MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspssp Structured version   Unicode version

Theorem lspssp 17434
Description: If a set of vectors is a subset of a subspace, then the span of those vectors is also contained in the subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspssp.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lspssp.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
Assertion
Ref Expression
lspssp  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  T  C_  U )  ->  ( N `  T )  C_  U )

Proof of Theorem lspssp
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . 4  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
2 lspssp.s . . . 4  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
31, 2lssss 17383 . . 3  |-  ( U  e.  S  ->  U  C_  ( Base `  W
) )
4 lspssp.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  W )
51, 4lspss 17430 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  C_  ( Base `  W
)  /\  T  C_  U
)  ->  ( N `  T )  C_  ( N `  U )
)
63, 5syl3an2 1262 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  T  C_  U )  ->  ( N `  T )  C_  ( N `  U
) )
72, 4lspid 17428 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  ( N `  U )  =  U )
873adant3 1016 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  T  C_  U )  ->  ( N `  U )  =  U )
96, 8sseqtrd 3540 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  T  C_  U )  ->  ( N `  T )  C_  U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    C_ wss 3476   ` cfv 5588   Basecbs 14490   LModclmod 17312   LSubSpclss 17378   LSpanclspn 17417
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-0g 14697  df-mnd 15732  df-grp 15867  df-lmod 17314  df-lss 17379  df-lsp 17418
This theorem is referenced by:  lspsnss  17436  lspprss  17438  lsp0  17455  lsslsp  17461  lmhmlsp  17495  lspextmo  17502  lsmsp  17532  lsppratlem3  17595  lsppratlem4  17596  islbs3  17601  rspssp  17673  ocvlsp  18502  frlmsslsp  18624  frlmsslspOLD  18625  lspsslco  32137
  Copyright terms: Public domain W3C validator