MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssats2 Structured version   Unicode version

Theorem lssats2 17841
Description: A way to express atomisticity (a subspace is the union of its atoms). (Contributed by NM, 3-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lssats2.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lssats2.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lssats2.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lssats2.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
Assertion
Ref Expression
lssats2  |-  ( ph  ->  U  =  U_ x  e.  U  ( N `  { x } ) )
Distinct variable groups:    x, N    x, U    ph, x
Allowed substitution hints:    S( x)    W( x)

Proof of Theorem lssats2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 459 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  U )  ->  y  e.  U )
2 lssats2.w . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
32adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  U )  ->  W  e.  LMod )
4 lssats2.u . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
5 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
6 lssats2.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
75, 6lssel 17779 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  S  /\  y  e.  U )  ->  y  e.  ( Base `  W ) )
84, 7sylan 469 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  U )  ->  y  e.  ( Base `  W
) )
9 lssats2.n . . . . . . . 8  |-  N  =  ( LSpan `  W )
105, 9lspsnid 17834 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  y  e.  ( Base `  W
) )  ->  y  e.  ( N `  {
y } ) )
113, 8, 10syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  U )  ->  y  e.  ( N `  {
y } ) )
12 sneq 4026 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  { x }  =  { y } )
1312fveq2d 5852 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( N `  { x } )  =  ( N `  { y } ) )
1413eleq2d 2524 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
y  e.  ( N `
 { x }
)  <->  y  e.  ( N `  { y } ) ) )
1514rspcev 3207 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  U  /\  y  e.  ( N `  { y } ) )  ->  E. x  e.  U  y  e.  ( N `  { x } ) )
161, 11, 15syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  U )  ->  E. x  e.  U  y  e.  ( N `  { x } ) )
1716ex 432 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  U  ->  E. x  e.  U  y  e.  ( N `  { x } ) ) )
182adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  ->  W  e.  LMod )
194adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  ->  U  e.  S )
20 simpr 459 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  ->  x  e.  U )
216, 9, 18, 19, 20lspsnel5a 17837 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  ->  ( N `  { x } )  C_  U
)
2221sseld 3488 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  ->  (
y  e.  ( N `
 { x }
)  ->  y  e.  U ) )
2322rexlimdva 2946 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  U  y  e.  ( N `  { x } )  ->  y  e.  U ) )
2417, 23impbid 191 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  U  <->  E. x  e.  U  y  e.  ( N `  { x } ) ) )
25 eliun 4320 . . 3  |-  ( y  e.  U_ x  e.  U  ( N `  { x } )  <->  E. x  e.  U  y  e.  ( N `  { x } ) )
2624, 25syl6bbr 263 . 2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  U  <->  y  e.  U_ x  e.  U  ( N `  { x } ) ) )
2726eqrdv 2451 1  |-  ( ph  ->  U  =  U_ x  e.  U  ( N `  { x } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   E.wrex 2805   {csn 4016   U_ciun 4315   ` cfv 5570   Basecbs 14716   LModclmod 17707   LSubSpclss 17773   LSpanclspn 17812
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-0g 14931  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-grp 16256  df-lmod 17709  df-lss 17774  df-lsp 17813
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator