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Theorem lspun 17176
Description: The span of union is the span of the union of spans. (Contributed by NM, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspss.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspss.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
Assertion
Ref Expression
lspun  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  ( N `  ( T  u.  U ) )  =  ( N `  (
( N `  T
)  u.  ( N `
 U ) ) ) )

Proof of Theorem lspun
StepHypRef Expression
1 simp1 988 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  W  e.  LMod )
2 simp2 989 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  T  C_  V )
3 simp3 990 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  U  C_  V )
42, 3unssd 3632 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  ( T  u.  U )  C_  V )
5 ssun1 3619 . . . . . . 7  |-  T  C_  ( T  u.  U
)
65a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  T  C_  ( T  u.  U
) )
7 lspss.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  W
)
8 lspss.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( LSpan `  W )
97, 8lspss 17173 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( T  u.  U )  C_  V  /\  T  C_  ( T  u.  U
) )  ->  ( N `  T )  C_  ( N `  ( T  u.  U )
) )
101, 4, 6, 9syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  ( N `  T )  C_  ( N `  ( T  u.  U )
) )
11 ssun2 3620 . . . . . . 7  |-  U  C_  ( T  u.  U
)
1211a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  U  C_  ( T  u.  U
) )
137, 8lspss 17173 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( T  u.  U )  C_  V  /\  U  C_  ( T  u.  U
) )  ->  ( N `  U )  C_  ( N `  ( T  u.  U )
) )
141, 4, 12, 13syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  ( N `  U )  C_  ( N `  ( T  u.  U )
) )
1510, 14unssd 3632 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  (
( N `  T
)  u.  ( N `
 U ) ) 
C_  ( N `  ( T  u.  U
) ) )
167, 8lspssv 17172 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( T  u.  U )  C_  V )  ->  ( N `  ( T  u.  U ) )  C_  V )
171, 4, 16syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  ( N `  ( T  u.  U ) )  C_  V )
1815, 17sstrd 3466 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  (
( N `  T
)  u.  ( N `
 U ) ) 
C_  V )
197, 8lspssid 17174 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V )  ->  T  C_  ( N `  T
) )
201, 2, 19syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  T  C_  ( N `  T
) )
217, 8lspssid 17174 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  C_  V )  ->  U  C_  ( N `  U
) )
221, 3, 21syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  U  C_  ( N `  U
) )
23 unss12 3628 . . . 4  |-  ( ( T  C_  ( N `  T )  /\  U  C_  ( N `  U
) )  ->  ( T  u.  U )  C_  ( ( N `  T )  u.  ( N `  U )
) )
2420, 22, 23syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  ( T  u.  U )  C_  ( ( N `  T )  u.  ( N `  U )
) )
257, 8lspss 17173 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( N `  T
)  u.  ( N `
 U ) ) 
C_  V  /\  ( T  u.  U )  C_  ( ( N `  T )  u.  ( N `  U )
) )  ->  ( N `  ( T  u.  U ) )  C_  ( N `  ( ( N `  T )  u.  ( N `  U ) ) ) )
261, 18, 24, 25syl3anc 1219 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  ( N `  ( T  u.  U ) )  C_  ( N `  ( ( N `  T )  u.  ( N `  U ) ) ) )
277, 8lspss 17173 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  ( T  u.  U ) )  C_  V  /\  ( ( N `
 T )  u.  ( N `  U
) )  C_  ( N `  ( T  u.  U ) ) )  ->  ( N `  ( ( N `  T )  u.  ( N `  U )
) )  C_  ( N `  ( N `  ( T  u.  U
) ) ) )
281, 17, 15, 27syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  ( N `  ( ( N `  T )  u.  ( N `  U
) ) )  C_  ( N `  ( N `
 ( T  u.  U ) ) ) )
297, 8lspidm 17175 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( T  u.  U )  C_  V )  ->  ( N `  ( N `  ( T  u.  U
) ) )  =  ( N `  ( T  u.  U )
) )
301, 4, 29syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  ( N `  ( N `  ( T  u.  U
) ) )  =  ( N `  ( T  u.  U )
) )
3128, 30sseqtrd 3492 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  ( N `  ( ( N `  T )  u.  ( N `  U
) ) )  C_  ( N `  ( T  u.  U ) ) )
3226, 31eqssd 3473 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  ( N `  ( T  u.  U ) )  =  ( N `  (
( N `  T
)  u.  ( N `
 U ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    u. cun 3426    C_ wss 3428   ` cfv 5518   Basecbs 14278   LModclmod 17056   LSpanclspn 17160
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-er 7203  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-nn 10426  df-2 10483  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-sets 14284  df-plusg 14355  df-0g 14484  df-mnd 15519  df-grp 15649  df-minusg 15650  df-sbg 15651  df-mgp 16699  df-ur 16711  df-rng 16755  df-lmod 17058  df-lss 17122  df-lsp 17161
This theorem is referenced by:  lspun0  17200  lsmsp2  17276  lsmpr  17278  lsppr  17282  islshpsm  32933  lshpnel2N  32938  lkrlsp3  33057  dochsatshp  35404
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