Theorem lssat 32291

Description: Two subspaces in a proper subset relationship imply the existence of a 1-dim subspace less than or equal to one but not the other. (chpssati 27851 analog.) (Contributed by NM, 9-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssat.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lssat.a	|- A = (LSAtoms ` W )

Assertion

Ref	Expression
lssat	|- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ U C. V ) -> E. p e. A ( p C_ V /\ -. p C_ U ) )

Distinct variable groups:   A, p   S, p   U, p   V, p   W, p

Proof of Theorem lssat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfpss3 3557	. . 3 |- ( U C. V <-> ( U C_ V /\ -. V C_ U ) )
2	1	simprbi 465	. 2 |- ( U C. V -> -. V C_ U )
3		ss2rab 3543	. . . . . 6 |- ( { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } <-> A. p e. A ( p C_ V -> p C_ U ) )
4		iman 425	. . . . . . 7 |- ( ( p C_ V -> p C_ U ) <-> -. ( p C_ V /\ -. p C_ U ) )
5	4	ralbii 2863	. . . . . 6 |- ( A. p e. A ( p C_ V -> p C_ U ) <-> A. p e. A -. ( p C_ V /\ -. p C_ U ) )
6	3, 5	bitr2i 253	. . . . 5 |- ( A. p e. A -. ( p C_ V /\ -. p C_ U ) <-> { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } )
7		simpl1 1008	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } ) -> W e. LMod )
8		lssat.s	. . . . . . . . . . 11 |- S = ( LSubSp ` W )
9		lssat.a	. . . . . . . . . . 11 |- A = (LSAtoms ` W )
10	8, 9	lsatlss 32271	. . . . . . . . . 10 |- ( W e. LMod -> A C_ S )
11		rabss2 3550	. . . . . . . . . 10 |- ( A C_ S -> { p e. A | p C_ U } C_ { p e. S | p C_ U } )
12		uniss 4243	. . . . . . . . . 10 |- ( { p e. A | p C_ U } C_ { p e. S | p C_ U } -> U. { p e. A | p C_ U } C_ U. { p e. S | p C_ U } )
13	7, 10, 11, 12	4syl 19	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } ) -> U. { p e. A | p C_ U } C_ U. { p e. S | p C_ U } )
14		simpl2 1009	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } ) -> U e. S )
15		unimax 4257	. . . . . . . . . . 11 |- ( U e. S -> U. { p e. S | p C_ U } = U )
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } ) -> U. { p e. S | p C_ U } = U )
17		eqid 2429	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
18	17, 8	lssss 18095	. . . . . . . . . . 11 |- ( U e. S -> U C_ ( Base ` W ) )
19	14, 18	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } ) -> U C_ ( Base ` W ) )
20	16, 19	eqsstrd 3504	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } ) -> U. { p e. S | p C_ U } C_ ( Base ` W ) )
21	13, 20	sstrd 3480	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } ) -> U. { p e. A | p C_ U } C_ ( Base ` W ) )
22		uniss 4243	. . . . . . . . 9 |- ( { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } -> U. { p e. A | p C_ V } C_ U. { p e. A | p C_ U } )
23	22	adantl 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } ) -> U. { p e. A | p C_ V } C_ U. { p e. A | p C_ U } )
24		eqid 2429	. . . . . . . . 9 |- ( LSpan ` W ) = ( LSpan ` W )
25	17, 24	lspss 18142	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ U. { p e. A | p C_ U } C_ ( Base ` W ) /\ U. { p e. A | p C_ V } C_ U. { p e. A | p C_ U } ) -> ( ( LSpan ` W ) ` U. { p e. A | p C_ V } ) C_ ( ( LSpan ` W ) ` U. { p e. A | p C_ U } ) )
26	7, 21, 23, 25	syl3anc 1264	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } ) -> ( ( LSpan ` W ) ` U. { p e. A | p C_ V } ) C_ ( ( LSpan ` W ) ` U. { p e. A | p C_ U } ) )
27		simpl3 1010	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } ) -> V e. S )
28	8, 24, 9	lssats 32287	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ V e. S ) -> V = ( ( LSpan ` W ) ` U. { p e. A | p C_ V } ) )
29	7, 27, 28	syl2anc 665	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } ) -> V = ( ( LSpan ` W ) ` U. { p e. A | p C_ V } ) )
30	8, 24, 9	lssats 32287	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> U = ( ( LSpan ` W ) ` U. { p e. A | p C_ U } ) )
31	7, 14, 30	syl2anc 665	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } ) -> U = ( ( LSpan ` W ) ` U. { p e. A | p C_ U } ) )
32	26, 29, 31	3sstr4d 3513	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } ) -> V C_ U )
33	32	ex 435	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) -> ( { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } -> V C_ U ) )
34	6, 33	syl5bi 220	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) -> ( A. p e. A -. ( p C_ V /\ -. p C_ U ) -> V C_ U ) )
35	34	con3dimp 442	. . 3 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ -. V C_ U ) -> -. A. p e. A -. ( p C_ V /\ -. p C_ U ) )
36		dfrex2 2883	. . 3 |- ( E. p e. A ( p C_ V /\ -. p C_ U ) <-> -. A. p e. A -. ( p C_ V /\ -. p C_ U ) )
37	35, 36	sylibr 215	. 2 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ -. V C_ U ) -> E. p e. A ( p C_ V /\ -. p C_ U ) )
38	2, 37	sylan2 476	1 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ U C. V ) -> E. p e. A ( p C_ V /\ -. p C_ U ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   e. wcel 1870   A.wral 2782   E.wrex 2783   {crab 2786   C_ wss 3442   C. wpss 3443   U.cuni 4222   ` cfv 5601   Basecbs 15084   LModclmod 18026   LSubSpclss 18090   LSpanclspn 18129  LSAtomsclsa 32249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-plusg 15165  df-0g 15299  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-sbg 16626  df-mgp 17659  df-ur 17671  df-ring 17717  df-lmod 18028  df-lss 18091  df-lsp 18130  df-lsatoms 32251

This theorem is referenced by: (None)