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Theorem lssacsex 17205
Description: In a vector space, subspaces form an algebraic closure system whose closure operator has the exchange property. Strengthening of lssacs 17028 by lspsolv 17204. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lssacsex.1  |-  A  =  ( LSubSp `  W )
lssacsex.2  |-  N  =  (mrCls `  A )
lssacsex.3  |-  X  =  ( Base `  W
)
Assertion
Ref Expression
lssacsex  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( A  e.  (ACS `  X
)  /\  A. s  e.  ~P  X A. y  e.  X  A. z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) y  e.  ( N `  ( s  u.  {
z } ) ) ) )
Distinct variable groups:    W, s,
y, z    y, X, z
Allowed substitution hints:    A( y, z, s)    N( y, z, s)    X( s)

Proof of Theorem lssacsex
StepHypRef Expression
1 lveclmod 17167 . . 3  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
2 lssacsex.3 . . . 4  |-  X  =  ( Base `  W
)
3 lssacsex.1 . . . 4  |-  A  =  ( LSubSp `  W )
42, 3lssacs 17028 . . 3  |-  ( W  e.  LMod  ->  A  e.  (ACS `  X )
)
51, 4syl 16 . 2  |-  ( W  e.  LVec  ->  A  e.  (ACS `  X )
)
6 simplll 757 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) )  ->  W  e.  LVec )
7 simpllr 758 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) )  ->  s  e.  ~P X )
87elpwid 3865 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) )  ->  s  C_  X
)
9 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) )  ->  y  e.  X
)
10 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) )  ->  z  e.  ( ( N `  (
s  u.  { y } ) )  \ 
( N `  s
) ) )
11 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( LSpan `  W )  =  (
LSpan `  W )
12 lssacsex.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  N  =  (mrCls `  A )
133, 11, 12mrclsp 17050 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( LSpan `  W )  =  N )
146, 1, 133syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) )  ->  ( LSpan `  W
)  =  N )
1514fveq1d 5688 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) )  ->  ( ( LSpan `  W ) `  (
s  u.  { y } ) )  =  ( N `  (
s  u.  { y } ) ) )
1614fveq1d 5688 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) )  ->  ( ( LSpan `  W ) `  s
)  =  ( N `
 s ) )
1715, 16difeq12d 3470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) )  ->  ( ( (
LSpan `  W ) `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( ( LSpan `  W ) `  s
) )  =  ( ( N `  (
s  u.  { y } ) )  \ 
( N `  s
) ) )
1810, 17eleqtrrd 2515 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) )  ->  z  e.  ( ( ( LSpan `  W
) `  ( s  u.  { y } ) )  \  ( (
LSpan `  W ) `  s ) ) )
192, 3, 11lspsolv 17204 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  (
s  C_  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  ( (
( LSpan `  W ) `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( ( LSpan `  W ) `  s
) ) ) )  ->  y  e.  ( ( LSpan `  W ) `  ( s  u.  {
z } ) ) )
206, 8, 9, 18, 19syl13anc 1220 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) )  ->  y  e.  ( ( LSpan `  W ) `  ( s  u.  {
z } ) ) )
2114fveq1d 5688 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) )  ->  ( ( LSpan `  W ) `  (
s  u.  { z } ) )  =  ( N `  (
s  u.  { z } ) ) )
2220, 21eleqtrd 2514 . . . . 5  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) )  ->  y  e.  ( N `  ( s  u.  { z } ) ) )
2322ralrimiva 2794 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  s  e.  ~P X
)  /\  y  e.  X )  ->  A. z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) y  e.  ( N `  ( s  u.  {
z } ) ) )
2423ralrimiva 2794 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  s  e.  ~P X )  ->  A. y  e.  X  A. z  e.  (
( N `  (
s  u.  { y } ) )  \ 
( N `  s
) ) y  e.  ( N `  (
s  u.  { z } ) ) )
2524ralrimiva 2794 . 2  |-  ( W  e.  LVec  ->  A. s  e.  ~P  X A. y  e.  X  A. z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) y  e.  ( N `  ( s  u.  {
z } ) ) )
265, 25jca 532 1  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( A  e.  (ACS `  X
)  /\  A. s  e.  ~P  X A. y  e.  X  A. z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) y  e.  ( N `  ( s  u.  {
z } ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2710    \ cdif 3320    u. cun 3321    C_ wss 3323   ~Pcpw 3855   {csn 3872   ` cfv 5413   Basecbs 14166  mrClscmrc 14513  ACScacs 14515   LModclmod 16928   LSubSpclss 16993   LSpanclspn 17032   LVecclvec 17163
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-tpos 6740  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-0g 14372  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-grp 15536  df-minusg 15537  df-sbg 15538  df-subg 15669  df-cmn 16270  df-abl 16271  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-oppr 16705  df-dvdsr 16723  df-unit 16724  df-invr 16754  df-drng 16814  df-lmod 16930  df-lss 16994  df-lsp 17033  df-lvec 17164
This theorem is referenced by:  lvecdim  17218
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