Theorem lssat 32653

Description: Two subspaces in a proper subset relationship imply the existence of a 1-dim subspace less than or equal to one but not the other. (chpssati 28097 analog.) (Contributed by NM, 9-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssat.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lssat.a	|- A = (LSAtoms ` W )

Assertion

Ref	Expression
lssat	|- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ U C. V ) -> E. p e. A ( p C_ V /\ -. p C_ U ) )

Distinct variable groups:   A, p   S, p   U, p   V, p   W, p

Proof of Theorem lssat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfpss3 3505	. . 3 |- ( U C. V <-> ( U C_ V /\ -. V C_ U ) )
2	1	simprbi 471	. 2 |- ( U C. V -> -. V C_ U )
3		ss2rab 3491	. . . . . 6 |- ( { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } <-> A. p e. A ( p C_ V -> p C_ U ) )
4		iman 431	. . . . . . 7 |- ( ( p C_ V -> p C_ U ) <-> -. ( p C_ V /\ -. p C_ U ) )
5	4	ralbii 2823	. . . . . 6 |- ( A. p e. A ( p C_ V -> p C_ U ) <-> A. p e. A -. ( p C_ V /\ -. p C_ U ) )
6	3, 5	bitr2i 258	. . . . 5 |- ( A. p e. A -. ( p C_ V /\ -. p C_ U ) <-> { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } )
7		simpl1 1033	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } ) -> W e. LMod )
8		lssat.s	. . . . . . . . . . 11 |- S = ( LSubSp ` W )
9		lssat.a	. . . . . . . . . . 11 |- A = (LSAtoms ` W )
10	8, 9	lsatlss 32633	. . . . . . . . . 10 |- ( W e. LMod -> A C_ S )
11		rabss2 3498	. . . . . . . . . 10 |- ( A C_ S -> { p e. A | p C_ U } C_ { p e. S | p C_ U } )
12		uniss 4211	. . . . . . . . . 10 |- ( { p e. A | p C_ U } C_ { p e. S | p C_ U } -> U. { p e. A | p C_ U } C_ U. { p e. S | p C_ U } )
13	7, 10, 11, 12	4syl 19	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } ) -> U. { p e. A | p C_ U } C_ U. { p e. S | p C_ U } )
14		simpl2 1034	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } ) -> U e. S )
15		unimax 4225	. . . . . . . . . . 11 |- ( U e. S -> U. { p e. S | p C_ U } = U )
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } ) -> U. { p e. S | p C_ U } = U )
17		eqid 2471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
18	17, 8	lssss 18238	. . . . . . . . . . 11 |- ( U e. S -> U C_ ( Base ` W ) )
19	14, 18	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } ) -> U C_ ( Base ` W ) )
20	16, 19	eqsstrd 3452	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } ) -> U. { p e. S | p C_ U } C_ ( Base ` W ) )
21	13, 20	sstrd 3428	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } ) -> U. { p e. A | p C_ U } C_ ( Base ` W ) )
22		uniss 4211	. . . . . . . . 9 |- ( { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } -> U. { p e. A | p C_ V } C_ U. { p e. A | p C_ U } )
23	22	adantl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } ) -> U. { p e. A | p C_ V } C_ U. { p e. A | p C_ U } )
24		eqid 2471	. . . . . . . . 9 |- ( LSpan ` W ) = ( LSpan ` W )
25	17, 24	lspss 18285	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ U. { p e. A | p C_ U } C_ ( Base ` W ) /\ U. { p e. A | p C_ V } C_ U. { p e. A | p C_ U } ) -> ( ( LSpan ` W ) ` U. { p e. A | p C_ V } ) C_ ( ( LSpan ` W ) ` U. { p e. A | p C_ U } ) )
26	7, 21, 23, 25	syl3anc 1292	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } ) -> ( ( LSpan ` W ) ` U. { p e. A | p C_ V } ) C_ ( ( LSpan ` W ) ` U. { p e. A | p C_ U } ) )
27		simpl3 1035	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } ) -> V e. S )
28	8, 24, 9	lssats 32649	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ V e. S ) -> V = ( ( LSpan ` W ) ` U. { p e. A | p C_ V } ) )
29	7, 27, 28	syl2anc 673	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } ) -> V = ( ( LSpan ` W ) ` U. { p e. A | p C_ V } ) )
30	8, 24, 9	lssats 32649	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> U = ( ( LSpan ` W ) ` U. { p e. A | p C_ U } ) )
31	7, 14, 30	syl2anc 673	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } ) -> U = ( ( LSpan ` W ) ` U. { p e. A | p C_ U } ) )
32	26, 29, 31	3sstr4d 3461	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } ) -> V C_ U )
33	32	ex 441	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) -> ( { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } -> V C_ U ) )
34	6, 33	syl5bi 225	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) -> ( A. p e. A -. ( p C_ V /\ -. p C_ U ) -> V C_ U ) )
35	34	con3dimp 448	. . 3 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ -. V C_ U ) -> -. A. p e. A -. ( p C_ V /\ -. p C_ U ) )
36		dfrex2 2837	. . 3 |- ( E. p e. A ( p C_ V /\ -. p C_ U ) <-> -. A. p e. A -. ( p C_ V /\ -. p C_ U ) )
37	35, 36	sylibr 217	. 2 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ -. V C_ U ) -> E. p e. A ( p C_ V /\ -. p C_ U ) )
38	2, 37	sylan2 482	1 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ U C. V ) -> E. p e. A ( p C_ V /\ -. p C_ U ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   C_ wss 3390   C. wpss 3391   U.cuni 4190   ` cfv 5589   Basecbs 15199   LModclmod 18169   LSubSpclss 18233   LSpanclspn 18272  LSAtomsclsa 32611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-plusg 15281  df-0g 15418  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-lsp 18273  df-lsatoms 32613

This theorem is referenced by: (None)