MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspssp Structured version   Unicode version

Theorem lspssp 18146
Description: If a set of vectors is a subset of a subspace, then the span of those vectors is also contained in the subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspssp.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lspssp.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
Assertion
Ref Expression
lspssp  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  T  C_  U )  ->  ( N `  T )  C_  U )

Proof of Theorem lspssp
StepHypRef Expression
1 eqid 2429 . . . 4  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
2 lspssp.s . . . 4  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
31, 2lssss 18095 . . 3  |-  ( U  e.  S  ->  U  C_  ( Base `  W
) )
4 lspssp.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  W )
51, 4lspss 18142 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  C_  ( Base `  W
)  /\  T  C_  U
)  ->  ( N `  T )  C_  ( N `  U )
)
63, 5syl3an2 1298 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  T  C_  U )  ->  ( N `  T )  C_  ( N `  U
) )
72, 4lspid 18140 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  ( N `  U )  =  U )
873adant3 1025 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  T  C_  U )  ->  ( N `  U )  =  U )
96, 8sseqtrd 3506 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  T  C_  U )  ->  ( N `  T )  C_  U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870    C_ wss 3442   ` cfv 5601   Basecbs 15084   LModclmod 18026   LSubSpclss 18090   LSpanclspn 18129
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-0g 15299  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-grp 16624  df-lmod 18028  df-lss 18091  df-lsp 18130
This theorem is referenced by:  lspsnss  18148  lspprss  18150  lsp0  18167  lsslsp  18173  lmhmlsp  18207  lspextmo  18214  lsmsp  18244  lsppratlem3  18307  lsppratlem4  18308  islbs3  18313  rspssp  18385  ocvlsp  19170  frlmsslsp  19285  lspsslco  39002
  Copyright terms: Public domain W3C validator