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Theorem lssats 29495
Description: The lattice of subspaces is atomistic, i.e. any element is the supremum of its atoms. Part of proof of Theorem 16.9 of [MaedaMaeda] p. 70. Hypothesis (shatomistici 23817 analog.) (Contributed by NM, 9-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lssats.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lssats.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lssats.a  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
Assertion
Ref Expression
lssats  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  U  =  ( N `  U. { x  e.  A  |  x  C_  U }
) )
Distinct variable groups:    x, A    x, N    x, S    x, U
Allowed substitution hint:    W( x)

Proof of Theorem lssats
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2464 . . . . 5  |-  ( y  =  ( 0g `  W )  ->  (
y  e.  ( N `
 U. { x  e.  A  |  x  C_  U } )  <->  ( 0g `  W )  e.  ( N `  U. {
x  e.  A  |  x  C_  U } ) ) )
2 simplll 735 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  U  e.  S
)  /\  y  e.  U )  /\  y  =/=  ( 0g `  W
) )  ->  W  e.  LMod )
3 simpllr 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  U  e.  S
)  /\  y  e.  U )  /\  y  =/=  ( 0g `  W
) )  ->  U  e.  S )
4 simplr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  U  e.  S
)  /\  y  e.  U )  /\  y  =/=  ( 0g `  W
) )  ->  y  e.  U )
5 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
6 lssats.s . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
75, 6lssel 15969 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  S  /\  y  e.  U )  ->  y  e.  ( Base `  W ) )
83, 4, 7syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  U  e.  S
)  /\  y  e.  U )  /\  y  =/=  ( 0g `  W
) )  ->  y  e.  ( Base `  W
) )
9 lssats.n . . . . . . . . . 10  |-  N  =  ( LSpan `  W )
105, 6, 9lspsncl 16008 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  y  e.  ( Base `  W
) )  ->  ( N `  { y } )  e.  S
)
112, 8, 10syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  U  e.  S
)  /\  y  e.  U )  /\  y  =/=  ( 0g `  W
) )  ->  ( N `  { y } )  e.  S
)
126, 9lspid 16013 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  { y } )  e.  S
)  ->  ( N `  ( N `  {
y } ) )  =  ( N `  { y } ) )
132, 11, 12syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  U  e.  S
)  /\  y  e.  U )  /\  y  =/=  ( 0g `  W
) )  ->  ( N `  ( N `  { y } ) )  =  ( N `
 { y } ) )
14 lssats.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
156, 14lsatlss 29479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( W  e.  LMod  ->  A  C_  S )
1615adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  A  C_  S )
17 rabss2 3386 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  S  ->  { x  e.  A  |  x  C_  U }  C_  { x  e.  S  |  x  C_  U } )
18 uniss 3996 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { x  e.  A  |  x  C_  U }  C_  { x  e.  S  |  x  C_  U }  ->  U. { x  e.  A  |  x  C_  U }  C_ 
U. { x  e.  S  |  x  C_  U } )
1916, 17, 183syl 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  U. {
x  e.  A  |  x  C_  U }  C_  U. { x  e.  S  |  x  C_  U }
)
20 unimax 4009 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U  e.  S  ->  U. {
x  e.  S  |  x  C_  U }  =  U )
215, 6lssss 15968 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U  e.  S  ->  U  C_  ( Base `  W
) )
2220, 21eqsstrd 3342 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  S  ->  U. {
x  e.  S  |  x  C_  U }  C_  ( Base `  W )
)
2322adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  U. {
x  e.  S  |  x  C_  U }  C_  ( Base `  W )
)
2419, 23sstrd 3318 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  U. {
x  e.  A  |  x  C_  U }  C_  ( Base `  W )
)
2524ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  U  e.  S
)  /\  y  e.  U )  /\  y  =/=  ( 0g `  W
) )  ->  U. {
x  e.  A  |  x  C_  U }  C_  ( Base `  W )
)
26 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  U  e.  S
)  /\  y  e.  U )  /\  y  =/=  ( 0g `  W
) )  ->  y  =/=  ( 0g `  W
) )
27 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
285, 9, 27, 14lsatlspsn2 29475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  y  e.  ( Base `  W
)  /\  y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( N `  { y } )  e.  A )
292, 8, 26, 28syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  U  e.  S
)  /\  y  e.  U )  /\  y  =/=  ( 0g `  W
) )  ->  ( N `  { y } )  e.  A
)
306, 9, 2, 3, 4lspsnel5a 16027 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  U  e.  S
)  /\  y  e.  U )  /\  y  =/=  ( 0g `  W
) )  ->  ( N `  { y } )  C_  U
)
31 sseq1 3329 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( N `  { y } )  ->  ( x  C_  U 
<->  ( N `  {
y } )  C_  U ) )
