MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspssid Structured version   Unicode version

Theorem lspssid 17953
Description: A set of vectors is a subset of its span. (spanss2 26690 analog.) (Contributed by NM, 6-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspss.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspss.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
Assertion
Ref Expression
lspssid  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  C_  V )  ->  U  C_  ( N `  U
) )

Proof of Theorem lspssid
Dummy variable  t is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssintub 4247 . 2  |-  U  C_  |^|
{ t  e.  (
LSubSp `  W )  |  U  C_  t }
2 lspss.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 eqid 2404 . . 3  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
4 lspss.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  W )
52, 3, 4lspval 17943 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  C_  V )  ->  ( N `  U )  =  |^| { t  e.  ( LSubSp `  W )  |  U  C_  t } )
61, 5syl5sseqr 3493 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  C_  V )  ->  U  C_  ( N `  U
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1407    e. wcel 1844   {crab 2760    C_ wss 3416   |^|cint 4229   ` cfv 5571   Basecbs 14843   LModclmod 17834   LSubSpclss 17900   LSpanclspn 17939
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-id 4740  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-0g 15058  df-mgm 16198  df-sgrp 16237  df-mnd 16247  df-grp 16383  df-lmod 17836  df-lss 17901  df-lsp 17940
This theorem is referenced by:  lspun  17955  lspsnid  17961  lsslsp  17983  lmhmlsp  18017  lsmsp  18054  lsmssspx  18056  lspvadd  18064  lspsolvlem  18110  lspsolv  18111  lsppratlem3  18117  lsppratlem4  18118  islbs3  18123  lbsextlem2  18127  lbsextlem4  18129  rspssid  18193  ocvlsp  19007  obselocv  19059  frlmsslsp  19125  lindff1  19149  islinds3  19163  dochocsp  34412  djhunssN  34442  islssfg2  35392
  Copyright terms: Public domain W3C validator