Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssintcl Structured version   Unicode version

Theorem lssintcl 17481
 Description: The intersection of a nonempty set of subspaces is a subspace. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
lssintcl.s
Assertion
Ref Expression
lssintcl

Proof of Theorem lssintcl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2442 . 2 Scalar Scalar
2 eqidd 2442 . 2 Scalar Scalar
3 eqidd 2442 . 2
4 eqidd 2442 . 2
5 eqidd 2442 . 2
6 lssintcl.s . . 3
76a1i 11 . 2
8 intssuni2 4294 . . . 4
983adant1 1013 . . 3
10 eqid 2441 . . . . . . 7
1110, 6lssss 17454 . . . . . 6
12 selpw 4001 . . . . . 6
1311, 12sylibr 212 . . . . 5
1413ssriv 3491 . . . 4
15 sspwuni 4398 . . . 4
1614, 15mpbi 208 . . 3
179, 16syl6ss 3499 . 2
18 simpl1 998 . . . . . 6
19 simp2 996 . . . . . . 7
2019sselda 3487 . . . . . 6
21 eqid 2441 . . . . . . 7
2221, 6lss0cl 17464 . . . . . 6
2318, 20, 22syl2anc 661 . . . . 5
2423ralrimiva 2855 . . . 4
25 fvex 5863 . . . . 5
2625elint2 4275 . . . 4
2724, 26sylibr 212 . . 3
28 ne0i 3774 . . 3
2927, 28syl 16 . 2
3020adantlr 714 . . . . 5 Scalar
31 simplr1 1037 . . . . 5 Scalar Scalar
32 simplr2 1038 . . . . . 6 Scalar
33 simpr 461 . . . . . 6 Scalar
34 elinti 4277 . . . . . 6
3532, 33, 34sylc 60 . . . . 5 Scalar
36 simplr3 1039 . . . . . 6 Scalar
37 elinti 4277 . . . . . 6
3836, 33, 37sylc 60 . . . . 5 Scalar
39 eqid 2441 . . . . . 6 Scalar Scalar
40 eqid 2441 . . . . . 6 Scalar Scalar
41 eqid 2441 . . . . . 6
42 eqid 2441 . . . . . 6
4339, 40, 41, 42, 6lsscl 17460 . . . . 5 Scalar
4430, 31, 35, 38, 43syl13anc 1229 . . . 4 Scalar
4544ralrimiva 2855 . . 3 Scalar
46 ovex 6306 . . . 4
4746elint2 4275 . . 3
4845, 47sylibr 212 . 2 Scalar
491, 2, 3, 4, 5, 7, 17, 29, 48islssd 17453 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 972   wceq 1381   wcel 1802   wne 2636  wral 2791   wss 3459  c0 3768  cpw 3994  cuni 4231  cint 4268  cfv 5575  (class class class)co 6278  cbs 14506   cplusg 14571  Scalarcsca 14574  cvsca 14575  c0g 14711  clmod 17383  clss 17449 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4545  ax-sep 4555  ax-nul 4563  ax-pow 4612  ax-pr 4673  ax-un 6574  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3419  df-dif 3462  df-un 3464  df-in 3466  df-ss 3473  df-pss 3475  df-nul 3769  df-if 3924  df-pw 3996  df-sn 4012  df-pr 4014  df-tp 4016  df-op 4018  df-uni 4232  df-int 4269  df-iun 4314  df-br 4435  df-opab 4493  df-mpt 4494  df-tr 4528  df-eprel 4778  df-id 4782  df-po 4787  df-so 4788  df-fr 4825  df-we 4827  df-ord 4868  df-on 4869  df-lim 4870  df-suc 4871  df-xp 4992  df-rel 4993  df-cnv 4994  df-co 4995  df-dm 4996  df-rn 4997  df-res 4998  df-ima 4999  df-iota 5538  df-fun 5577  df-fn 5578  df-f 5579  df-f1 5580  df-fo 5581  df-f1o 5582  df-fv 5583  df-riota 6239  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6683  df-1st 6782  df-2nd 6783  df-recs 7041  df-rdg 7075  df-er 7310  df-en 7516  df-dom 7517  df-sdom 7518  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9809  df-neg 9810  df-nn 10540  df-2 10597  df-ndx 14509  df-slot 14510  df-base 14511  df-sets 14512  df-plusg 14584  df-0g 14713  df-mgm 15743  df-sgrp 15782  df-mnd 15792  df-grp 15928  df-minusg 15929  df-sbg 15930  df-mgp 17013  df-ur 17025  df-ring 17071  df-lmod 17385  df-lss 17450 This theorem is referenced by:  lssincl  17482  lssmre  17483  lspf  17491  asplss  17849  dihglblem5  36748
 Copyright terms: Public domain W3C validator