Theorem lssat 32494

Description: Two subspaces in a proper subset relationship imply the existence of a 1-dim subspace less than or equal to one but not the other. (chpssati 27953 analog.) (Contributed by NM, 9-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssat.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lssat.a	|- A = (LSAtoms ` W )

Assertion

Ref	Expression
lssat	|- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ U C. V ) -> E. p e. A ( p C_ V /\ -. p C_ U ) )

Distinct variable groups:   A, p   S, p   U, p   V, p   W, p

Proof of Theorem lssat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfpss3 3489	. . 3 |- ( U C. V <-> ( U C_ V /\ -. V C_ U ) )
2	1	simprbi 465	. 2 |- ( U C. V -> -. V C_ U )
3		ss2rab 3475	. . . . . 6 |- ( { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } <-> A. p e. A ( p C_ V -> p C_ U ) )
4		iman 425	. . . . . . 7 |- ( ( p C_ V -> p C_ U ) <-> -. ( p C_ V /\ -. p C_ U ) )
5	4	ralbii 2791	. . . . . 6 |- ( A. p e. A ( p C_ V -> p C_ U ) <-> A. p e. A -. ( p C_ V /\ -. p C_ U ) )
6	3, 5	bitr2i 253	. . . . 5 |- ( A. p e. A -. ( p C_ V /\ -. p C_ U ) <-> { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } )
7		simpl1 1008	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } ) -> W e. LMod )
8		lssat.s	. . . . . . . . . . 11 |- S = ( LSubSp ` W )
9		lssat.a	. . . . . . . . . . 11 |- A = (LSAtoms ` W )
10	8, 9	lsatlss 32474	. . . . . . . . . 10 |- ( W e. LMod -> A C_ S )
11		rabss2 3482	. . . . . . . . . 10 |- ( A C_ S -> { p e. A | p C_ U } C_ { p e. S | p C_ U } )
12		uniss 4178	. . . . . . . . . 10 |- ( { p e. A | p C_ U } C_ { p e. S | p C_ U } -> U. { p e. A | p C_ U } C_ U. { p e. S | p C_ U } )
13	7, 10, 11, 12	4syl 19	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } ) -> U. { p e. A | p C_ U } C_ U. { p e. S | p C_ U } )
14		simpl2 1009	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } ) -> U e. S )
15		unimax 4192	. . . . . . . . . . 11 |- ( U e. S -> U. { p e. S | p C_ U } = U )
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } ) -> U. { p e. S | p C_ U } = U )
17		eqid 2423	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
18	17, 8	lssss 18098	. . . . . . . . . . 11 |- ( U e. S -> U C_ ( Base ` W ) )
19	14, 18	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } ) -> U C_ ( Base ` W ) )
20	16, 19	eqsstrd 3436	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } ) -> U. { p e. S | p C_ U } C_ ( Base ` W ) )
21	13, 20	sstrd 3412	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } ) -> U. { p e. A | p C_ U } C_ ( Base ` W ) )
22		uniss 4178	. . . . . . . . 9 |- ( { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } -> U. { p e. A | p C_ V } C_ U. { p e. A | p C_ U } )
23	22	adantl 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } ) -> U. { p e. A | p C_ V } C_ U. { p e. A | p C_ U } )
24		eqid 2423	. . . . . . . . 9 |- ( LSpan ` W ) = ( LSpan ` W )
25	17, 24	lspss 18145	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ U. { p e. A | p C_ U } C_ ( Base ` W ) /\ U. { p e. A | p C_ V } C_ U. { p e. A | p C_ U } ) -> ( ( LSpan ` W ) ` U. { p e. A | p C_ V } ) C_ ( ( LSpan ` W ) ` U. { p e. A | p C_ U } ) )
26	7, 21, 23, 25	syl3anc 1264	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } ) -> ( ( LSpan ` W ) ` U. { p e. A | p C_ V } ) C_ ( ( LSpan ` W ) ` U. { p e. A | p C_ U } ) )
27		simpl3 1010	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } ) -> V e. S )
28	8, 24, 9	lssats 32490	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ V e. S ) -> V = ( ( LSpan ` W ) ` U. { p e. A | p C_ V } ) )
29	7, 27, 28	syl2anc 665	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } ) -> V = ( ( LSpan ` W ) ` U. { p e. A | p C_ V } ) )
30	8, 24, 9	lssats 32490	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> U = ( ( LSpan ` W ) ` U. { p e. A | p C_ U } ) )
31	7, 14, 30	syl2anc 665	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } ) -> U = ( ( LSpan ` W ) ` U. { p e. A | p C_ U } ) )
32	26, 29, 31	3sstr4d 3445	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } ) -> V C_ U )
33	32	ex 435	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) -> ( { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } -> V C_ U ) )
34	6, 33	syl5bi 220	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) -> ( A. p e. A -. ( p C_ V /\ -. p C_ U ) -> V C_ U ) )
35	34	con3dimp 442	. . 3 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ -. V C_ U ) -> -. A. p e. A -. ( p C_ V /\ -. p C_ U ) )
36		dfrex2 2810	. . 3 |- ( E. p e. A ( p C_ V /\ -. p C_ U ) <-> -. A. p e. A -. ( p C_ V /\ -. p C_ U ) )
37	35, 36	sylibr 215	. 2 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ -. V C_ U ) -> E. p e. A ( p C_ V /\ -. p C_ U ) )
38	2, 37	sylan2 476	1 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ U C. V ) -> E. p e. A ( p C_ V /\ -. p C_ U ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   e. wcel 1872   A.wral 2709   E.wrex 2710   {crab 2713   C_ wss 3374   C. wpss 3375   U.cuni 4157   ` cfv 5539   Basecbs 15059   LModclmod 18029   LSubSpclss 18093   LSpanclspn 18132  LSAtomsclsa 32452

