Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lssatle Structured version   Unicode version

Theorem lssatle 33689
Description: The ordering of two subspaces is determined by the atoms under them. (chrelat3 26954 analog.) (Contributed by NM, 29-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lssatle.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lssatle.a  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
lssatle.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lssatle.t  |-  ( ph  ->  T  e.  S )
lssatle.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
Assertion
Ref Expression
lssatle  |-  ( ph  ->  ( T  C_  U  <->  A. p  e.  A  ( p  C_  T  ->  p 
C_  U ) ) )
Distinct variable groups:    A, p    S, p    T, p    U, p    W, p
Allowed substitution hint:    ph( p)

Proof of Theorem lssatle
StepHypRef Expression
1 sstr 3507 . . . 4  |-  ( ( p  C_  T  /\  T  C_  U )  ->  p  C_  U )
21expcom 435 . . 3  |-  ( T 
C_  U  ->  (
p  C_  T  ->  p 
C_  U ) )
32ralrimivw 2874 . 2  |-  ( T 
C_  U  ->  A. p  e.  A  ( p  C_  T  ->  p  C_  U
) )
4 ss2rab 3571 . . 3  |-  ( { p  e.  A  |  p  C_  T }  C_  { p  e.  A  |  p  C_  U }  <->  A. p  e.  A  ( p  C_  T  ->  p  C_  U
) )
5 lssatle.w . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
65adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  { p  e.  A  |  p  C_  T }  C_  { p  e.  A  |  p  C_  U } )  ->  W  e.  LMod )
7 lssatle.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
8 lssatle.a . . . . . . . . . 10  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
97, 8lsatlss 33670 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  LMod  ->  A  C_  S )
10 rabss2 3578 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  S  ->  { p  e.  A  |  p  C_  U }  C_  { p  e.  S  |  p  C_  U } )
11 uniss 4261 . . . . . . . . 9  |-  ( { p  e.  A  |  p  C_  U }  C_  { p  e.  S  |  p  C_  U }  ->  U. { p  e.  A  |  p  C_  U }  C_ 
U. { p  e.  S  |  p  C_  U } )
125, 9, 10, 114syl 21 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U. { p  e.  A  |  p  C_  U }  C_  U. {
p  e.  S  |  p  C_  U } )
13 lssatle.u . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
14 unimax 4276 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  e.  S  ->  U. {
p  e.  S  |  p  C_  U }  =  U )
1513, 14syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U. { p  e.  S  |  p  C_  U }  =  U
)
16 eqid 2462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
1716, 7lssss 17361 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  e.  S  ->  U  C_  ( Base `  W
) )
1813, 17syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  C_  ( Base `  W ) )
1915, 18eqsstrd 3533 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U. { p  e.  S  |  p  C_  U }  C_  ( Base `  W ) )
2012, 19sstrd 3509 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U. { p  e.  A  |  p  C_  U }  C_  ( Base `  W ) )
2120adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  { p  e.  A  |  p  C_  T }  C_  { p  e.  A  |  p  C_  U } )  ->  U. { p  e.  A  |  p  C_  U }  C_  ( Base `  W
) )
22 uniss 4261 . . . . . . 7  |-  ( { p  e.  A  |  p  C_  T }  C_  { p  e.  A  |  p  C_  U }  ->  U. { p  e.  A  |  p  C_  T }  C_ 
U. { p  e.  A  |  p  C_  U } )
2322adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  { p  e.  A  |  p  C_  T }  C_  { p  e.  A  |  p  C_  U } )  ->  U. { p  e.  A  |  p  C_  T }  C_ 
U. { p  e.  A  |  p  C_  U } )
24 eqid 2462 . . . . . . 7  |-  ( LSpan `  W )  =  (
LSpan `  W )
2516, 24lspss 17408 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U. { p  e.  A  |  p  C_  U }  C_  ( Base `  W
)  /\  U. { p  e.  A  |  p  C_  T }  C_  U. {
p  e.  A  |  p  C_  U } )  ->  ( ( LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  T }
)  C_  ( ( LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  U }
) )
266, 21, 23, 25syl3anc 1223 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  { p  e.  A  |  p  C_  T }  C_  { p  e.  A  |  p  C_  U } )  -> 
( ( LSpan `  W
) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  T } )  C_  ( ( LSpan `  W
) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  U } ) )
2726ex 434 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( { p  e.  A  |  p  C_  T }  C_  { p  e.  A  |  p  C_  U }  ->  (
( LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  T } )  C_  (
( LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  U } ) ) )
28 lssatle.t . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  S )
297, 24, 8lssats 33686 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  e.  S )  ->  T  =  ( ( LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  T }
) )
305, 28, 29syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  =  ( (
LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  T }
) )
317, 24, 8lssats 33686 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  U  =  ( ( LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  U }
) )
325, 13, 31syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  =  ( (
LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  U }
) )
3330, 32sseq12d 3528 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T  C_  U  <->  ( ( LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  T } )  C_  (
( LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  U } ) ) )
3427, 33sylibrd 234 . . 3  |-  ( ph  ->  ( { p  e.  A  |  p  C_  T }  C_  { p  e.  A  |  p  C_  U }  ->  T  C_  U ) )
354, 34syl5bir 218 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. p  e.  A  ( p  C_  T  ->  p  C_  U
)  ->  T  C_  U
) )
363, 35impbid2 204 1  |-  ( ph  ->  ( T  C_  U  <->  A. p  e.  A  ( p  C_  T  ->  p 
C_  U ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2809   {crab 2813    C_ wss 3471   U.cuni 4240   ` cfv 5581   Basecbs 14481   LModclmod 17290   LSubSpclss 17356   LSpanclspn 17395  LSAtomsclsa 33648
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-2 10585  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-plusg 14559  df-0g 14688  df-mnd 15723  df-grp 15853  df-minusg 15854  df-sbg 15855  df-mgp 16927  df-ur 16939  df-rng 16983  df-lmod 17292  df-lss 17357  df-lsp 17396  df-lsatoms 33650
This theorem is referenced by:  mapdordlem2  36311
  Copyright terms: Public domain W3C validator