Theorem lssneln0 17159

Description: A vector which doesn't belong to a subspace is nonzero. (Contributed by NM, 14-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssneln0.v	|- V = ( Base ` W )
lssneln0.o	|- .0. = ( 0g ` W )
lssneln0.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lssneln0.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lssneln0.u	|- ( ph -> U e. S )
lssneln0.x	|- ( ph -> X e. V )
lssneln0.n	|- ( ph -> -. X e. U )

Assertion

Ref	Expression
lssneln0	|- ( ph -> X e. ( V \ { .0. } ) )

Proof of Theorem lssneln0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lssneln0.x	. 2 |- ( ph -> X e. V )
2		lssneln0.n	. . 3 |- ( ph -> -. X e. U )
3		lssneln0.w	. . . . . 6 |- ( ph -> W e. LMod )
4		lssneln0.u	. . . . . 6 |- ( ph -> U e. S )
5		lssneln0.o	. . . . . . 7 |- .0. = ( 0g ` W )
6		lssneln0.s	. . . . . . 7 |- S = ( LSubSp ` W )
7	5, 6	lss0cl 17154	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> .0. e. U )
8	3, 4, 7	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ph -> .0. e. U )
9		eleq1a 2537	. . . . 5 |- ( .0. e. U -> ( X = .0. -> X e. U ) )
10	8, 9	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> ( X = .0. -> X e. U ) )
11	10	necon3bd 2664	. . 3 |- ( ph -> ( -. X e. U -> X =/= .0. ) )
12	2, 11	mpd 15	. 2 |- ( ph -> X =/= .0. )
13		eldifsn 4111	. 2 |- ( X e. ( V \ { .0. } ) <-> ( X e. V /\ X =/= .0. ) )
14	1, 12, 13	sylanbrc 664	1 |- ( ph -> X e. ( V \ { .0. } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1370   e. wcel 1758   =/= wne 2648   \ cdif 3436   {csn 3988   ` cfv 5529   Basecbs 14295   0gc0g 14500   LModclmod 17074   LSubSpclss 17139

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-sets 14301  df-plusg 14373  df-0g 14502  df-mnd 15537  df-grp 15667  df-minusg 15668  df-sbg 15669  df-mgp 16717  df-ur 16729  df-rng 16773  df-lmod 17076  df-lss 17140

This theorem is referenced by:  lspexchn1  17337  lvecindp  17345  lshpne0  32989  baerlem5amN  35719  baerlem5bmN  35720  baerlem5abmN  35721  mapdh6iN  35747  hdmaplem3  35776  mapdh8ad  35782  mapdh8e  35787  mapdh9a  35793  mapdh9aOLDN  35794  hdmap1l6i  35822  hdmap1eulem  35827  hdmap1eulemOLDN  35828  hdmapval3lemN  35843  hdmap10lem  35845  hdmap11lem1  35847  hdmaprnlem3N  35856  hdmap14lem11  35884