MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspvadd Structured version   Unicode version

Theorem lspvadd 17518
Description: The span of a vector sum is included in the span of its arguments. (Contributed by NM, 22-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspvadd.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspvadd.a  |-  .+  =  ( +g  `  W )
lspvadd.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
Assertion
Ref Expression
lspvadd  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { ( X  .+  Y ) } )  C_  ( N `  { X ,  Y } ) )

Proof of Theorem lspvadd
StepHypRef Expression
1 eqid 2460 . 2  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
2 lspvadd.n . 2  |-  N  =  ( LSpan `  W )
3 simp1 991 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  W  e.  LMod )
4 prssi 4176 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  { X ,  Y }  C_  V )
543adant1 1009 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  { X ,  Y }  C_  V
)
6 lspvadd.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
76, 1, 2lspcl 17398 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  { X ,  Y }  C_  V )  ->  ( N `  { X ,  Y } )  e.  ( LSubSp `  W )
)
83, 5, 7syl2anc 661 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { X ,  Y } )  e.  ( LSubSp `  W )
)
96, 2lspssid 17407 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  { X ,  Y }  C_  V )  ->  { X ,  Y }  C_  ( N `  { X ,  Y } ) )
103, 5, 9syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  { X ,  Y }  C_  ( N `  { X ,  Y } ) )
11 prssg 4175 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( ( X  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  Y  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  <->  { X ,  Y }  C_  ( N `  { X ,  Y }
) ) )
12113adant1 1009 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( X  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  Y  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  <->  { X ,  Y }  C_  ( N `  { X ,  Y } ) ) )
1310, 12mpbird 232 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  Y  e.  ( N `  { X ,  Y }
) ) )
14 lspvadd.a . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  W )
1514, 1lssvacl 17376 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  { X ,  Y }
)  e.  ( LSubSp `  W ) )  /\  ( X  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  Y  e.  ( N `  { X ,  Y } ) ) )  ->  ( X  .+  Y )  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
163, 8, 13, 15syl21anc 1222 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .+  Y )  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )
171, 2, 3, 8, 16lspsnel5a 17418 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { ( X  .+  Y ) } )  C_  ( N `  { X ,  Y } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762    C_ wss 3469   {csn 4020   {cpr 4022   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   Basecbs 14479   +g cplusg 14544   LModclmod 17288   LSubSpclss 17354   LSpanclspn 17393
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-plusg 14557  df-0g 14686  df-mnd 15721  df-grp 15851  df-minusg 15852  df-sbg 15853  df-mgp 16925  df-ur 16937  df-rng 16981  df-lmod 17290  df-lss 17355  df-lsp 17394
This theorem is referenced by:  lspsntri  17519  lsmsat  33680  mapdindp3  36394
  Copyright terms: Public domain W3C validator