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Theorem lssacs 17170
Description: Submodules are an algebraic closure system. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lssacs.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
lssacs.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
Assertion
Ref Expression
lssacs  |-  ( W  e.  LMod  ->  S  e.  (ACS `  B )
)

Proof of Theorem lssacs
Dummy variables  a 
b  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lssacs.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  W
)
2 lssacs.s . . . . . 6  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
31, 2lssss 17140 . . . . 5  |-  ( a  e.  S  ->  a  C_  B )
43a1i 11 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( a  e.  S  ->  a  C_  B ) )
5 inss2 3678 . . . . . . . 8  |-  ( (SubGrp `  W )  i^i  {
b  e.  ~P B  |  A. x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b } )  C_  { b  e.  ~P B  |  A. x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b }
6 ssrab2 3544 . . . . . . . 8  |-  { b  e.  ~P B  |  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b }  C_  ~P B
75, 6sstri 3472 . . . . . . 7  |-  ( (SubGrp `  W )  i^i  {
b  e.  ~P B  |  A. x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b } )  C_  ~P B
87sseli 3459 . . . . . 6  |-  ( a  e.  ( (SubGrp `  W )  i^i  {
b  e.  ~P B  |  A. x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b } )  -> 
a  e.  ~P B
)
98elpwid 3977 . . . . 5  |-  ( a  e.  ( (SubGrp `  W )  i^i  {
b  e.  ~P B  |  A. x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b } )  -> 
a  C_  B )
109a1i 11 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( a  e.  ( (SubGrp `  W )  i^i  {
b  e.  ~P B  |  A. x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b } )  -> 
a  C_  B )
)
11 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
12 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
13 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
1411, 12, 1, 13, 2islss4 17165 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( a  e.  S  <->  ( a  e.  (SubGrp `  W )  /\  A. x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  a  ( x
( .s `  W
) y )  e.  a ) ) )
1514adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  a  C_  B )  ->  (
a  e.  S  <->  ( a  e.  (SubGrp `  W )  /\  A. x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  a  ( x
( .s `  W
) y )  e.  a ) ) )
16 selpw 3974 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  ~P B  <->  a  C_  B )
17 eleq2 2527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  a  ->  (
( x ( .s
`  W ) y )  e.  b  <->  ( x
( .s `  W
) y )  e.  a ) )
1817raleqbi1dv 3029 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  a  ->  ( A. y  e.  b 
( x ( .s
`  W ) y )  e.  b  <->  A. y  e.  a  ( x
( .s `  W
) y )  e.  a ) )
1918ralbidv 2845 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  a  ->  ( A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b  <->  A. x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  a  ( x
( .s `  W
) y )  e.  a ) )
2019elrab3 3223 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  ~P B  -> 
( a  e.  {
b  e.  ~P B  |  A. x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b }  <->  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) A. y  e.  a  (
x ( .s `  W ) y )  e.  a ) )
2116, 20sylbir 213 . . . . . . . . 9  |-  ( a 
C_  B  ->  (
a  e.  { b  e.  ~P B  |  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b }  <->  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) A. y  e.  a  (
x ( .s `  W ) y )  e.  a ) )
2221adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  a  C_  B )  ->  (
a  e.  { b  e.  ~P B  |  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b }  <->  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) A. y  e.  a  (
x ( .s `  W ) y )  e.  a ) )
2322anbi2d 703 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  a  C_  B )  ->  (
( a  e.  (SubGrp `  W )  /\  a  e.  { b  e.  ~P B  |  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) A. y  e.  b  (
x ( .s `  W ) y )  e.  b } )  <-> 
( a  e.  (SubGrp `  W )  /\  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) A. y  e.  a  ( x ( .s `  W ) y )  e.  a ) ) )
2415, 23bitr4d 256 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  a  C_  B )  ->  (
a  e.  S  <->  ( a  e.  (SubGrp `  W )  /\  a  e.  { b  e.  ~P B  |  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b } ) ) )
25 elin 3646 . . . . . 6  |-  ( a  e.  ( (SubGrp `  W )  i^i  {
b  e.  ~P B  |  A. x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b } )  <->  ( a  e.  (SubGrp `  W )  /\  a  e.  { b  e.  ~P B  |  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b } ) )
2624, 25syl6bbr 263 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  a  C_  B )  ->  (
a  e.  S  <->  a  e.  ( (SubGrp `  W )  i^i  { b  e.  ~P B  |  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) A. y  e.  b  (
x ( .s `  W ) y )  e.  b } ) ) )
2726ex 434 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( a 
C_  B  ->  (
a  e.  S  <->  a  e.  ( (SubGrp `  W )  i^i  { b  e.  ~P B  |  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) A. y  e.  b  (
x ( .s `  W ) y )  e.  b } ) ) ) )
284, 10, 27pm5.21ndd 354 . . 3  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( a  e.  S  <->  a  e.  ( (SubGrp `  W )  i^i  { b  e.  ~P B  |  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) A. y  e.  b  (
x ( .s `  W ) y )  e.  b } ) ) )
2928eqrdv 2451 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  S  =  ( (SubGrp `  W
)  i^i  { b  e.  ~P B  |  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) A. y  e.  b  ( x ( .s `  W ) y )  e.  b } ) )
30 fvex 5808 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  e.  _V
311, 30eqeltri 2538 . . . 4  |-  B  e. 
