MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsslinds Structured version   Unicode version

Theorem lsslinds 18993
Description: Linear independence is unchanged by working in a subspace. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsslindf.u  |-  U  =  ( LSubSp `  W )
lsslindf.x  |-  X  =  ( Ws  S )
Assertion
Ref Expression
lsslinds  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  U  /\  F  C_  S )  ->  ( F  e.  (LIndS `  X
)  <->  F  e.  (LIndS `  W ) ) )

Proof of Theorem lsslinds
StepHypRef Expression
1 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
2 lsslindf.u . . . . . . . 8  |-  U  =  ( LSubSp `  W )
31, 2lssss 17710 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  U  ->  S  C_  ( Base `  W
) )
4 lsslindf.x . . . . . . . 8  |-  X  =  ( Ws  S )
54, 1ressbas2 14702 . . . . . . 7  |-  ( S 
C_  ( Base `  W
)  ->  S  =  ( Base `  X )
)
63, 5syl 16 . . . . . 6  |-  ( S  e.  U  ->  S  =  ( Base `  X
) )
763ad2ant2 1018 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  U  /\  F  C_  S )  ->  S  =  ( Base `  X
) )
87sseq2d 3527 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  U  /\  F  C_  S )  ->  ( F  C_  S  <->  F  C_  ( Base `  X ) ) )
933ad2ant2 1018 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  U  /\  F  C_  S )  ->  S  C_  ( Base `  W
) )
10 sstr2 3506 . . . . . 6  |-  ( F 
C_  S  ->  ( S  C_  ( Base `  W
)  ->  F  C_  ( Base `  W ) ) )
119, 10mpan9 469 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  U  /\  F  C_  S )  /\  F  C_  S )  ->  F  C_  ( Base `  W
) )
12 simpl3 1001 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  U  /\  F  C_  S )  /\  F  C_  ( Base `  W
) )  ->  F  C_  S )
1311, 12impbida 832 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  U  /\  F  C_  S )  ->  ( F  C_  S  <->  F  C_  ( Base `  W ) ) )
148, 13bitr3d 255 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  U  /\  F  C_  S )  ->  ( F  C_  ( Base `  X
)  <->  F  C_  ( Base `  W ) ) )
15 rnresi 5360 . . . . 5  |-  ran  (  _I  |`  F )  =  F
1615sseq1i 3523 . . . 4  |-  ( ran  (  _I  |`  F ) 
C_  S  <->  F  C_  S
)
172, 4lsslindf 18992 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  U  /\  ran  (  _I  |`  F )  C_  S )  ->  (
(  _I  |`  F ) LIndF 
X  <->  (  _I  |`  F ) LIndF 
W ) )
1816, 17syl3an3br 1269 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  U  /\  F  C_  S )  ->  (
(  _I  |`  F ) LIndF 
X  <->  (  _I  |`  F ) LIndF 
W ) )
1914, 18anbi12d 710 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  U  /\  F  C_  S )  ->  (
( F  C_  ( Base `  X )  /\  (  _I  |`  F ) LIndF 
X )  <->  ( F  C_  ( Base `  W
)  /\  (  _I  |`  F ) LIndF  W ) ) )
20 ovex 6324 . . . 4  |-  ( Ws  S )  e.  _V
214, 20eqeltri 2541 . . 3  |-  X  e. 
_V
22 eqid 2457 . . . 4  |-  ( Base `  X )  =  (
Base `  X )
2322islinds 18971 . . 3  |-  ( X  e.  _V  ->  ( F  e.  (LIndS `  X
)  <->  ( F  C_  ( Base `  X )  /\  (  _I  |`  F ) LIndF 
X ) ) )
2421, 23mp1i 12 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  U  /\  F  C_  S )  ->  ( F  e.  (LIndS `  X
)  <->  ( F  C_  ( Base `  X )  /\  (  _I  |`  F ) LIndF 
X ) ) )
251islinds 18971 . . 3  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( F  e.  (LIndS `  W
)  <->  ( F  C_  ( Base `  W )  /\  (  _I  |`  F ) LIndF 
W ) ) )
26253ad2ant1 1017 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  U  /\  F  C_  S )  ->  ( F  e.  (LIndS `  W
)  <->  ( F  C_  ( Base `  W )  /\  (  _I  |`  F ) LIndF 
W ) ) )
2719, 24, 263bitr4d 285 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  U  /\  F  C_  S )  ->  ( F  e.  (LIndS `  X
)  <->  F  e.  (LIndS `  W ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   _Vcvv 3109    C_ wss 3471   class class class wbr 4456    _I cid 4799   ran crn 5009    |` cres 5010   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Basecbs 14644   ↾s cress 14645   LModclmod 17639   LSubSpclss 17705   LIndF clindf 18966  LIndSclinds 18967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-0g 14859  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-subg 16325  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-lmod 17641  df-lss 17706  df-lsp 17745  df-lindf 18968  df-linds 18969
This theorem is referenced by:  islinds3  18996
  Copyright terms: Public domain W3C validator