Theorem lssneln0 17920

Description: A vector which doesn't belong to a subspace is nonzero. (Contributed by NM, 14-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssneln0.v	|- V = ( Base ` W )
lssneln0.o	|- .0. = ( 0g ` W )
lssneln0.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lssneln0.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lssneln0.u	|- ( ph -> U e. S )
lssneln0.x	|- ( ph -> X e. V )
lssneln0.n	|- ( ph -> -. X e. U )

Assertion

Ref	Expression
lssneln0	|- ( ph -> X e. ( V \ { .0. } ) )

Proof of Theorem lssneln0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lssneln0.x	. 2 |- ( ph -> X e. V )
2		lssneln0.n	. . 3 |- ( ph -> -. X e. U )
3		lssneln0.w	. . . . . 6 |- ( ph -> W e. LMod )
4		lssneln0.u	. . . . . 6 |- ( ph -> U e. S )
5		lssneln0.o	. . . . . . 7 |- .0. = ( 0g ` W )
6		lssneln0.s	. . . . . . 7 |- S = ( LSubSp ` W )
7	5, 6	lss0cl 17915	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> .0. e. U )
8	3, 4, 7	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ph -> .0. e. U )
9		eleq1a 2487	. . . . 5 |- ( .0. e. U -> ( X = .0. -> X e. U ) )
10	8, 9	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( X = .0. -> X e. U ) )
11	10	necon3bd 2617	. . 3 |- ( ph -> ( -. X e. U -> X =/= .0. ) )
12	2, 11	mpd 15	. 2 |- ( ph -> X =/= .0. )
13		eldifsn 4099	. 2 |- ( X e. ( V \ { .0. } ) <-> ( X e. V /\ X =/= .0. ) )
14	1, 12, 13	sylanbrc 664	1 |- ( ph -> X e. ( V \ { .0. } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1407   e. wcel 1844   =/= wne 2600   \ cdif 3413   {csn 3974   ` cfv 5571   Basecbs 14843   0gc0g 15056   LModclmod 17834   LSubSpclss 17900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601

This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-nn 10579  df-2 10637  df-ndx 14846  df-slot 14847  df-base 14848  df-sets 14849  df-plusg 14924  df-0g 15058  df-mgm 16198  df-sgrp 16237  df-mnd 16247  df-grp 16383  df-minusg 16384  df-sbg 16385  df-mgp 17464  df-ur 17476  df-ring 17522  df-lmod 17836  df-lss 17901

This theorem is referenced by:  lspexchn1  18098  lvecindp  18106  lshpne0  32017  baerlem5amN  34749  baerlem5bmN  34750  baerlem5abmN  34751  mapdh6iN  34777  hdmaplem3  34806  mapdh8ad  34812  mapdh8e  34817  mapdh9a  34823  mapdh9aOLDN  34824  hdmap1l6i  34852  hdmap1eulem  34857  hdmap1eulemOLDN  34858  hdmapval3lemN  34873  hdmap10lem  34875  hdmap11lem1  34877  hdmaprnlem3N  34886  hdmap14lem11  34914