MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspvadd Structured version   Unicode version

Theorem lspvadd 17154
Description: The span of a vector sum is included in the span of its arguments. (Contributed by NM, 22-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspvadd.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspvadd.a  |-  .+  =  ( +g  `  W )
lspvadd.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
Assertion
Ref Expression
lspvadd  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { ( X  .+  Y ) } )  C_  ( N `  { X ,  Y } ) )

Proof of Theorem lspvadd
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . 2  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
2 lspvadd.n . 2  |-  N  =  ( LSpan `  W )
3 simp1 988 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  W  e.  LMod )
4 prssi 4024 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  { X ,  Y }  C_  V )
543adant1 1006 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  { X ,  Y }  C_  V
)
6 lspvadd.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
76, 1, 2lspcl 17034 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  { X ,  Y }  C_  V )  ->  ( N `  { X ,  Y } )  e.  ( LSubSp `  W )
)
83, 5, 7syl2anc 661 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { X ,  Y } )  e.  ( LSubSp `  W )
)
96, 2lspssid 17043 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  { X ,  Y }  C_  V )  ->  { X ,  Y }  C_  ( N `  { X ,  Y } ) )
103, 5, 9syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  { X ,  Y }  C_  ( N `  { X ,  Y } ) )
11 prssg 4023 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( ( X  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  Y  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  <->  { X ,  Y }  C_  ( N `  { X ,  Y }
) ) )
12113adant1 1006 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( X  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  Y  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  <->  { X ,  Y }  C_  ( N `  { X ,  Y } ) ) )
1310, 12mpbird 232 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  Y  e.  ( N `  { X ,  Y }
) ) )
14 lspvadd.a . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  W )
1514, 1lssvacl 17012 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  { X ,  Y }
)  e.  ( LSubSp `  W ) )  /\  ( X  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  Y  e.  ( N `  { X ,  Y } ) ) )  ->  ( X  .+  Y )  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
163, 8, 13, 15syl21anc 1217 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .+  Y )  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )
171, 2, 3, 8, 16lspsnel5a 17054 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { ( X  .+  Y ) } )  C_  ( N `  { X ,  Y } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    C_ wss 3323   {csn 3872   {cpr 3874   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   Basecbs 14166   +g cplusg 14230   LModclmod 16926   LSubSpclss 16990   LSpanclspn 17029
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-plusg 14243  df-0g 14372  df-mnd 15407  df-grp 15536  df-minusg 15537  df-sbg 15538  df-mgp 16580  df-ur 16592  df-rng 16635  df-lmod 16928  df-lss 16991  df-lsp 17030
This theorem is referenced by:  lspsntri  17155  lsmsat  32493  mapdindp3  35207
  Copyright terms: Public domain W3C validator