_V
32 mreacs 14714 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  ->  (ACS `  B )  e.  (Moore `  ~P B ) )
3331, 32mp1i 12 . . 3  |-  ( W  e.  LMod  ->  (ACS `  B )  e.  (Moore `  ~P B ) )
34 lmodgrp 17077 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
351subgacs 15834 . . . 4  |-  ( W  e.  Grp  ->  (SubGrp `  W )  e.  (ACS
`  B ) )
3634, 35syl 16 . . 3  |-  ( W  e.  LMod  ->  (SubGrp `  W )  e.  (ACS
`  B ) )
371, 11, 13, 12lmodvscl 17087 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  x  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  y  e.  B )  ->  ( x ( .s
`  W ) y )  e.  B )
38373expb 1189 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
)  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .s
`  W ) y )  e.  B )
3938ralrimivva 2912 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) A. y  e.  B  (
x ( .s `  W ) y )  e.  B )
40 acsfn1c 14718 . . . 4  |-  ( ( B  e.  _V  /\  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) A. y  e.  B  ( x ( .s `  W ) y )  e.  B
)  ->  { b  e.  ~P B  |  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) A. y  e.  b  ( x ( .s `  W ) y )  e.  b }  e.  (ACS `  B ) )
4131, 39, 40sylancr 663 . . 3  |-  ( W  e.  LMod  ->  { b  e.  ~P B  |  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b }  e.  (ACS
`  B ) )
42 mreincl 14655 . . 3  |-  ( ( (ACS `  B )  e.  (Moore `  ~P B )  /\  (SubGrp `  W
)  e.  (ACS `  B )  /\  {
b  e.  ~P B  |  A. x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b }  e.  (ACS
`  B ) )  ->  ( (SubGrp `  W )  i^i  {
b  e.  ~P B  |  A. x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b } )  e.  (ACS `  B )
)
4333, 36, 41, 42syl3anc 1219 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( (SubGrp `  W )  i^i  {
b  e.  ~P B  |  A. x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) A. y  e.  b  ( x
( .s `  W
) y )  e.  b } )  e.  (ACS `  B )
)
4429, 43eqeltrd 2542 1  |-  ( W  e.  LMod  ->  S  e.  (ACS `  B )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2798   {crab 2802   _Vcvv 3076    i^i cin 3434    C_ wss 3435   ~Pcpw 3967   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   Basecbs 14291  Scalarcsca 14359   .scvsca 14360  Moorecmre 14638  ACScacs 14641   Grpcgrp 15528  SubGrpcsubg 15793   LModclmod 17070   LSubSpclss 17135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-oadd 7033  df-er 7210  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-nn 10433  df-2 10490  df-ndx 14294  df-slot 14295  df-base 14296  df-sets 14297  df-ress 14298  df-plusg 14369  df-0g 14498  df-mre 14642  df-mrc 14643  df-acs 14645  df-mnd 15533  df-submnd 15583  df-grp 15663  df-minusg 15664  df-sbg 15665  df-subg 15796  df-mgp 16713  df-ur 16725  df-rng 16769  df-lmod 17072  df-lss 17136
This theorem is referenced by:  lssacsex  17347  lidlacs  17425
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