  =  ( .s `  K
)
49 eqid 2441 . . . 4  |-  ( LSubSp `  K )  =  (
LSubSp `  K )
5044, 45, 46, 47, 48, 49islss 16994 . . 3  |-  ( s  e.  ( LSubSp `  K
)  <->  ( s  C_  ( Base `  K )  /\  s  =/=  (/)  /\  A. z  e.  ( Base `  (Scalar `  K )
) A. a  e.  s  A. b  e.  s  ( ( z ( .s `  K
) a ) ( +g  `  K ) b )  e.  s ) )
51 eqid 2441 . . . 4  |-  (Scalar `  L )  =  (Scalar `  L )
52 eqid 2441 . . . 4  |-  ( Base `  (Scalar `  L )
)  =  ( Base `  (Scalar `  L )
)
53 eqid 2441 . . . 4  |-  ( Base `  L )  =  (
Base `  L )
54 eqid 2441 . . . 4  |-  ( +g  `  L )  =  ( +g  `  L )
55 eqid 2441 . . . 4  |-  ( .s
`  L )  =  ( .s `  L
)
56 eqid 2441 . . . 4  |-  ( LSubSp `  L )  =  (
LSubSp `  L )
5751, 52, 53, 54, 55, 56islss 16994 . . 3  |-  ( s  e.  ( LSubSp `  L
)  <->  ( s  C_  ( Base `  L )  /\  s  =/=  (/)  /\  A. z  e.  ( Base `  (Scalar `  L )
) A. a  e.  s  A. b  e.  s  ( ( z ( .s `  L
) a ) ( +g  `  L ) b )  e.  s ) )
5843, 50, 573bitr4g 288 . 2  |-  ( ph  ->  ( s  e.  (
LSubSp `  K )  <->  s  e.  ( LSubSp `  L )
) )
5958eqrdv 2439 1  |-  ( ph  ->  ( LSubSp `  K )  =  ( LSubSp `  L
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   A.wral 2713    C_ wss 3325   (/)c0 3634   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Basecbs 14170   +g cplusg 14234  Scalarcsca 14237   .scvsca 14238   LSubSpclss 16991
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fv 5423  df-ov 6093  df-lss 16992
This theorem is referenced by:  lsppropd  17077  lidlrsppropd  17290  ply1lss  17607
  Copyright terms: Public domain W3C validator