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Theorem lssacs 17808
Description: Submodules are an algebraic closure system. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lssacs.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
lssacs.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
Assertion
Ref Expression
lssacs  |-  ( W  e.  LMod  ->  S  e.  (ACS `  B )
)

Proof of Theorem lssacs
Dummy variables  a 
b  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lssacs.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  W
)
2 lssacs.s . . . . . 6  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
31, 2lssss 17778 . . . . 5  |-  ( a  e.  S  ->  a  C_  B )
43a1i 11 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( a  e.  S  ->  a  C_  B ) )
5 inss2 3705 . . . . . . . 8  |-  ( (SubGrp `  W )  i^i  {
b  e.  ~P B  |  A. x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b } )  C_  { b  e.  ~P B  |  A. x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b }
6 ssrab2 3571 . . . . . . . 8  |-  { b  e.  ~P B  |  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b }  C_  ~P B
75, 6sstri 3498 . . . . . . 7  |-  ( (SubGrp `  W )  i^i  {
b  e.  ~P B  |  A. x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b } )  C_  ~P B
87sseli 3485 . . . . . 6  |-  ( a  e.  ( (SubGrp `  W )  i^i  {
b  e.  ~P B  |  A. x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b } )  -> 
a  e.  ~P B
)
98elpwid 4009 . . . . 5  |-  ( a  e.  ( (SubGrp `  W )  i^i  {
b  e.  ~P B  |  A. x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b } )  -> 
a  C_  B )
109a1i 11 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( a  e.  ( (SubGrp `  W )  i^i  {
b  e.  ~P B  |  A. x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b } )  -> 
a  C_  B )
)
11 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
12 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
13 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
1411, 12, 1, 13, 2islss4 17803 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( a  e.  S  <->  ( a  e.  (SubGrp `  W )  /\  A. x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  a  ( x
( .s `  W
) y )  e.  a ) ) )
1514adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  a  C_  B )  ->  (
a  e.  S  <->  ( a  e.  (SubGrp `  W )  /\  A. x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  a  ( x
( .s `  W
) y )  e.  a ) ) )
16 selpw 4006 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  ~P B  <->  a  C_  B )
17 eleq2 2527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  a  ->  (
( x ( .s
`  W ) y )  e.  b  <->  ( x
( .s `  W
) y )  e.  a ) )
1817raleqbi1dv 3059 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  a  ->  ( A. y  e.  b 
( x ( .s
`  W ) y )  e.  b  <->  A. y  e.  a  ( x
( .s `  W
) y )  e.  a ) )
1918ralbidv 2893 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  a  ->  ( A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b  <->  A. x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  a  ( x
( .s `  W
) y )  e.  a ) )
2019elrab3 3255 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  ~P B  -> 
( a  e.  {
b  e.  ~P B  |  A. x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b }  <->  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) A. y  e.  a  (
x ( .s `  W ) y )  e.  a ) )
2116, 20sylbir 213 . . . . . . . . 9  |-  ( a 
C_  B  ->  (
a  e.  { b  e.  ~P B  |  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b }  <->  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) A. y  e.  a  (
x ( .s `  W ) y )  e.  a ) )
2221adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  a  C_  B )  ->  (
a  e.  { b  e.  ~P B  |  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b }  <->  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) A. y  e.  a  (
x ( .s `  W ) y )  e.  a ) )
2322anbi2d 701 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  a  C_  B )  ->  (
( a  e.  (SubGrp `  W )  /\  a  e.  { b  e.  ~P B  |  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) A. y  e.  b  (
x ( .s `  W ) y )  e.  b } )  <-> 
( a  e.  (SubGrp `  W )  /\  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) A. y  e.  a  ( x ( .s `  W ) y )  e.  a ) ) )
2415, 23bitr4d 256 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  a  C_  B )  ->  (
a  e.  S  <->  ( a  e.  (SubGrp `  W )  /\  a  e.  { b  e.  ~P B  |  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b } ) ) )
25 elin 3673 . . . . . 6  |-  ( a  e.  ( (SubGrp `  W )  i^i  {
b  e.  ~P B  |  A. x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b } )  <->  ( a  e.  (SubGrp `  W )  /\  a  e.  { b  e.  ~P B  |  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b } ) )
2624, 25syl6bbr 263 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  a  C_  B )  ->  (
a  e.  S  <->  a  e.  ( (SubGrp `  W )  i^i  { b  e.  ~P B  |  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) A. y  e.  b  (
x ( .s `  W ) y )  e.  b } ) ) )
2726ex 432 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( a 
C_  B  ->  (
a  e.  S  <->  a  e.  ( (SubGrp `  W )  i^i  { b  e.  ~P B  |  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) A. y  e.  b  (
x ( .s `  W ) y )  e.  b } ) ) ) )
284, 10, 27pm5.21ndd 352 . . 3  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( a  e.  S  <->  a  e.  ( (SubGrp `  W )  i^i  { b  e.  ~P B  |  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) A. y  e.  b  (
x ( .s `  W ) y )  e.  b } ) ) )
2928eqrdv 2451 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  S  =  ( (SubGrp `  W
)  i^i  { b  e.  ~P B  |  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) A. y  e.  b  ( x ( .s `  W ) y )  e.  b } ) )
30 fvex 5858 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  e.  _V
311, 30eqeltri 2538 . . . 4  |-  B  e. 
_V
32 mreacs 15147 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  ->  (ACS `  B )  e.  (Moore `  ~P B ) )
3331, 32mp1i 12 . . 3  |-  ( W  e.  LMod  ->  (ACS `  B )  e.  (Moore `  ~P B ) )
34 lmodgrp 17714 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
351subgacs 16435 . . . 4  |-  ( W  e.  Grp  ->  (SubGrp `  W )  e.  (ACS
`  B ) )
3634, 35syl 16 . . 3  |-  ( W  e.  LMod  ->  (SubGrp `  W )  e.  (ACS
`  B ) )
371, 11, 13, 12lmodvscl 17724 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  x  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  y  e.  B )  ->  ( x ( .s
`  W ) y )  e.  B )
38373expb 1195 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
)  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .s
`  W ) y )  e.  B )
3938ralrimivva 2875 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) A. y  e.  B  (
x ( .s `  W ) y )  e.  B )
40 acsfn1c 15151 . . . 4  |-  ( ( B  e.  _V  /\  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) A. y  e.  B  ( x ( .s `  W ) y )  e.  B
)  ->  { b  e.  ~P B  |  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) A. y  e.  b  ( x ( .s `  W ) y )  e.  b }  e.  (ACS `  B ) )
4131, 39, 40sylancr 661 . . 3  |-  ( W  e.  LMod  ->  { b  e.  ~P B  |  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b }  e.  (ACS
`  B ) )
42 mreincl 15088 . . 3  |-  ( ( (ACS `  B )  e.  (Moore `  ~P B )  /\  (SubGrp `  W
)  e.  (ACS `  B )  /\  {
b  e.  ~P B  |  A. x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b }  e.  (ACS
`  B ) )  ->  ( (SubGrp `  W )  i^i  {
b  e.  ~P B  |  A. x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b } )  e.  (ACS `  B )
)
4333, 36, 41, 42syl3anc 1226 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( (SubGrp `  W )  i^i  {
b  e.  ~P B  |  A. x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b } )  e.  (ACS `  B )
)
4429, 43eqeltrd 2542 1  |-  ( W  e.  LMod  ->  S  e.  (ACS `  B )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   {crab 2808   _Vcvv 3106    i^i cin 3460    C_ wss 3461   ~Pcpw 3999   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Basecbs 14716  Scalarcsca 14787   .scvsca 14788  Moorecmre 15071  ACScacs 15074   Grpcgrp 16252  SubGrpcsubg 16394   LModclmod 17707   LSubSpclss 17773
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-0g 14931  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-sbg 16258  df-subg 16397  df-mgp 17337  df-ur 17349  df-ring 17395  df-lmod 17709  df-lss 17774
This theorem is referenced by:  lssacsex  17985  lidlacs  18064
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