Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lssat Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem lssat 32653
Description: Two subspaces in a proper subset relationship imply the existence of a 1-dim subspace less than or equal to one but not the other. (chpssati 28097 analog.) (Contributed by NM, 9-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lssat.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lssat.a  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
Assertion
Ref Expression
lssat  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  /\  U  C.  V )  ->  E. p  e.  A  ( p  C_  V  /\  -.  p  C_  U ) )
Distinct variable groups:    A, p    S, p    U, p    V, p    W, p

Proof of Theorem lssat
StepHypRef Expression
1 dfpss3 3505 . . 3  |-  ( U 
C.  V  <->  ( U  C_  V  /\  -.  V  C_  U ) )
21simprbi 471 . 2  |-  ( U 
C.  V  ->  -.  V  C_  U )
3 ss2rab 3491 . . . . . 6  |-  ( { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_  { p  e.  A  |  p  C_  U }  <->  A. p  e.  A  ( p  C_  V  ->  p  C_  U
) )
4 iman 431 . . . . . . 7  |-  ( ( p  C_  V  ->  p 
C_  U )  <->  -.  (
p  C_  V  /\  -.  p  C_  U ) )
54ralbii 2823 . . . . . 6  |-  ( A. p  e.  A  (
p  C_  V  ->  p 
C_  U )  <->  A. p  e.  A  -.  (
p  C_  V  /\  -.  p  C_  U ) )
63, 5bitr2i 258 . . . . 5  |-  ( A. p  e.  A  -.  ( p  C_  V  /\  -.  p  C_  U )  <->  { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_ 
{ p  e.  A  |  p  C_  U }
)
7 simpl1 1033 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  /\  { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_ 
{ p  e.  A  |  p  C_  U }
)  ->  W  e.  LMod )
8 lssat.s . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
9 lssat.a . . . . . . . . . . 11  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
108, 9lsatlss 32633 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  LMod  ->  A  C_  S )
11 rabss2 3498 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  S  ->  { p  e.  A  |  p  C_  U }  C_  { p  e.  S  |  p  C_  U } )
12 uniss 4211 . . . . . . . . . 10  |-  ( { p  e.  A  |  p  C_  U }  C_  { p  e.  S  |  p  C_  U }  ->  U. { p  e.  A  |  p  C_  U }  C_ 
U. { p  e.  S  |  p  C_  U } )
137, 10, 11, 124syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  /\  { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_ 
{ p  e.  A  |  p  C_  U }
)  ->  U. { p  e.  A  |  p  C_  U }  C_  U. {
p  e.  S  |  p  C_  U } )
14 simpl2 1034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  /\  { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_ 
{ p  e.  A  |  p  C_  U }
)  ->  U  e.  S )
15 unimax 4225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  S  ->  U. {
p  e.  S  |  p  C_  U }  =  U )
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  /\  { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_ 
{ p  e.  A  |  p  C_  U }
)  ->  U. { p  e.  S  |  p  C_  U }  =  U )
17 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
1817, 8lssss 18238 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  S  ->  U  C_  ( Base `  W
) )
1914, 18syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  /\  { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_ 
{ p  e.  A  |  p  C_  U }
)  ->  U  C_  ( Base `  W ) )
2016, 19eqsstrd 3452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  /\  { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_ 
{ p  e.  A  |  p  C_  U }
)  ->  U. { p  e.  S  |  p  C_  U }  C_  ( Base `  W ) )
2113, 20sstrd 3428 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  /\  { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_ 
{ p  e.  A  |  p  C_  U }
)  ->  U. { p  e.  A  |  p  C_  U }  C_  ( Base `  W ) )
22 uniss 4211 . . . . . . . . 9  |-  ( { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_  { p  e.  A  |  p  C_  U }  ->  U. { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_ 
U. { p  e.  A  |  p  C_  U } )
2322adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  /\  { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_ 
{ p  e.  A  |  p  C_  U }
)  ->  U. { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_  U. {
p  e.  A  |  p  C_  U } )
24 eqid 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( LSpan `  W )  =  (
LSpan `  W )
2517, 24lspss 18285 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U. { p  e.  A  |  p  C_  U }  C_  ( Base `  W
)  /\  U. { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_  U. {
p  e.  A  |  p  C_  U } )  ->  ( ( LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  V }
)  C_  ( ( LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  U }
) )
267, 21, 23, 25syl3anc 1292 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  /\  { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_ 
{ p  e.  A  |  p  C_  U }
)  ->  ( ( LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  V }
)  C_  ( ( LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  U }
) )
27 simpl3 1035 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  /\  { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_ 
{ p  e.  A  |  p  C_  U }
)  ->  V  e.  S )
288, 24, 9lssats 32649 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  V  e.  S )  ->  V  =  ( ( LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  V }
) )
297, 27, 28syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  /\  { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_ 
{ p  e.  A  |  p  C_  U }
)  ->  V  =  ( ( LSpan `  W
) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  V } ) )
308, 24, 9lssats 32649 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  U  =  ( ( LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  U }
) )
317, 14, 30syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  /\  { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_ 
{ p  e.  A  |  p  C_  U }
)  ->  U  =  ( ( LSpan `  W
) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  U } ) )
3226, 29, 313sstr4d 3461 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  /\  { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_ 
{ p  e.  A  |  p  C_  U }
)  ->  V  C_  U
)
3332ex 441 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  ->  ( { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_ 
{ p  e.  A  |  p  C_  U }  ->  V  C_  U )
)
346, 33syl5bi 225 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  ->  ( A. p  e.  A  -.  ( p  C_  V  /\  -.  p  C_  U
)  ->  V  C_  U
) )
3534con3dimp 448 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  /\  -.  V  C_  U
)  ->  -.  A. p  e.  A  -.  (
p  C_  V  /\  -.  p  C_  U ) )
36 dfrex2 2837 . . 3  |-  ( E. p  e.  A  ( p  C_  V  /\  -.  p  C_  U )  <->  -.  A. p  e.  A  -.  ( p  C_  V  /\  -.  p  C_  U
) )
3735, 36sylibr 217 . 2  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  /\  -.  V  C_  U
)  ->  E. p  e.  A  ( p  C_  V  /\  -.  p  C_  U ) )
382, 37sylan2 482 1  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  /\  U  C.  V )  ->  E. p  e.  A  ( p  C_  V  /\  -.  p  C_  U ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760    C_ wss 3390    C. wpss 3391   U.cuni 4190   ` cfv 5589   Basecbs 15199   LModclmod 18169   LSubSpclss 18233   LSpanclspn 18272  LSAtomsclsa 32611
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-plusg 15281  df-0g 15418  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-lsp 18273  df-lsatoms 32613
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator