MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspun Structured version   Unicode version

Theorem lspun 17951
Description: The span of union is the span of the union of spans. (Contributed by NM, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspss.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspss.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
Assertion
Ref Expression
lspun  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  ( N `  ( T  u.  U ) )  =  ( N `  (
( N `  T
)  u.  ( N `
 U ) ) ) )

Proof of Theorem lspun
StepHypRef Expression
1 simp1 997 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  W  e.  LMod )
2 simp2 998 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  T  C_  V )
3 simp3 999 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  U  C_  V )
42, 3unssd 3618 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  ( T  u.  U )  C_  V )
5 ssun1 3605 . . . . . . 7  |-  T  C_  ( T  u.  U
)
65a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  T  C_  ( T  u.  U
) )
7 lspss.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  W
)
8 lspss.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( LSpan `  W )
97, 8lspss 17948 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( T  u.  U )  C_  V  /\  T  C_  ( T  u.  U
) )  ->  ( N `  T )  C_  ( N `  ( T  u.  U )
) )
101, 4, 6, 9syl3anc 1230 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  ( N `  T )  C_  ( N `  ( T  u.  U )
) )
11 ssun2 3606 . . . . . . 7  |-  U  C_  ( T  u.  U
)
1211a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  U  C_  ( T  u.  U
) )
137, 8lspss 17948 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( T  u.  U )  C_  V  /\  U  C_  ( T  u.  U
) )  ->  ( N `  U )  C_  ( N `  ( T  u.  U )
) )
141, 4, 12, 13syl3anc 1230 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  ( N `  U )  C_  ( N `  ( T  u.  U )
) )
1510, 14unssd 3618 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  (
( N `  T
)  u.  ( N `
 U ) ) 
C_  ( N `  ( T  u.  U
) ) )
167, 8lspssv 17947 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( T  u.  U )  C_  V )  ->  ( N `  ( T  u.  U ) )  C_  V )
171, 4, 16syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  ( N `  ( T  u.  U ) )  C_  V )
1815, 17sstrd 3451 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  (
( N `  T
)  u.  ( N `
 U ) ) 
C_  V )
197, 8lspssid 17949 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V )  ->  T  C_  ( N `  T
) )
201, 2, 19syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  T  C_  ( N `  T
) )
217, 8lspssid 17949 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  C_  V )  ->  U  C_  ( N `  U
) )
221, 3, 21syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  U  C_  ( N `  U
) )
23 unss12 3614 . . . 4  |-  ( ( T  C_  ( N `  T )  /\  U  C_  ( N `  U
) )  ->  ( T  u.  U )  C_  ( ( N `  T )  u.  ( N `  U )
) )
2420, 22, 23syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  ( T  u.  U )  C_  ( ( N `  T )  u.  ( N `  U )
) )
257, 8lspss 17948 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( N `  T
)  u.  ( N `
 U ) ) 
C_  V  /\  ( T  u.  U )  C_  ( ( N `  T )  u.  ( N `  U )
) )  ->  ( N `  ( T  u.  U ) )  C_  ( N `  ( ( N `  T )  u.  ( N `  U ) ) ) )
261, 18, 24, 25syl3anc 1230 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  ( N `  ( T  u.  U ) )  C_  ( N `  ( ( N `  T )  u.  ( N `  U ) ) ) )
277, 8lspss 17948 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  ( T  u.  U ) )  C_  V  /\  ( ( N `
 T )  u.  ( N `  U
) )  C_  ( N `  ( T  u.  U ) ) )  ->  ( N `  ( ( N `  T )  u.  ( N `  U )
) )  C_  ( N `  ( N `  ( T  u.  U
) ) ) )
281, 17, 15, 27syl3anc 1230 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  ( N `  ( ( N `  T )  u.  ( N `  U
) ) )  C_  ( N `  ( N `
 ( T  u.  U ) ) ) )
297, 8lspidm 17950 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( T  u.  U )  C_  V )  ->  ( N `  ( N `  ( T  u.  U
) ) )  =  ( N `  ( T  u.  U )
) )
301, 4, 29syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  ( N `  ( N `  ( T  u.  U
) ) )  =  ( N `  ( T  u.  U )
) )
3128, 30sseqtrd 3477 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  ( N `  ( ( N `  T )  u.  ( N `  U
) ) )  C_  ( N `  ( T  u.  U ) ) )
3226, 31eqssd 3458 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  ( N `  ( T  u.  U ) )  =  ( N `  (
( N `  T
)  u.  ( N `
 U ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    u. cun 3411    C_ wss 3413   ` cfv 5568   Basecbs 14839   LModclmod 17830   LSpanclspn 17935
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-plusg 14920  df-0g 15054  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-grp 16379  df-minusg 16380  df-sbg 16381  df-mgp 17460  df-ur 17472  df-ring 17518  df-lmod 17832  df-lss 17897  df-lsp 17936
This theorem is referenced by:  lspun0  17975  lsmsp2  18051  lsmpr  18053  lsppr  18057  islshpsm  31978  lshpnel2N  31983  lkrlsp3  32102  dochsatshp  34451
  Copyright terms: Public domain W3C validator