MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lss0v Structured version   Unicode version

Theorem lss0v 17075
Description: The zero vector in a submodule equals the zero vector in the including module. (Contributed by NM, 15-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lss0v.x  |-  X  =  ( Ws  U )
lss0v.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lss0v.z  |-  Z  =  ( 0g `  X
)
lss0v.l  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
Assertion
Ref Expression
lss0v  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  L )  ->  Z  =  .0.  )

Proof of Theorem lss0v
StepHypRef Expression
1 0ss 3663 . . . . 5  |-  (/)  C_  U
2 lss0v.x . . . . . 6  |-  X  =  ( Ws  U )
3 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( LSpan `  W )  =  (
LSpan `  W )
4 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( LSpan `  X )  =  (
LSpan `  X )
5 lss0v.l . . . . . 6  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
62, 3, 4, 5lsslsp 17074 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  L  /\  (/)  C_  U
)  ->  ( ( LSpan `  W ) `  (/) )  =  ( (
LSpan `  X ) `  (/) ) )
71, 6mp3an3 1298 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  L )  ->  (
( LSpan `  W ) `  (/) )  =  ( ( LSpan `  X ) `  (/) ) )
8 lss0v.o . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
98, 3lsp0 17068 . . . . 5  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( (
LSpan `  W ) `  (/) )  =  {  .0.  } )
109adantr 462 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  L )  ->  (
( LSpan `  W ) `  (/) )  =  {  .0.  } )
112, 5lsslmod 17019 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  L )  ->  X  e.  LMod )
12 lss0v.z . . . . . 6  |-  Z  =  ( 0g `  X
)
1312, 4lsp0 17068 . . . . 5  |-  ( X  e.  LMod  ->  ( (
LSpan `  X ) `  (/) )  =  { Z } )
1411, 13syl 16 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  L )  ->  (
( LSpan `  X ) `  (/) )  =  { Z } )
157, 10, 143eqtr3rd 2482 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  L )  ->  { Z }  =  {  .0.  } )
1615unieqd 4098 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  L )  ->  U. { Z }  =  U. {  .0.  } )
17 fvex 5698 . . . 4  |-  ( 0g
`  X )  e. 
_V
1812, 17eqeltri 2511 . . 3  |-  Z  e. 
_V
1918unisn 4103 . 2  |-  U. { Z }  =  Z
20 fvex 5698 . . . 4  |-  ( 0g
`  W )  e. 
_V
218, 20eqeltri 2511 . . 3  |-  .0.  e.  _V
2221unisn 4103 . 2  |-  U. {  .0.  }  =  .0.
2316, 19, 223eqtr3g 2496 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  L )  ->  Z  =  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   _Vcvv 2970    C_ wss 3325   (/)c0 3634   {csn 3874   U.cuni 4088   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   ↾s cress 14171   0gc0g 14374   LModclmod 16928   LSubSpclss 16991   LSpanclspn 17030
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-0g 14376  df-mnd 15411  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-sbg 15540  df-subg 15671  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-lmod 16930  df-lss 16992  df-lsp 17031
This theorem is referenced by:  lcd0v  34944
  Copyright terms: Public domain W3C validator