MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspssid Structured version   Unicode version

Theorem lspssid 17066
Description: A set of vectors is a subset of its span. (spanss2 24748 analog.) (Contributed by NM, 6-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspss.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspss.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
Assertion
Ref Expression
lspssid  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  C_  V )  ->  U  C_  ( N `  U
) )

Proof of Theorem lspssid
Dummy variable  t is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssintub 4146 . 2  |-  U  C_  |^|
{ t  e.  (
LSubSp `  W )  |  U  C_  t }
2 lspss.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 eqid 2443 . . 3  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
4 lspss.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  W )
52, 3, 4lspval 17056 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  C_  V )  ->  ( N `  U )  =  |^| { t  e.  ( LSubSp `  W )  |  U  C_  t } )
61, 5syl5sseqr 3405 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  C_  V )  ->  U  C_  ( N `  U
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2719    C_ wss 3328   |^|cint 4128   ` cfv 5418   Basecbs 14174   LModclmod 16948   LSubSpclss 17013   LSpanclspn 17052
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-0g 14380  df-mnd 15415  df-grp 15545  df-lmod 16950  df-lss 17014  df-lsp 17053
This theorem is referenced by:  lspun  17068  lspsnid  17074  lsslsp  17096  lmhmlsp  17130  lsmsp  17167  lsmssspx  17169  lspvadd  17177  lspsolvlem  17223  lspsolv  17224  lsppratlem3  17230  lsppratlem4  17231  islbs3  17236  lbsextlem2  17240  lbsextlem4  17242  rspssid  17305  ocvlsp  18101  obselocv  18153  frlmsslsp  18223  frlmsslspOLD  18224  lindff1  18249  islinds3  18263  islssfg2  29424  dochocsp  35024  djhunssN  35054
  Copyright terms: Public domain W3C validator