Theorem lssneln0 17469

Description: A vector which doesn't belong to a subspace is nonzero. (Contributed by NM, 14-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssneln0.v	|- V = ( Base ` W )
lssneln0.o	|- .0. = ( 0g ` W )
lssneln0.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lssneln0.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lssneln0.u	|- ( ph -> U e. S )
lssneln0.x	|- ( ph -> X e. V )
lssneln0.n	|- ( ph -> -. X e. U )

Assertion

Ref	Expression
lssneln0	|- ( ph -> X e. ( V \ { .0. } ) )

Proof of Theorem lssneln0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lssneln0.x	. 2 |- ( ph -> X e. V )
2		lssneln0.n	. . 3 |- ( ph -> -. X e. U )
3		lssneln0.w	. . . . . 6 |- ( ph -> W e. LMod )
4		lssneln0.u	. . . . . 6 |- ( ph -> U e. S )
5		lssneln0.o	. . . . . . 7 |- .0. = ( 0g ` W )
6		lssneln0.s	. . . . . . 7 |- S = ( LSubSp ` W )
7	5, 6	lss0cl 17464	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> .0. e. U )
8	3, 4, 7	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ph -> .0. e. U )
9		eleq1a 2550	. . . . 5 |- ( .0. e. U -> ( X = .0. -> X e. U ) )
10	8, 9	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> ( X = .0. -> X e. U ) )
11	10	necon3bd 2679	. . 3 |- ( ph -> ( -. X e. U -> X =/= .0. ) )
12	2, 11	mpd 15	. 2 |- ( ph -> X =/= .0. )
13		eldifsn 4158	. 2 |- ( X e. ( V \ { .0. } ) <-> ( X e. V /\ X =/= .0. ) )
14	1, 12, 13	sylanbrc 664	1 |- ( ph -> X e. ( V \ { .0. } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   \ cdif 3478   {csn 4033   ` cfv 5594   Basecbs 14507   0gc0g 14712   LModclmod 17383   LSubSpclss 17449

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-plusg 14585  df-0g 14714  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-lmod 17385  df-lss 17450

This theorem is referenced by:  lspexchn1  17647  lvecindp  17655  lshpne0  34139  baerlem5amN  36869  baerlem5bmN  36870  baerlem5abmN  36871  mapdh6iN  36897  hdmaplem3  36926  mapdh8ad  36932  mapdh8e  36937  mapdh9a  36943  mapdh9aOLDN  36944  hdmap1l6i  36972  hdmap1eulem  36977  hdmap1eulemOLDN  36978  hdmapval3lemN  36993  hdmap10lem  36995  hdmap11lem1  36997  hdmaprnlem3N  37006  hdmap14lem11  37034