MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssats2 Structured version   Unicode version

Theorem lssats2 17207
Description: A way to express atomisticity (a subspace is the union of its atoms). (Contributed by NM, 3-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lssats2.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lssats2.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lssats2.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lssats2.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
Assertion
Ref Expression
lssats2  |-  ( ph  ->  U  =  U_ x  e.  U  ( N `  { x } ) )
Distinct variable groups:    x, N    x, U    ph, x
Allowed substitution hints:    S( x)    W( x)

Proof of Theorem lssats2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  U )  ->  y  e.  U )
2 lssats2.w . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
32adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  U )  ->  W  e.  LMod )
4 lssats2.u . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
5 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
6 lssats2.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
75, 6lssel 17145 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  S  /\  y  e.  U )  ->  y  e.  ( Base `  W ) )
84, 7sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  U )  ->  y  e.  ( Base `  W
) )
9 lssats2.n . . . . . . . 8  |-  N  =  ( LSpan `  W )
105, 9lspsnid 17200 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  y  e.  ( Base `  W
) )  ->  y  e.  ( N `  {
y } ) )
113, 8, 10syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  U )  ->  y  e.  ( N `  {
y } ) )
12 sneq 3998 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  { x }  =  { y } )
1312fveq2d 5806 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( N `  { x } )  =  ( N `  { y } ) )
1413eleq2d 2524 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
y  e.  ( N `
 { x }
)  <->  y  e.  ( N `  { y } ) ) )
1514rspcev 3179 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  U  /\  y  e.  ( N `  { y } ) )  ->  E. x  e.  U  y  e.  ( N `  { x } ) )
161, 11, 15syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  U )  ->  E. x  e.  U  y  e.  ( N `  { x } ) )
1716ex 434 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  U  ->  E. x  e.  U  y  e.  ( N `  { x } ) ) )
182adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  ->  W  e.  LMod )
194adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  ->  U  e.  S )
20 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  ->  x  e.  U )
216, 9, 18, 19, 20lspsnel5a 17203 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  ->  ( N `  { x } )  C_  U
)
2221sseld 3466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  ->  (
y  e.  ( N `
 { x }
)  ->  y  e.  U ) )
2322rexlimdva 2947 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  U  y  e.  ( N `  { x } )  ->  y  e.  U ) )
2417, 23impbid 191 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  U  <->  E. x  e.  U  y  e.  ( N `  { x } ) ) )
25 eliun 4286 . . 3  |-  ( y  e.  U_ x  e.  U  ( N `  { x } )  <->  E. x  e.  U  y  e.  ( N `  { x } ) )
2624, 25syl6bbr 263 . 2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  U  <->  y  e.  U_ x  e.  U  ( N `  { x } ) ) )
2726eqrdv 2451 1  |-  ( ph  ->  U  =  U_ x  e.  U  ( N `  { x } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   E.wrex 2800   {csn 3988   U_ciun 4282   ` cfv 5529   Basecbs 14295   LModclmod 17074   LSubSpclss 17139   LSpanclspn 17178
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-0g 14502  df-mnd 15537  df-grp 15667  df-lmod 17076  df-lss 17140  df-lsp 17179
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator