Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsslindf Structured version   Unicode version

Theorem lsslindf 18991
 Description: Linear independence is unchanged by working in a subspace. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsslindf.u
lsslindf.x s
Assertion
Ref Expression
lsslindf LIndF LIndF

Proof of Theorem lsslindf
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rellindf 18969 . . . 4 LIndF
21brrelexi 5049 . . 3 LIndF
32a1i 11 . 2 LIndF
41brrelexi 5049 . . 3 LIndF
54a1i 11 . 2 LIndF
6 simpr 461 . . . . . . . 8
7 lsslindf.x . . . . . . . . 9 s
8 eqid 2457 . . . . . . . . 9
97, 8ressbasss 14702 . . . . . . . 8
10 fss 5745 . . . . . . . 8
116, 9, 10sylancl 662 . . . . . . 7
12 ffn 5737 . . . . . . . . 9
1312adantl 466 . . . . . . . 8
14 simp3 998 . . . . . . . . . 10
15 lsslindf.u . . . . . . . . . . . . 13
168, 15lssss 17709 . . . . . . . . . . . 12
17163ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . 11
187, 8ressbas2 14701 . . . . . . . . . . 11
1917, 18syl 16 . . . . . . . . . 10
2014, 19sseqtrd 3535 . . . . . . . . 9
2120adantr 465 . . . . . . . 8
22 df-f 5598 . . . . . . . 8
2313, 21, 22sylanbrc 664 . . . . . . 7
2411, 23impbida 832 . . . . . 6
2524adantr 465 . . . . 5
26 simpl2 1000 . . . . . . . . . 10
27 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12 Scalar Scalar
287, 27resssca 14793 . . . . . . . . . . 11 Scalar Scalar
2928eqcomd 2465 . . . . . . . . . 10 Scalar Scalar
3026, 29syl 16 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar
3130fveq2d 5876 . . . . . . . 8 Scalar Scalar
3230fveq2d 5876 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar
3332sneqd 4044 . . . . . . . 8 Scalar Scalar
3431, 33difeq12d 3619 . . . . . . 7 Scalar Scalar Scalar Scalar
35 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . 13
367, 35ressvsca 14794 . . . . . . . . . . . 12
3736eqcomd 2465 . . . . . . . . . . 11
3826, 37syl 16 . . . . . . . . . 10
3938oveqd 6313 . . . . . . . . 9
40 simpl1 999 . . . . . . . . . . 11
41 imassrn 5358 . . . . . . . . . . . 12
42 simpl3 1001 . . . . . . . . . . . 12
4341, 42syl5ss 3510 . . . . . . . . . . 11
44 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12
45 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12
467, 44, 45, 15lsslsp 17787 . . . . . . . . . . 11
4740, 26, 43, 46syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10
4847eqcomd 2465 . . . . . . . . 9
4939, 48eleq12d 2539 . . . . . . . 8
5049notbid 294 . . . . . . 7
5134, 50raleqbidv 3068 . . . . . 6 Scalar Scalar Scalar Scalar
5251ralbidv 2896 . . . . 5 Scalar Scalar Scalar Scalar
5325, 52anbi12d 710 . . . 4 Scalar Scalar Scalar Scalar
54 ovex 6324 . . . . . . 7 s
557, 54eqeltri 2541 . . . . . 6
5655a1i 11 . . . . 5
57 eqid 2457 . . . . . 6
58 eqid 2457 . . . . . 6
59 eqid 2457 . . . . . 6 Scalar Scalar
60 eqid 2457 . . . . . 6 Scalar Scalar
61 eqid 2457 . . . . . 6 Scalar Scalar
6257, 58, 45, 59, 60, 61islindf 18973 . . . . 5 LIndF Scalar Scalar
6356, 62sylan 471 . . . 4 LIndF Scalar Scalar
64 eqid 2457 . . . . . 6 Scalar Scalar
65 eqid 2457 . . . . . 6 Scalar Scalar
668, 35, 44, 27, 64, 65islindf 18973 . . . . 5 LIndF Scalar Scalar
67663ad2antl1 1158 . . . 4 LIndF Scalar Scalar
6853, 63, 673bitr4d 285 . . 3 LIndF LIndF
6968ex 434 . 2 LIndF LIndF
703, 5, 69pm5.21ndd 354 1 LIndF LIndF
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1395   wcel 1819  wral 2807  cvv 3109   cdif 3468   wss 3471  csn 4032   class class class wbr 4456   cdm 5008   crn 5009  cima 5011   wfn 5589  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6296  cbs 14643   ↾s cress 14644  Scalarcsca 14714  cvsca 14715  c0g 14856  clmod 17638  clss 17704  clspn 17743   LIndF clindf 18965 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-0g 14858  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-grp 16183  df-minusg 16184  df-sbg 16185  df-subg 16324  df-mgp 17268  df-ur 17280  df-ring 17326  df-lmod 17640  df-lss 17705  df-lsp 17744  df-lindf 18967 This theorem is referenced by:  lsslinds  18992
 Copyright terms: Public domain W3C validator