MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspun0 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem lspun0 18234
Description: The span of a union with the zero subspace. (Contributed by NM, 22-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspun0.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspun0.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lspun0.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspun0.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lspun0.x  |-  ( ph  ->  X  C_  V )
Assertion
Ref Expression
lspun0  |-  ( ph  ->  ( N `  ( X  u.  {  .0.  } ) )  =  ( N `  X ) )

Proof of Theorem lspun0
StepHypRef Expression
1 lspun0.w . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
2 lspun0.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  C_  V )
3 lspun0.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  W
)
4 lspun0.o . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
53, 4lmod0vcl 18120 . . . . 5  |-  ( W  e.  LMod  ->  .0.  e.  V )
61, 5syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  .0.  e.  V )
76snssd 4117 . . 3  |-  ( ph  ->  {  .0.  }  C_  V )
8 lspun0.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  W )
93, 8lspun 18210 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  C_  V  /\  {  .0.  } 
C_  V )  -> 
( N `  ( X  u.  {  .0.  } ) )  =  ( N `  ( ( N `  X )  u.  ( N `  {  .0.  } ) ) ) )
101, 2, 7, 9syl3anc 1268 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  ( X  u.  {  .0.  } ) )  =  ( N `  ( ( N `  X )  u.  ( N `  {  .0.  } ) ) ) )
114, 8lspsn0 18231 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( N `
 {  .0.  }
)  =  {  .0.  } )
121, 11syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  {  .0.  } )  =  {  .0.  } )
1312uneq2d 3588 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  X )  u.  ( N `  {  .0.  }
) )  =  ( ( N `  X
)  u.  {  .0.  } ) )
14 eqid 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
153, 14, 8lspcl 18199 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  C_  V )  ->  ( N `  X )  e.  ( LSubSp `  W )
)
161, 2, 15syl2anc 667 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  X
)  e.  ( LSubSp `  W ) )
174, 14lss0ss 18172 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  X )  e.  ( LSubSp `  W )
)  ->  {  .0.  } 
C_  ( N `  X ) )
181, 16, 17syl2anc 667 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  {  .0.  }  C_  ( N `  X ) )
19 ssequn2 3607 . . . . . 6  |-  ( {  .0.  }  C_  ( N `  X )  <->  ( ( N `  X
)  u.  {  .0.  } )  =  ( N `
 X ) )
2018, 19sylib 200 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  X )  u.  {  .0.  } )  =  ( N `  X ) )
2113, 20eqtrd 2485 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  X )  u.  ( N `  {  .0.  }
) )  =  ( N `  X ) )
2221fveq2d 5869 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  (
( N `  X
)  u.  ( N `
 {  .0.  }
) ) )  =  ( N `  ( N `  X )
) )
233, 8lspidm 18209 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  C_  V )  ->  ( N `  ( N `  X ) )  =  ( N `  X
) )
241, 2, 23syl2anc 667 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  ( N `  X )
)  =  ( N `
 X ) )
2522, 24eqtrd 2485 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  (
( N `  X
)  u.  ( N `
 {  .0.  }
) ) )  =  ( N `  X
) )
2610, 25eqtrd 2485 1  |-  ( ph  ->  ( N `  ( X  u.  {  .0.  } ) )  =  ( N `  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1444    e. wcel 1887    u. cun 3402    C_ wss 3404   {csn 3968   ` cfv 5582   Basecbs 15121   0gc0g 15338   LModclmod 18091   LSubSpclss 18155   LSpanclspn 18194
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-plusg 15203  df-0g 15340  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-sbg 16675  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-lmod 18093  df-lss 18156  df-lsp 18195
This theorem is referenced by:  dvh4dimN  35015
  Copyright terms: Public domain W3C validator