Theorem lssat 33831

Description: Two subspaces in a proper subset relationship imply the existence of a 1-dim subspace less than or equal to one but not the other. (chpssati 26986 analog.) (Contributed by NM, 9-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssat.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lssat.a	|- A = (LSAtoms ` W )

Assertion

Ref	Expression
lssat	|- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ U C. V ) -> E. p e. A ( p C_ V /\ -. p C_ U ) )

Distinct variable groups:   A, p   S, p   U, p   V, p   W, p

Proof of Theorem lssat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfpss3 3590	. . 3 |- ( U C. V <-> ( U C_ V /\ -. V C_ U ) )
2	1	simprbi 464	. 2 |- ( U C. V -> -. V C_ U )
3		ss2rab 3576	. . . . . 6 |- ( { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } <-> A. p e. A ( p C_ V -> p C_ U ) )
4		iman 424	. . . . . . 7 |- ( ( p C_ V -> p C_ U ) <-> -. ( p C_ V /\ -. p C_ U ) )
5	4	ralbii 2895	. . . . . 6 |- ( A. p e. A ( p C_ V -> p C_ U ) <-> A. p e. A -. ( p C_ V /\ -. p C_ U ) )
6	3, 5	bitr2i 250	. . . . 5 |- ( A. p e. A -. ( p C_ V /\ -. p C_ U ) <-> { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } )
7		simpl1 999	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } ) -> W e. LMod )
8		lssat.s	. . . . . . . . . . 11 |- S = ( LSubSp ` W )
9		lssat.a	. . . . . . . . . . 11 |- A = (LSAtoms ` W )
10	8, 9	lsatlss 33811	. . . . . . . . . 10 |- ( W e. LMod -> A C_ S )
11		rabss2 3583	. . . . . . . . . 10 |- ( A C_ S -> { p e. A | p C_ U } C_ { p e. S | p C_ U } )
12		uniss 4266	. . . . . . . . . 10 |- ( { p e. A | p C_ U } C_ { p e. S | p C_ U } -> U. { p e. A | p C_ U } C_ U. { p e. S | p C_ U } )
13	7, 10, 11, 12	4syl 21	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } ) -> U. { p e. A | p C_ U } C_ U. { p e. S | p C_ U } )
14		simpl2 1000	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } ) -> U e. S )
15		unimax 4281	. . . . . . . . . . 11 |- ( U e. S -> U. { p e. S | p C_ U } = U )
16	14, 15	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } ) -> U. { p e. S | p C_ U } = U )
17		eqid 2467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
18	17, 8	lssss 17383	. . . . . . . . . . 11 |- ( U e. S -> U C_ ( Base ` W ) )
19	14, 18	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } ) -> U C_ ( Base ` W ) )
20	16, 19	eqsstrd 3538	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } ) -> U. { p e. S | p C_ U } C_ ( Base ` W ) )
21	13, 20	sstrd 3514	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } ) -> U. { p e. A | p C_ U } C_ ( Base ` W ) )
22		uniss 4266	. . . . . . . . 9 |- ( { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } -> U. { p e. A | p C_ V } C_ U. { p e. A | p C_ U } )
23	22	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } ) -> U. { p e. A | p C_ V } C_ U. { p e. A | p C_ U } )
24		eqid 2467	. . . . . . . . 9 |- ( LSpan ` W ) = ( LSpan ` W )
25	17, 24	lspss 17430	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ U. { p e. A | p C_ U } C_ ( Base ` W ) /\ U. { p e. A | p C_ V } C_ U. { p e. A | p C_ U } ) -> ( ( LSpan ` W ) ` U. { p e. A | p C_ V } ) C_ ( ( LSpan ` W ) ` U. { p e. A | p C_ U } ) )
26	7, 21, 23, 25	syl3anc 1228	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } ) -> ( ( LSpan ` W ) ` U. { p e. A | p C_ V } ) C_ ( ( LSpan ` W ) ` U. { p e. A | p C_ U } ) )
27		simpl3 1001	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } ) -> V e. S )
28	8, 24, 9	lssats 33827	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ V e. S ) -> V = ( ( LSpan ` W ) ` U. { p e. A | p C_ V } ) )
29	7, 27, 28	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } ) -> V = ( ( LSpan ` W ) ` U. { p e. A | p C_ V } ) )
30	8, 24, 9	lssats 33827	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> U = ( ( LSpan ` W ) ` U. { p e. A | p C_ U } ) )
31	7, 14, 30	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } ) -> U = ( ( LSpan ` W ) ` U. { p e. A | p C_ U } ) )
32	26, 29, 31	3sstr4d 3547	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } ) -> V C_ U )
33	32	ex 434	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) -> ( { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } -> V C_ U ) )
34	6, 33	syl5bi 217	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) -> ( A. p e. A -. ( p C_ V /\ -. p C_ U ) -> V C_ U ) )
35	34	con3dimp 441	. . 3 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ -. V C_ U ) -> -. A. p e. A -. ( p C_ V /\ -. p C_ U ) )
36		dfrex2 2915	. . 3 |- ( E. p e. A ( p C_ V /\ -. p C_ U ) <-> -. A. p e. A -. ( p C_ V /\ -. p C_ U ) )
37	35, 36	sylibr 212	. 2 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ -. V C_ U ) -> E. p e. A ( p C_ V /\ -. p C_ U ) )
38	2, 37	sylan2 474	1 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ U C. V ) -> E. p e. A ( p C_ V /\ -. p C_ U ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818   C_ wss 3476   C. wpss 3477   U.cuni 4245   ` cfv 5588   Basecbs 14490   LModclmod 17312   LSubSpclss 17378   LSpanclspn 17417  LSAtomsclsa 33789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-plusg 14568  df-0g 14697  df-mnd 15732  df-grp 15867  df-minusg 15868  df-sbg 15869  df-mgp 16944  df-ur 16956  df-rng 17002  df-lmod 17314  df-lss 17379  df-lsp 17418  df-lsatoms 33791

This theorem is referenced by: (None)