MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsslinds Structured version   Unicode version

Theorem lsslinds 18626
Description: Linear independence is unchanged by working in a subspace. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsslindf.u  |-  U  =  ( LSubSp `  W )
lsslindf.x  |-  X  =  ( Ws  S )
Assertion
Ref Expression
lsslinds  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  U  /\  F  C_  S )  ->  ( F  e.  (LIndS `  X
)  <->  F  e.  (LIndS `  W ) ) )

Proof of Theorem lsslinds
StepHypRef Expression
1 eqid 2460 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
2 lsslindf.u . . . . . . . 8  |-  U  =  ( LSubSp `  W )
31, 2lssss 17359 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  U  ->  S  C_  ( Base `  W
) )
4 lsslindf.x . . . . . . . 8  |-  X  =  ( Ws  S )
54, 1ressbas2 14535 . . . . . . 7  |-  ( S 
C_  ( Base `  W
)  ->  S  =  ( Base `  X )
)
63, 5syl 16 . . . . . 6  |-  ( S  e.  U  ->  S  =  ( Base `  X
) )
763ad2ant2 1013 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  U  /\  F  C_  S )  ->  S  =  ( Base `  X
) )
87sseq2d 3525 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  U  /\  F  C_  S )  ->  ( F  C_  S  <->  F  C_  ( Base `  X ) ) )
933ad2ant2 1013 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  U  /\  F  C_  S )  ->  S  C_  ( Base `  W
) )
10 sstr2 3504 . . . . . 6  |-  ( F 
C_  S  ->  ( S  C_  ( Base `  W
)  ->  F  C_  ( Base `  W ) ) )
119, 10mpan9 469 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  U  /\  F  C_  S )  /\  F  C_  S )  ->  F  C_  ( Base `  W
) )
12 simpl3 996 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  U  /\  F  C_  S )  /\  F  C_  ( Base `  W
) )  ->  F  C_  S )
1311, 12impbida 829 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  U  /\  F  C_  S )  ->  ( F  C_  S  <->  F  C_  ( Base `  W ) ) )
148, 13bitr3d 255 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  U  /\  F  C_  S )  ->  ( F  C_  ( Base `  X
)  <->  F  C_  ( Base `  W ) ) )
15 rnresi 5341 . . . . 5  |-  ran  (  _I  |`  F )  =  F
1615sseq1i 3521 . . . 4  |-  ( ran  (  _I  |`  F ) 
C_  S  <->  F  C_  S
)
172, 4lsslindf 18625 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  U  /\  ran  (  _I  |`  F )  C_  S )  ->  (
(  _I  |`  F ) LIndF 
X  <->  (  _I  |`  F ) LIndF 
W ) )
1816, 17syl3an3br 1264 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  U  /\  F  C_  S )  ->  (
(  _I  |`  F ) LIndF 
X  <->  (  _I  |`  F ) LIndF 
W ) )
1914, 18anbi12d 710 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  U  /\  F  C_  S )  ->  (
( F  C_  ( Base `  X )  /\  (  _I  |`  F ) LIndF 
X )  <->  ( F  C_  ( Base `  W
)  /\  (  _I  |`  F ) LIndF  W ) ) )
20 ovex 6300 . . . 4  |-  ( Ws  S )  e.  _V
214, 20eqeltri 2544 . . 3  |-  X  e. 
_V
22 eqid 2460 . . . 4  |-  ( Base `  X )  =  (
Base `  X )
2322islinds 18604 . . 3  |-  ( X  e.  _V  ->  ( F  e.  (LIndS `  X
)  <->  ( F  C_  ( Base `  X )  /\  (  _I  |`  F ) LIndF 
X ) ) )
2421, 23mp1i 12 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  U  /\  F  C_  S )  ->  ( F  e.  (LIndS `  X
)  <->  ( F  C_  ( Base `  X )  /\  (  _I  |`  F ) LIndF 
X ) ) )
251islinds 18604 . . 3  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( F  e.  (LIndS `  W
)  <->  ( F  C_  ( Base `  W )  /\  (  _I  |`  F ) LIndF 
W ) ) )
26253ad2ant1 1012 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  U  /\  F  C_  S )  ->  ( F  e.  (LIndS `  W
)  <->  ( F  C_  ( Base `  W )  /\  (  _I  |`  F ) LIndF 
W ) ) )
2719, 24, 263bitr4d 285 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  U  /\  F  C_  S )  ->  ( F  e.  (LIndS `  X
)  <->  F  e.  (LIndS `  W ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   _Vcvv 3106    C_ wss 3469   class class class wbr 4440    _I cid 4783   ran crn 4993    |` cres 4994   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   Basecbs 14479   ↾s cress 14480   LModclmod 17288   LSubSpclss 17354   LIndF clindf 18599  LIndSclinds 18600
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-0g 14686  df-mnd 15721  df-grp 15851  df-minusg 15852  df-sbg 15853  df-subg 15986  df-mgp 16925  df-ur 16937  df-rng 16981  df-lmod 17290  df-lss 17355  df-lsp 17394  df-lindf 18601  df-linds 18602
This theorem is referenced by:  islinds3  18629
  Copyright terms: Public domain W3C validator