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2403  ax-rep 4474  ax-sep 4484  ax-nul 4493  ax-pow 4540  ax-pr 4598  ax-un 6536  ax-cnex 9541  ax-resscn 9542  ax-1cn 9543  ax-icn 9544  ax-addcl 9545  ax-addrcl 9546  ax-mulcl 9547  ax-mulrcl 9548  ax-mulcom 9549  ax-addass 9550  ax-mulass 9551  ax-distr 9552  ax-i2m1 9553  ax-1ne0 9554  ax-1rid 9555  ax-rnegex 9556  ax-rrecex 9557  ax-cnre 9558  ax-pre-lttri 9559  ax-pre-lttrn 9560  ax-pre-ltadd 9561  ax-pre-mulgt0 9562

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2275  df-mo 2276  df-clab 2410  df-cleq 2416  df-clel 2419  df-nfc 2553  df-ne 2596  df-nel 2597  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rmo 2717  df-rab 2718  df-v 3019  df-sbc 3238  df-csb 3334  df-dif 3377  df-un 3379  df-in 3381  df-ss 3388  df-pss 3390  df-nul 3700  df-if 3850  df-pw 3921  df-sn 3937  df-pr 3939  df-tp 3941  df-op 3943  df-uni 4158  df-int 4194  df-iun 4239  df-br 4362  df-opab 4421  df-mpt 4422  df-tr 4457  df-eprel 4702  df-id 4706  df-po 4712  df-so 4713  df-fr 4750  df-we 4752  df-xp 4797  df-rel 4798  df-cnv 4799  df-co 4800  df-dm 4801  df-rn 4802  df-res 4803  df-ima 4804  df-pred 5337  df-ord 5383  df-on 5384  df-lim 5385  df-suc 5386  df-iota 5503  df-fun 5541  df-fn 5542  df-f 5543  df-f1 5544  df-fo 5545  df-f1o 5546  df-fv 5547  df-riota 6206  df-ov 6247  df-oprab 6248  df-mpt2 6249  df-om 6646  df-1st 6746  df-2nd 6747  df-wrecs 6978  df-recs 7040  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7520  df-dom 7521  df-sdom 7522  df-pnf 9623  df-mnf 9624  df-xr 9625  df-ltxr 9626  df-le 9627  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10556  df-2 10614  df-ndx 15062  df-slot 15063  df-base 15064  df-sets 15065  df-plusg 15141  df-0g 15278  df-mgm 16426  df-sgrp 16465  df-mnd 16475  df-grp 16611  df-minusg 16612  df-sbg 16613  df-mgp 17662  df-ur 17674  df-ring 17720  df-lmod 18031  df-lss 18094  df-lsp 18133  df-lsatoms 32454

This theorem is referenced by: (None)