Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lssatle Structured version   Unicode version

Theorem lssatle 32046
Description: The ordering of two subspaces is determined by the atoms under them. (chrelat3 27716 analog.) (Contributed by NM, 29-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lssatle.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lssatle.a  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
lssatle.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lssatle.t  |-  ( ph  ->  T  e.  S )
lssatle.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
Assertion
Ref Expression
lssatle  |-  ( ph  ->  ( T  C_  U  <->  A. p  e.  A  ( p  C_  T  ->  p 
C_  U ) ) )
Distinct variable groups:    A, p    S, p    T, p    U, p    W, p
Allowed substitution hint:    ph( p)

Proof of Theorem lssatle
StepHypRef Expression
1 sstr 3452 . . . 4  |-  ( ( p  C_  T  /\  T  C_  U )  ->  p  C_  U )
21expcom 435 . . 3  |-  ( T 
C_  U  ->  (
p  C_  T  ->  p 
C_  U ) )
32ralrimivw 2821 . 2  |-  ( T 
C_  U  ->  A. p  e.  A  ( p  C_  T  ->  p  C_  U
) )
4 ss2rab 3517 . . 3  |-  ( { p  e.  A  |  p  C_  T }  C_  { p  e.  A  |  p  C_  U }  <->  A. p  e.  A  ( p  C_  T  ->  p  C_  U
) )
5 lssatle.w . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
65adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  { p  e.  A  |  p  C_  T }  C_  { p  e.  A  |  p  C_  U } )  ->  W  e.  LMod )
7 lssatle.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
8 lssatle.a . . . . . . . . . 10  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
97, 8lsatlss 32027 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  LMod  ->  A  C_  S )
10 rabss2 3524 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  S  ->  { p  e.  A  |  p  C_  U }  C_  { p  e.  S  |  p  C_  U } )
11 uniss 4214 . . . . . . . . 9  |-  ( { p  e.  A  |  p  C_  U }  C_  { p  e.  S  |  p  C_  U }  ->  U. { p  e.  A  |  p  C_  U }  C_ 
U. { p  e.  S  |  p  C_  U } )
125, 9, 10, 114syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U. { p  e.  A  |  p  C_  U }  C_  U. {
p  e.  S  |  p  C_  U } )
13 lssatle.u . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
14 unimax 4228 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  e.  S  ->  U. {
p  e.  S  |  p  C_  U }  =  U )
1513, 14syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U. { p  e.  S  |  p  C_  U }  =  U
)
16 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
1716, 7lssss 17905 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  e.  S  ->  U  C_  ( Base `  W
) )
1813, 17syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  C_  ( Base `  W ) )
1915, 18eqsstrd 3478 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U. { p  e.  S  |  p  C_  U }  C_  ( Base `  W ) )
2012, 19sstrd 3454 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U. { p  e.  A  |  p  C_  U }  C_  ( Base `  W ) )
2120adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  { p  e.  A  |  p  C_  T }  C_  { p  e.  A  |  p  C_  U } )  ->  U. { p  e.  A  |  p  C_  U }  C_  ( Base `  W
) )
22 uniss 4214 . . . . . . 7  |-  ( { p  e.  A  |  p  C_  T }  C_  { p  e.  A  |  p  C_  U }  ->  U. { p  e.  A  |  p  C_  T }  C_ 
U. { p  e.  A  |  p  C_  U } )
2322adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  { p  e.  A  |  p  C_  T }  C_  { p  e.  A  |  p  C_  U } )  ->  U. { p  e.  A  |  p  C_  T }  C_ 
U. { p  e.  A  |  p  C_  U } )
24 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( LSpan `  W )  =  (
LSpan `  W )
2516, 24lspss 17952 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U. { p  e.  A  |  p  C_  U }  C_  ( Base `  W
)  /\  U. { p  e.  A  |  p  C_  T }  C_  U. {
p  e.  A  |  p  C_  U } )  ->  ( ( LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  T }
)  C_  ( ( LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  U }
) )
266, 21, 23, 25syl3anc 1232 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  { p  e.  A  |  p  C_  T }  C_  { p  e.  A  |  p  C_  U } )  -> 
( ( LSpan `  W
) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  T } )  C_  ( ( LSpan `  W
) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  U } ) )
2726ex 434 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( { p  e.  A  |  p  C_  T }  C_  { p  e.  A  |  p  C_  U }  ->  (
( LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  T } )  C_  (
( LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  U } ) ) )
28 lssatle.t . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  S )
297, 24, 8lssats 32043 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  e.  S )  ->  T  =  ( ( LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  T }
) )
305, 28, 29syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  =  ( (
LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  T }
) )
317, 24, 8lssats 32043 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  U  =  ( ( LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  U }
) )
325, 13, 31syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  =  ( (
LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  U }
) )
3330, 32sseq12d 3473 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T  C_  U  <->  ( ( LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  T } )  C_  (
( LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  U } ) ) )
3427, 33sylibrd 236 . . 3  |-  ( ph  ->  ( { p  e.  A  |  p  C_  T }  C_  { p  e.  A  |  p  C_  U }  ->  T  C_  U ) )
354, 34syl5bir 220 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. p  e.  A  ( p  C_  T  ->  p  C_  U
)  ->  T  C_  U
) )
363, 35impbid2 206 1  |-  ( ph  ->  ( T  C_  U  <->  A. p  e.  A  ( p  C_  T  ->  p 
C_  U ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 186    /\ wa 369    = wceq 1407    e. wcel 1844   A.wral 2756   {crab 2760    C_ wss 3416   U.cuni 4193   ` cfv 5571   Basecbs 14843   LModclmod 17834   LSubSpclss 17900   LSpanclspn 17939  LSAtomsclsa 32005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-nn 10579  df-2 10637  df-ndx 14846  df-slot 14847  df-base 14848  df-sets 14849  df-plusg 14924  df-0g 15058  df-mgm 16198  df-sgrp 16237  df-mnd 16247  df-grp 16383  df-minusg 16384  df-sbg 16385  df-mgp 17464  df-ur 17476  df-ring 17522  df-lmod 17836  df-lss 17901  df-lsp 17940  df-lsatoms 32007
This theorem is referenced by:  mapdordlem2  34670
  Copyright terms: Public domain W3C validator