3231elrab 3052 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N `  { y } )  e.  {
x  e.  A  |  x  C_  U }  <->  ( ( N `  { y } )  e.  A  /\  ( N `  {
y } )  C_  U ) )
3329, 30, 32sylanbrc 646 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  U  e.  S
)  /\  y  e.  U )  /\  y  =/=  ( 0g `  W
) )  ->  ( N `  { y } )  e.  {
x  e.  A  |  x  C_  U } )
34 elssuni 4003 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N `  { y } )  e.  {
x  e.  A  |  x  C_  U }  ->  ( N `  { y } )  C_  U. {
x  e.  A  |  x  C_  U } )
3533, 34syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  U  e.  S
)  /\  y  e.  U )  /\  y  =/=  ( 0g `  W
) )  ->  ( N `  { y } )  C_  U. {
x  e.  A  |  x  C_  U } )
365, 9lspss 16015 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U. { x  e.  A  |  x  C_  U }  C_  ( Base `  W
)  /\  ( N `  { y } ) 
C_  U. { x  e.  A  |  x  C_  U } )  ->  ( N `  ( N `  { y } ) )  C_  ( N `  U. { x  e.  A  |  x  C_  U } ) )
372, 25, 35, 36syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  U  e.  S
)  /\  y  e.  U )  /\  y  =/=  ( 0g `  W
) )  ->  ( N `  ( N `  { y } ) )  C_  ( N `  U. { x  e.  A  |  x  C_  U } ) )
3813, 37eqsstr3d 3343 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  U  e.  S
)  /\  y  e.  U )  /\  y  =/=  ( 0g `  W
) )  ->  ( N `  { y } )  C_  ( N `  U. { x  e.  A  |  x  C_  U } ) )
395, 9lspsnid 16024 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  y  e.  ( Base `  W
) )  ->  y  e.  ( N `  {
y } ) )
402, 8, 39syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  U  e.  S
)  /\  y  e.  U )  /\  y  =/=  ( 0g `  W
) )  ->  y  e.  ( N `  {
y } ) )
4138, 40sseldd 3309 . . . . 5  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  U  e.  S
)  /\  y  e.  U )  /\  y  =/=  ( 0g `  W
) )  ->  y  e.  ( N `  U. { x  e.  A  |  x  C_  U }
) )
42 simpll 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  y  e.  U
)  ->  W  e.  LMod )
435, 6, 9lspcl 16007 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U. { x  e.  A  |  x  C_  U }  C_  ( Base `  W
) )  ->  ( N `  U. { x  e.  A  |  x  C_  U } )  e.  S )
4424, 43syldan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  ( N `  U. { x  e.  A  |  x  C_  U } )  e.  S )
4544adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  y  e.  U
)  ->  ( N `  U. { x  e.  A  |  x  C_  U } )  e.  S
)
4627, 6lss0cl 15978 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  U. { x  e.  A  |  x  C_  U } )  e.  S )  ->  ( 0g `  W )  e.  ( N `  U. { x  e.  A  |  x  C_  U }
) )
4742, 45, 46syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  y  e.  U
)  ->  ( 0g `  W )  e.  ( N `  U. {
x  e.  A  |  x  C_  U } ) )
481, 41, 47pm2.61ne 2642 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  y  e.  U
)  ->  y  e.  ( N `  U. {
x  e.  A  |  x  C_  U } ) )
4948ex 424 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  (
y  e.  U  -> 
y  e.  ( N `
 U. { x  e.  A  |  x  C_  U } ) ) )
5049ssrdv 3314 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  U  C_  ( N `  U. { x  e.  A  |  x  C_  U }
) )
51 simpl 444 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  W  e.  LMod )
525, 9lspss 16015 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U. { x  e.  S  |  x  C_  U }  C_  ( Base `  W
)  /\  U. { x  e.  A  |  x  C_  U }  C_  U. {
x  e.  S  |  x  C_  U } )  ->  ( N `  U. { x  e.  A  |  x  C_  U }
)  C_  ( N `  U. { x  e.  S  |  x  C_  U } ) )
5351, 23, 19, 52syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  ( N `  U. { x  e.  A  |  x  C_  U } )  C_  ( N `  U. {
x  e.  S  |  x  C_  U } ) )
5420adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  U. {
x  e.  S  |  x  C_  U }  =  U )
5554fveq2d 5691 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  ( N `  U. { x  e.  S  |  x  C_  U } )  =  ( N `  U
) )
566, 9lspid 16013 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  ( N `  U )  =  U )
5755, 56eqtrd 2436 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  ( N `  U. { x  e.  S  |  x  C_  U } )  =  U )
5853, 57sseqtrd 3344 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  ( N `  U. { x  e.  A  |  x  C_  U } )  C_  U )
5950, 58eqssd 3325 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  U  =  ( N `  U. { x  e.  A  |  x  C_  U }
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   {crab 2670    C_ wss 3280   {csn 3774   U.cuni 3975   ` cfv 5413   Basecbs 13424   0gc0g 13678   LModclmod 15905   LSubSpclss 15963   LSpanclspn 16002  LSAtomsclsa 29457
This theorem is referenced by:  lpssat  29496  lssatle  29498  lssat  29499
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-plusg 13497  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-ur 15620  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-lsp 16003  df-lsatoms 29459
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