Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lssat Structured version   Unicode version

Theorem lssat 33831
Description: Two subspaces in a proper subset relationship imply the existence of a 1-dim subspace less than or equal to one but not the other. (chpssati 26986 analog.) (Contributed by NM, 9-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lssat.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lssat.a  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
Assertion
Ref Expression
lssat  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  /\  U  C.  V )  ->  E. p  e.  A  ( p  C_  V  /\  -.  p  C_  U ) )
Distinct variable groups:    A, p    S, p    U, p    V, p    W, p

Proof of Theorem lssat
StepHypRef Expression
1 dfpss3 3590 . . 3  |-  ( U 
C.  V  <->  ( U  C_  V  /\  -.  V  C_  U ) )
21simprbi 464 . 2  |-  ( U 
C.  V  ->  -.  V  C_  U )
3 ss2rab 3576 . . . . . 6  |-  ( { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_  { p  e.  A  |  p  C_  U }  <->  A. p  e.  A  ( p  C_  V  ->  p  C_  U
) )
4 iman 424 . . . . . . 7  |-  ( ( p  C_  V  ->  p 
C_  U )  <->  -.  (
p  C_  V  /\  -.  p  C_  U ) )
54ralbii 2895 . . . . . 6  |-  ( A. p  e.  A  (
p  C_  V  ->  p 
C_  U )  <->  A. p  e.  A  -.  (
p  C_  V  /\  -.  p  C_  U ) )
63, 5bitr2i 250 . . . . 5  |-  ( A. p  e.  A  -.  ( p  C_  V  /\  -.  p  C_  U )  <->  { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_ 
{ p  e.  A  |  p  C_  U }
)
7 simpl1 999 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  /\  { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_ 
{ p  e.  A  |  p  C_  U }
)  ->  W  e.  LMod )
8 lssat.s . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
9 lssat.a . . . . . . . . . . 11  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
108, 9lsatlss 33811 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  LMod  ->  A  C_  S )
11 rabss2 3583 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  S  ->  { p  e.  A  |  p  C_  U }  C_  { p  e.  S  |  p  C_  U } )
12 uniss 4266 . . . . . . . . . 10  |-  ( { p  e.  A  |  p  C_  U }  C_  { p  e.  S  |  p  C_  U }  ->  U. { p  e.  A  |  p  C_  U }  C_ 
U. { p  e.  S  |  p  C_  U } )
137, 10, 11, 124syl 21 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  /\  { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_ 
{ p  e.  A  |  p  C_  U }
)  ->  U. { p  e.  A  |  p  C_  U }  C_  U. {
p  e.  S  |  p  C_  U } )
14 simpl2 1000 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  /\  { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_ 
{ p  e.  A  |  p  C_  U }
)  ->  U  e.  S )
15 unimax 4281 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  S  ->  U. {
p  e.  S  |  p  C_  U }  =  U )
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  /\  { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_ 
{ p  e.  A  |  p  C_  U }
)  ->  U. { p  e.  S  |  p  C_  U }  =  U )
17 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
1817, 8lssss 17383 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  S  ->  U  C_  ( Base `  W
) )
1914, 18syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  /\  { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_ 
{ p  e.  A  |  p  C_  U }
)  ->  U  C_  ( Base `  W ) )
2016, 19eqsstrd 3538 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  /\  { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_ 
{ p  e.  A  |  p  C_  U }
)  ->  U. { p  e.  S  |  p  C_  U }  C_  ( Base `  W ) )
2113, 20sstrd 3514 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  /\  { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_ 
{ p  e.  A  |  p  C_  U }
)  ->  U. { p  e.  A  |  p  C_  U }  C_  ( Base `  W ) )
22 uniss 4266 . . . . . . . . 9  |-  ( { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_  { p  e.  A  |  p  C_  U }  ->  U. { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_ 
U. { p  e.  A  |  p  C_  U } )
2322adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  /\  { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_ 
{ p  e.  A  |  p  C_  U }
)  ->  U. { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_  U. {
p  e.  A  |  p  C_  U } )
24 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( LSpan `  W )  =  (
LSpan `  W )
2517, 24lspss 17430 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U. { p  e.  A  |  p  C_  U }  C_  ( Base `  W
)  /\  U. { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_  U. {
p  e.  A  |  p  C_  U } )  ->  ( ( LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  V }
)  C_  ( ( LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  U }
) )
267, 21, 23, 25syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  /\  { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_ 
{ p  e.  A  |  p  C_  U }
)  ->  ( ( LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  V }
)  C_  ( ( LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  U }
) )
27 simpl3 1001 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  /\  { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_ 
{ p  e.  A  |  p  C_  U }
)  ->  V  e.  S )
288, 24, 9lssats 33827 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  V  e.  S )  ->  V  =  ( ( LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  V }
) )
297, 27, 28syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  /\  { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_ 
{ p  e.  A  |  p  C_  U }
)  ->  V  =  ( ( LSpan `  W
) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  V } ) )
308, 24, 9lssats 33827 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  U  =  ( ( LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  U }
) )
317, 14, 30syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  /\  { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_ 
{ p  e.  A  |  p  C_  U }
)  ->  U  =  ( ( LSpan `  W
) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  U } ) )
3226, 29, 313sstr4d 3547 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  /\  { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_ 
{ p  e.  A  |  p  C_  U }
)  ->  V  C_  U
)
3332ex 434 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  ->  ( { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_ 
{ p  e.  A  |  p  C_  U }  ->  V  C_  U )
)
346, 33syl5bi 217 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  ->  ( A. p  e.  A  -.  ( p  C_  V  /\  -.  p  C_  U
)  ->  V  C_  U
) )
3534con3dimp 441 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  /\  -.  V  C_  U
)  ->  -.  A. p  e.  A  -.  (
p  C_  V  /\  -.  p  C_  U ) )
36 dfrex2 2915 . . 3  |-  ( E. p  e.  A  ( p  C_  V  /\  -.  p  C_  U )  <->  -.  A. p  e.  A  -.  ( p  C_  V  /\  -.  p  C_  U
) )
3735, 36sylibr 212 . 2  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  /\  -.  V  C_  U
)  ->  E. p  e.  A  ( p  C_  V  /\  -.  p  C_  U ) )
382, 37sylan2 474 1  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  /\  U  C.  V )  ->  E. p  e.  A  ( p  C_  V  /\  -.  p  C_  U ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818    C_ wss 3476    C. wpss 3477   U.cuni 4245   ` cfv 5588   Basecbs 14490   LModclmod 17312   LSubSpclss 17378   LSpanclspn 17417  LSAtomsclsa 33789
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-plusg 14568  df-0g 14697  df-mnd 15732  df-grp 15867  df-minusg 15868  df-sbg 15869  df-mgp 16944  df-ur 16956  df-rng 17002  df-lmod 17314  df-lss 17379  df-lsp 17418  df-lsatoms 33791
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator