Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lssat Structured version   Unicode version

Theorem lssat 32494
Description: Two subspaces in a proper subset relationship imply the existence of a 1-dim subspace less than or equal to one but not the other. (chpssati 27953 analog.) (Contributed by NM, 9-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lssat.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lssat.a  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
Assertion
Ref Expression
lssat  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  /\  U  C.  V )  ->  E. p  e.  A  ( p  C_  V  /\  -.  p  C_  U ) )
Distinct variable groups:    A, p    S, p    U, p    V, p    W, p

Proof of Theorem lssat
StepHypRef Expression
1 dfpss3 3489 . . 3  |-  ( U 
C.  V  <->  ( U  C_  V  /\  -.  V  C_  U ) )
21simprbi 465 . 2  |-  ( U 
C.  V  ->  -.  V  C_  U )
3 ss2rab 3475 . . . . . 6  |-  ( { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_  { p  e.  A  |  p  C_  U }  <->  A. p  e.  A  ( p  C_  V  ->  p  C_  U
) )
4 iman 425 . . . . . . 7  |-  ( ( p  C_  V  ->  p 
C_  U )  <->  -.  (
p  C_  V  /\  -.  p  C_  U ) )
54ralbii 2791 . . . . . 6  |-  ( A. p  e.  A  (
p  C_  V  ->  p 
C_  U )  <->  A. p  e.  A  -.  (
p  C_  V  /\  -.  p  C_  U ) )
63, 5bitr2i 253 . . . . 5  |-  ( A. p  e.  A  -.  ( p  C_  V  /\  -.  p  C_  U )  <->  { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_ 
{ p  e.  A  |  p  C_  U }
)
7 simpl1 1008 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  /\  { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_ 
{ p  e.  A  |  p  C_  U }
)  ->  W  e.  LMod )
8 lssat.s . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
9 lssat.a . . . . . . . . . . 11  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
108, 9lsatlss 32474 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  LMod  ->  A  C_  S )
11 rabss2 3482 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  S  ->  { p  e.  A  |  p  C_  U }  C_  { p  e.  S  |  p  C_  U } )
12 uniss 4178 . . . . . . . . . 10  |-  ( { p  e.  A  |  p  C_  U }  C_  { p  e.  S  |  p  C_  U }  ->  U. { p  e.  A  |  p  C_  U }  C_ 
U. { p  e.  S  |  p  C_  U } )
137, 10, 11, 124syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  /\  { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_ 
{ p  e.  A  |  p  C_  U }
)  ->  U. { p  e.  A  |  p  C_  U }  C_  U. {
p  e.  S  |  p  C_  U } )
14 simpl2 1009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  /\  { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_ 
{ p  e.  A  |  p  C_  U }
)  ->  U  e.  S )
15 unimax 4192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  S  ->  U. {
p  e.  S  |  p  C_  U }  =  U )
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  /\  { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_ 
{ p  e.  A  |  p  C_  U }
)  ->  U. { p  e.  S  |  p  C_  U }  =  U )
17 eqid 2423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
1817, 8lssss 18098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  S  ->  U  C_  ( Base `  W
) )
1914, 18syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  /\  { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_ 
{ p  e.  A  |  p  C_  U }
)  ->  U  C_  ( Base `  W ) )
2016, 19eqsstrd 3436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  /\  { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_ 
{ p  e.  A  |  p  C_  U }
)  ->  U. { p  e.  S  |  p  C_  U }  C_  ( Base `  W ) )
2113, 20sstrd 3412 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  /\  { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_ 
{ p  e.  A  |  p  C_  U }
)  ->  U. { p  e.  A  |  p  C_  U }  C_  ( Base `  W ) )
22 uniss 4178 . . . . . . . . 9  |-  ( { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_  { p  e.  A  |  p  C_  U }  ->  U. { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_ 
U. { p  e.  A  |  p  C_  U } )
2322adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  /\  { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_ 
{ p  e.  A  |  p  C_  U }
)  ->  U. { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_  U. {
p  e.  A  |  p  C_  U } )
24 eqid 2423 . . . . . . . . 9  |-  ( LSpan `  W )  =  (
LSpan `  W )
2517, 24lspss 18145 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U. { p  e.  A  |  p  C_  U }  C_  ( Base `  W
)  /\  U. { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_  U. {
p  e.  A  |  p  C_  U } )  ->  ( ( LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  V }
)  C_  ( ( LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  U }
) )
267, 21, 23, 25syl3anc 1264 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  /\  { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_ 
{ p  e.  A  |  p  C_  U }
)  ->  ( ( LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  V }
)  C_  ( ( LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  U }
) )
27 simpl3 1010 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  /\  { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_ 
{ p  e.  A  |  p  C_  U }
)  ->  V  e.  S )
288, 24, 9lssats 32490 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  V  e.  S )  ->  V  =  ( ( LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  V }
) )
297, 27, 28syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  /\  { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_ 
{ p  e.  A  |  p  C_  U }
)  ->  V  =  ( ( LSpan `  W
) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  V } ) )
308, 24, 9lssats 32490 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  U  =  ( ( LSpan `  W ) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  U }
) )
317, 14, 30syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  /\  { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_ 
{ p  e.  A  |  p  C_  U }
)  ->  U  =  ( ( LSpan `  W
) `  U. { p  e.  A  |  p  C_  U } ) )
3226, 29, 313sstr4d 3445 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  /\  { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_ 
{ p  e.  A  |  p  C_  U }
)  ->  V  C_  U
)
3332ex 435 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  ->  ( { p  e.  A  |  p  C_  V }  C_ 
{ p  e.  A  |  p  C_  U }  ->  V  C_  U )
)
346, 33syl5bi 220 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  ->  ( A. p  e.  A  -.  ( p  C_  V  /\  -.  p  C_  U
)  ->  V  C_  U
) )
3534con3dimp 442 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  /\  -.  V  C_  U
)  ->  -.  A. p  e.  A  -.  (
p  C_  V  /\  -.  p  C_  U ) )
36 dfrex2 2810 . . 3  |-  ( E. p  e.  A  ( p  C_  V  /\  -.  p  C_  U )  <->  -.  A. p  e.  A  -.  ( p  C_  V  /\  -.  p  C_  U
) )
3735, 36sylibr 215 . 2  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  /\  -.  V  C_  U
)  ->  E. p  e.  A  ( p  C_  V  /\  -.  p  C_  U ) )
382, 37sylan2 476 1  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  V  e.  S )  /\  U  C.  V )  ->  E. p  e.  A  ( p  C_  V  /\  -.  p  C_  U ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2709   E.wrex 2710   {crab 2713    C_ wss 3374    C. wpss 3375   U.cuni 4157   ` cfv 5539   Basecbs 15059   LModclmod 18029   LSubSpclss 18093   LSpanclspn 18132  LSAtomsclsa 32452
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2403  ax-rep 4474  ax-sep 4484  ax-nul 4493  ax-pow 4540  ax-pr 4598  ax-un 6536  ax-cnex 9541  ax-resscn 9542  ax-1cn 9543  ax-icn 9544  ax-addcl 9545  ax-addrcl 9546  ax-mulcl 9547  ax-mulrcl 9548  ax-mulcom 9549  ax-addass 9550  ax-mulass 9551  ax-distr 9552  ax-i2m1 9553  ax-1ne0 9554  ax-1rid 9555  ax-rnegex 9556  ax-rrecex 9557  ax-cnre 9558  ax-pre-lttri 9559  ax-pre-lttrn 9560  ax-pre-ltadd 9561  ax-pre-mulgt0 9562
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2275  df-mo 2276  df-clab 2410  df-cleq 2416  df-clel 2419  df-nfc 2553  df-ne 2596  df-nel 2597  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rmo 2717  df-rab 2718  df-v 3019  df-sbc 3238  df-csb 3334  df-dif 3377  df-un 3379  df-in 3381  df-ss 3388  df-pss 3390  df-nul 3700  df-if 3850  df-pw 3921  df-sn 3937  df-pr 3939  df-tp 3941  df-op 3943  df-uni 4158  df-int 4194  df-iun 4239  df-br 4362  df-opab 4421  df-mpt 4422  df-tr 4457  df-eprel 4702  df-id 4706  df-po 4712  df-so 4713  df-fr 4750  df-we 4752  df-xp 4797  df-rel 4798  df-cnv 4799  df-co 4800  df-dm 4801  df-rn 4802  df-res 4803  df-ima 4804  df-pred 5337  df-ord 5383  df-on 5384  df-lim 5385  df-suc 5386  df-iota 5503  df-fun 5541  df-fn 5542  df-f 5543  df-f1 5544  df-fo 5545  df-f1o 5546  df-fv 5547  df-riota 6206  df-ov 6247  df-oprab 6248  df-mpt2 6249  df-om 6646  df-1st 6746  df-2nd 6747  df-wrecs 6978  df-recs 7040  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7520  df-dom 7521  df-sdom 7522  df-pnf 9623  df-mnf 9624  df-xr 9625  df-ltxr 9626  df-le 9627  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10556  df-2 10614  df-ndx 15062  df-slot 15063  df-base 15064  df-sets 15065  df-plusg 15141  df-0g 15278  df-mgm 16426  df-sgrp 16465  df-mnd 16475  df-grp 16611  df-minusg 16612  df-sbg 16613  df-mgp 17662  df-ur 17674  df-ring 17720  df-lmod 18031  df-lss 18094  df-lsp 18133  df-lsatoms 32454
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator