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Theorem lspsolvlem 16169
Description: Lemma for lspsolv 16170. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsolv.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspsolv.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lspsolv.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspsolv.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lspsolv.b  |-  B  =  ( Base `  F
)
lspsolv.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
lspsolv.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lspsolv.q  |-  Q  =  { z  e.  V  |  E. r  e.  B  ( z  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A ) }
lspsolv.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lspsolv.ss  |-  ( ph  ->  A  C_  V )
lspsolv.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
lspsolv.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 ( A  u.  { Y } ) ) )
Assertion
Ref Expression
lspsolvlem  |-  ( ph  ->  E. r  e.  B  ( X  .+  ( r 
.x.  Y ) )  e.  ( N `  A ) )
Distinct variable groups:    z, r, A    B, r, z    N, r, z    ph, z    F, r    S, r    V, r, z    W, r, z    .+ , r,
z    .x. , r, z    X, r, z    Y, r, z
Allowed substitution hints:    ph( r)    Q( z, r)    S( z)    F( z)

Proof of Theorem lspsolvlem
Dummy variables  s 
t  x  y  a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lspsolv.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
2 lspsolv.q . . . . . . 7  |-  Q  =  { z  e.  V  |  E. r  e.  B  ( z  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A ) }
3 ssrab2 3388 . . . . . . 7  |-  { z  e.  V  |  E. r  e.  B  (
z  .+  ( r  .x.  Y ) )  e.  ( N `  A
) }  C_  V
42, 3eqsstri 3338 . . . . . 6  |-  Q  C_  V
54a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Q  C_  V )
6 lspsolv.ss . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  V )
71adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  W  e.  LMod )
8 lspsolv.f . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  (Scalar `  W )
9 lspsolv.b . . . . . . . . . . 11  |-  B  =  ( Base `  F
)
10 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0g
`  F )  =  ( 0g `  F
)
118, 9, 10lmod0cl 15931 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( 0g
`  F )  e.  B )
127, 11syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  ( 0g `  F )  e.  B )
13 lspsolv.y . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
14 lspsolv.v . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  V  =  ( Base `  W
)
15 lspsolv.t . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  .x.  =  ( .s `  W )
16 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
1714, 8, 15, 10, 16lmod0vs 15938 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  (
( 0g `  F
)  .x.  Y )  =  ( 0g `  W ) )
181, 13, 17syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 0g `  F )  .x.  Y
)  =  ( 0g
`  W ) )
1918adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  (
( 0g `  F
)  .x.  Y )  =  ( 0g `  W ) )
2019oveq2d 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  (
z  .+  ( ( 0g `  F )  .x.  Y ) )  =  ( z  .+  ( 0g `  W ) ) )
216sselda 3308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  V )
22 lspsolv.p . . . . . . . . . . . . 13  |-  .+  =  ( +g  `  W )
2314, 22, 16lmod0vrid 15936 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  z  e.  V )  ->  (
z  .+  ( 0g `  W ) )  =  z )
247, 21, 23syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  (
z  .+  ( 0g `  W ) )  =  z )
2520, 24eqtrd 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  (
z  .+  ( ( 0g `  F )  .x.  Y ) )  =  z )
26 lspsolv.n . . . . . . . . . . . . 13  |-  N  =  ( LSpan `  W )
2714, 26lspssid 16016 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  A  C_  V )  ->  A  C_  ( N `  A
) )
281, 6, 27syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  C_  ( N `  A ) )
2928sselda 3308 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  ( N `  A
) )
3025, 29eqeltrd 2478 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  (
z  .+  ( ( 0g `  F )  .x.  Y ) )  e.  ( N `  A
) )
31 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  ( 0g `  F )  ->  (
r  .x.  Y )  =  ( ( 0g
`  F )  .x.  Y ) )
3231oveq2d 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  ( 0g `  F )  ->  (
z  .+  ( r  .x.  Y ) )  =  ( z  .+  (
( 0g `  F
)  .x.  Y )
) )
3332eleq1d 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  ( 0g `  F )  ->  (
( z  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  <->  ( z  .+  ( ( 0g `  F )  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
3433rspcev 3012 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 0g `  F
)  e.  B  /\  ( z  .+  (
( 0g `  F
)  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A ) )  ->  E. r  e.  B  ( z  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A ) )
3512, 30, 34syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  E. r  e.  B  ( z  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) )
366, 35ssrabdv 3382 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  { z  e.  V  |  E. r  e.  B  (
z  .+  ( r  .x.  Y ) )  e.  ( N `  A
) } )
3736, 2syl6sseqr 3355 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  Q )
388lmodfgrp 15914 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e.  LMod  ->  F  e. 
Grp )
391, 38syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  Grp )
40 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1r
`  F )  =  ( 1r `  F
)
418, 9, 40lmod1cl 15932 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( 1r
`  F )  e.  B )
421, 41syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1r `  F
)  e.  B )
43 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( inv g `  F )  =  ( inv g `  F )
449, 43grpinvcl 14805 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  Grp  /\  ( 1r `  F )  e.  B )  -> 
( ( inv g `  F ) `  ( 1r `  F ) )  e.  B )
4539, 42, 44syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  F ) `  ( 1r `  F ) )  e.  B )
46 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( inv g `  W )  =  ( inv g `  W )
4714, 46, 8, 15, 40, 43lmodvneg1 15942 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  (
( ( inv g `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  Y )  =  ( ( inv g `  W ) `  Y
) )
481, 13, 47syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( inv g `  F ) `
 ( 1r `  F ) )  .x.  Y )  =  ( ( inv g `  W ) `  Y
) )
4948oveq2d 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  (
( ( inv g `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  Y ) )  =  ( Y  .+  ( ( inv g `  W ) `  Y
) ) )
50 lmodgrp 15912 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
511, 50syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  W  e.  Grp )
5214, 22, 16, 46grprinv 14807 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  Y  e.  V )  ->  ( Y  .+  (
( inv g `  W ) `  Y
) )  =  ( 0g `  W ) )
5351, 13, 52syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  (
( inv g `  W ) `  Y
) )  =  ( 0g `  W ) )
5449, 53eqtrd 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  (
( ( inv g `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  Y ) )  =  ( 0g `  W ) )
55 lspsolv.s . . . . . . . . . . . . 13  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
5614, 55, 26lspcl 16007 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  A  C_  V )  ->  ( N `  A )  e.  S )
571, 6, 56syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N `  A
)  e.  S )
5816, 55lss0cl 15978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  A )  e.  S )  ->  ( 0g `  W )  e.  ( N `  A
) )
591, 57, 58syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0g `  W
)  e.  ( N `
 A ) )
6054, 59eqeltrd 2478 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  (
( ( inv g `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  Y ) )  e.  ( N `  A ) )
61 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  ( ( inv g `  F ) `
 ( 1r `  F ) )  -> 
( r  .x.  Y
)  =  ( ( ( inv g `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  Y ) )
6261oveq2d 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  ( ( inv g `  F ) `
 ( 1r `  F ) )  -> 
( Y  .+  (
r  .x.  Y )
)  =  ( Y 
.+  ( ( ( inv g `  F
) `  ( 1r `  F ) )  .x.  Y ) ) )
6362eleq1d 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  ( ( inv g `  F ) `
 ( 1r `  F ) )  -> 
( ( Y  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  <-> 
( Y  .+  (
( ( inv g `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  Y ) )  e.  ( N `  A ) ) )
6463rspcev 3012 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( inv g `  F ) `  ( 1r `  F ) )  e.  B  /\  ( Y  .+  ( ( ( inv g `  F
) `  ( 1r `  F ) )  .x.  Y ) )  e.  ( N `  A
) )  ->  E. r  e.  B  ( Y  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) )
6545, 60, 64syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E. r  e.  B  ( Y  .+  ( r 
.x.  Y ) )  e.  ( N `  A ) )
66 oveq1 6047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  Y  ->  (
z  .+  ( r  .x.  Y ) )  =  ( Y  .+  (
r  .x.  Y )
) )
6766eleq1d 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  Y  ->  (
( z  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  <->  ( Y  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
6867rexbidv 2687 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  Y  ->  ( E. r  e.  B  ( z  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  <->  E. r  e.  B  ( Y  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
6968, 2elrab2 3054 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  Q  <->  ( Y  e.  V  /\  E. r  e.  B  ( Y  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
7013, 65, 69sylanbrc 646 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  Q )
7170snssd 3903 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { Y }  C_  Q )
7237, 71unssd 3483 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  u.  { Y } )  C_  Q
)
7314, 26lspss 16015 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Q  C_  V  /\  ( A  u.  { Y }
)  C_  Q )  ->  ( N `  ( A  u.  { Y } ) )  C_  ( N `  Q ) )
741, 5, 72, 73syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  ( A  u.  { Y } ) )  C_  ( N `  Q ) )
758a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  =  (Scalar `  W ) )
769a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  F ) )
7714a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  W ) )
7822a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  .+  =  ( +g  `  W ) )
7915a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  .x.  =  ( .s
`  W ) )
8055a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  =  ( LSubSp `  W ) )
81 ne0i 3594 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  Q  ->  Q  =/=  (/) )
8270, 81syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Q  =/=  (/) )
83 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  x  ->  (
z  .+  ( r  .x.  Y ) )  =  ( x  .+  (
r  .x.  Y )
) )
8483eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  x  ->  (
( z  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  <->  ( x  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
8584rexbidv 2687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  x  ->  ( E. r  e.  B  ( z  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  <->  E. r  e.  B  ( x  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
86 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( r  =  s  ->  (
r  .x.  Y )  =  ( s  .x.  Y ) )
8786oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  =  s  ->  (
x  .+  ( r  .x.  Y ) )  =  ( x  .+  (
s  .x.  Y )
) )
8887eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  s  ->  (
( x  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  <->  ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
8988cbvrexv 2893 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. r  e.  B  ( x  .+  ( r 
.x.  Y ) )  e.  ( N `  A )  <->  E. s  e.  B  ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) )
9085, 89syl6bb 253 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  x  ->  ( E. r  e.  B  ( z  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  <->  E. s  e.  B  ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
9190, 2elrab2 3054 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  Q  <->  ( x  e.  V  /\  E. s  e.  B  ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
92 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  y  ->  (
z  .+  ( r  .x.  Y ) )  =  ( y  .+  (
r  .x.  Y )
) )
9392eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  y  ->  (
( z  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  <->  ( y  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
9493rexbidv 2687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  y  ->  ( E. r  e.  B  ( z  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  <->  E. r  e.  B  ( y  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
95 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( r  =  t  ->  (
r  .x.  Y )  =  ( t  .x.  Y ) )
9695oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  =  t  ->  (
y  .+  ( r  .x.  Y ) )  =  ( y  .+  (
t  .x.  Y )
) )
9796eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  t  ->  (
( y  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  <->  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
9897cbvrexv 2893 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. r  e.  B  ( y  .+  ( r 
.x.  Y ) )  e.  ( N `  A )  <->  E. t  e.  B  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) )
9994, 98syl6bb 253 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  y  ->  ( E. r  e.  B  ( z  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  <->  E. t  e.  B  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
10099, 2elrab2 3054 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  Q  <->  ( y  e.  V  /\  E. t  e.  B  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
10191, 100anbi12i 679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  Q  /\  y  e.  Q )  <->  ( ( x  e.  V  /\  E. s  e.  B  ( x  .+  ( s 
.x.  Y ) )  e.  ( N `  A ) )  /\  ( y  e.  V  /\  E. t  e.  B  ( y  .+  (
t  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A ) ) ) )
102 an4 798 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  V  /\  E. s  e.  B  ( x  .+  ( s 
.x.  Y ) )  e.  ( N `  A ) )  /\  ( y  e.  V  /\  E. t  e.  B  ( y  .+  (
t  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A ) ) )  <->  ( ( x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( E. s  e.  B  ( x  .+  ( s 
.x.  Y ) )  e.  ( N `  A )  /\  E. t  e.  B  (
y  .+  ( t  .x.  Y ) )  e.  ( N `  A
) ) ) )
103101, 102bitri 241 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  Q  /\  y  e.  Q )  <->  ( ( x  e.  V  /\  y  e.  V
)  /\  ( E. s  e.  B  (
x  .+  ( s  .x.  Y ) )  e.  ( N `  A
)  /\  E. t  e.  B  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) ) )
104 reeanv 2835 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. s  e.  B  E. t  e.  B  (
( x  .+  (
s  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  /\  ( y  .+  (
t  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A ) )  <-> 
( E. s  e.  B  ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  E. t  e.  B  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
105 simp1ll 1020 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  ph )
106105, 1syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  W  e.  LMod )
107 simp1lr 1021 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  a  e.  B )
108 simp1rl 1022 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  x  e.  V )
10914, 8, 15, 9lmodvscl 15922 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  a  e.  B  /\  x  e.  V )  ->  (
a  .x.  x )  e.  V )
110106, 107, 108, 109syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
a  .x.  x )  e.  V )
111 simp1rr 1023 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  y  e.  V )
11214, 22lmodvacl 15919 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
a  .x.  x )  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  (
( a  .x.  x
)  .+  y )  e.  V )
113106, 110, 111, 112syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
( a  .x.  x
)  .+  y )  e.  V )
114 simp2l 983 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  s  e.  B )
115 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( .r
`  F )  =  ( .r `  F
)
1168, 9, 115lmodmcl 15917 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  a  e.  B  /\  s  e.  B )  ->  (
a ( .r `  F ) s )  e.  B )
117106, 107, 114, 116syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
a ( .r `  F ) s )  e.  B )
118 simp2r 984 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  t  e.  B )
119 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( +g  `  F )  =  ( +g  `  F )
1208, 9, 119lmodacl 15916 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
a ( .r `  F ) s )  e.  B  /\  t  e.  B )  ->  (
( a ( .r
`  F ) s ) ( +g  `  F
) t )  e.  B )
121106, 117, 118, 120syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
( a ( .r
`  F ) s ) ( +g  `  F
) t )  e.  B )
122105, 13syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  Y  e.  V )
12314, 8, 15, 9lmodvscl 15922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  s  e.  B  /\  Y  e.  V )  ->  (
s  .x.  Y )  e.  V )
124106, 114, 122, 123syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
s  .x.  Y )  e.  V )
12514, 8, 15, 9lmodvscl 15922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  a  e.  B  /\  (
s  .x.  Y )  e.  V )  ->  (
a  .x.  ( s  .x.  Y ) )  e.  V )
126106, 107, 124, 125syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
a  .x.  ( s  .x.  Y ) )  e.  V )
12714, 8, 15, 9lmodvscl 15922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  t  e.  B  /\  Y  e.  V )  ->  (
t  .x.  Y )  e.  V )
128106, 118, 122, 127syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
t  .x.  Y )  e.  V )
12914, 22lmod4 15949 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( a  .x.  x
)  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( a  .x.  ( s  .x.  Y
) )  e.  V  /\  ( t  .x.  Y
)  e.  V ) )  ->  ( (
( a  .x.  x
)  .+  y )  .+  ( ( a  .x.  ( s  .x.  Y
) )  .+  (
t  .x.  Y )
) )  =  ( ( ( a  .x.  x )  .+  (
a  .x.  ( s  .x.  Y ) ) ) 
.+  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) ) ) )
130106, 110, 111, 126, 128, 129syl122anc 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
( ( a  .x.  x )  .+  y
)  .+  ( (
a  .x.  ( s  .x.  Y ) )  .+  ( t  .x.  Y
) ) )  =  ( ( ( a 
.x.  x )  .+  ( a  .x.  (
s  .x.  Y )
) )  .+  (
y  .+  ( t  .x.  Y ) ) ) )
13114, 22, 8, 15, 9, 119lmodvsdir 15929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( a ( .r
`  F ) s )  e.  B  /\  t  e.  B  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( (
( a ( .r
`  F ) s ) ( +g  `  F
) t )  .x.  Y )  =  ( ( ( a ( .r `  F ) s )  .x.  Y
)  .+  ( t  .x.  Y ) ) )
132106, 117, 118, 122, 131syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
( ( a ( .r `  F ) s ) ( +g  `  F ) t ) 
.x.  Y )  =  ( ( ( a ( .r `  F
) s )  .x.  Y )  .+  (
t  .x.  Y )
) )
13314, 8, 15, 9, 115lmodvsass 15930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
a  e.  B  /\  s  e.  B  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( (
a ( .r `  F ) s ) 
.x.  Y )  =  ( a  .x.  (
s  .x.  Y )
) )
134106, 107, 114, 122, 133syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
( a ( .r
`  F ) s )  .x.  Y )  =  ( a  .x.  ( s  .x.  Y
) ) )
135134oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
( ( a ( .r `  F ) s )  .x.  Y
)  .+  ( t  .x.  Y ) )  =  ( ( a  .x.  ( s  .x.  Y
) )  .+  (
t  .x.  Y )
) )
136132, 135eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
( ( a ( .r `  F ) s ) ( +g  `  F ) t ) 
.x.  Y )  =  ( ( a  .x.  ( s  .x.  Y
) )  .+  (
t  .x.  Y )
) )
137136oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
( ( a  .x.  x )  .+  y
)  .+  ( (
( a ( .r
`  F ) s ) ( +g  `  F
) t )  .x.  Y ) )  =  ( ( ( a 
.x.  x )  .+  y )  .+  (
( a  .x.  (
s  .x.  Y )
)  .+  ( t  .x.  Y ) ) ) )
13814, 22, 8, 15, 9lmodvsdi 15928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
a  e.  B  /\  x  e.  V  /\  ( s  .x.  Y
)  e.  V ) )  ->  ( a  .x.  ( x  .+  (
s  .x.  Y )
) )  =  ( ( a  .x.  x
)  .+  ( a  .x.  ( s  .x.  Y
) ) ) )
139106, 107, 108, 124, 138syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
a  .x.  ( x  .+  ( s  .x.  Y
) ) )  =  ( ( a  .x.  x )  .+  (
a  .x.  ( s  .x.  Y ) ) ) )
140139oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
( a  .x.  (
x  .+  ( s  .x.  Y ) ) ) 
.+  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) ) )  =  ( ( ( a 
.x.  x )  .+  ( a  .x.  (
s  .x.  Y )
) )  .+  (
y  .+  ( t  .x.  Y ) ) ) )
141130, 137, 1403eqtr4d 2446 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
( ( a  .x.  x )  .+  y
)  .+  ( (
( a ( .r
`  F ) s ) ( +g  `  F
) t )  .x.  Y ) )  =  ( ( a  .x.  ( x  .+  ( s 
.x.  Y ) ) )  .+  ( y 
.+  ( t  .x.  Y ) ) ) )
142105, 57syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  ( N `  A )  e.  S )
143 simp3l 985 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
x  .+  ( s  .x.  Y ) )  e.  ( N `  A
) )
144 simp3r 986 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
y  .+  ( t  .x.  Y ) )  e.  ( N `  A
) )
1458, 9, 22, 15, 55lsscl 15974 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N `  A
)  e.  S  /\  ( a  e.  B  /\  ( x  .+  (
s  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  /\  ( y  .+  (
t  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A ) ) )  ->  ( (
a  .x.  ( x  .+  ( s  .x.  Y
) ) )  .+  ( y  .+  (
t  .x.  Y )
) )  e.  ( N `  A ) )
146142, 107, 143, 144, 145syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
( a  .x.  (
x  .+  ( s  .x.  Y ) ) ) 
.+  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) ) )  e.  ( N `  A
) )
147141, 146eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
( ( a  .x.  x )  .+  y
)  .+  ( (
( a ( .r
`  F ) s ) ( +g  `  F
) t )  .x.  Y ) )  e.  ( N `  A
) )
148 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( r  =  ( ( a ( .r `  F
) s ) ( +g  `  F ) t )  ->  (
r  .x.  Y )  =  ( ( ( a ( .r `  F ) s ) ( +g  `  F
) t )  .x.  Y ) )
149148oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( r  =  ( ( a ( .r `  F
) s ) ( +g  `  F ) t )  ->  (
( ( a  .x.  x )  .+  y
)  .+  ( r  .x.  Y ) )  =  ( ( ( a 
.x.  x )  .+  y )  .+  (
( ( a ( .r `  F ) s ) ( +g  `  F ) t ) 
.x.  Y ) ) )
150149eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( r  =  ( ( a ( .r `  F
) s ) ( +g  `  F ) t )  ->  (
( ( ( a 
.x.  x )  .+  y )  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  <->  ( (
( a  .x.  x
)  .+  y )  .+  ( ( ( a ( .r `  F
) s ) ( +g  `  F ) t )  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
151150rspcev 3012 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( a ( .r `  F ) s ) ( +g  `  F ) t )  e.  B  /\  (
( ( a  .x.  x )  .+  y
)  .+  ( (
( a ( .r
`  F ) s ) ( +g  `  F
) t )  .x.  Y ) )  e.  ( N `  A
) )  ->  E. r  e.  B  ( (
( a  .x.  x
)  .+  y )  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) )
152121, 147, 151syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  E. r  e.  B  ( (
( a  .x.  x
)  .+  y )  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) )
153 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( ( a 
.x.  x )  .+  y )  ->  (
z  .+  ( r  .x.  Y ) )  =  ( ( ( a 
.x.  x )  .+  y )  .+  (
r  .x.  Y )
) )
154153eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( ( a 
.x.  x )  .+  y )  ->  (
( z  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  <->  ( (
( a  .x.  x
)  .+  y )  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
155154rexbidv 2687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( ( a 
.x.  x )  .+  y )  ->  ( E. r  e.  B  ( z  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  <->  E. r  e.  B  ( (
( a  .x.  x
)  .+  y )  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
156155, 2elrab2 3054 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( a  .x.  x
)  .+  y )  e.  Q  <->  ( ( ( a  .x.  x ) 
.+  y )  e.  V  /\  E. r  e.  B  ( (
( a  .x.  x
)  .+  y )  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
157113, 152, 156sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
( a  .x.  x
)  .+  y )  e.  Q )
1581573exp 1152 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V )
)  ->  ( (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  ->  ( ( ( x 
.+  ( s  .x.  Y ) )  e.  ( N `  A
)  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) )  ->  ( (
a  .x.  x )  .+  y )  e.  Q
) ) )
159158rexlimdvv 2796 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V )
)  ->  ( E. s  e.  B  E. t  e.  B  (
( x  .+  (
s  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  /\  ( y  .+  (
t  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A ) )  ->  ( ( a 
.x.  x )  .+  y )  e.  Q
) )
160104, 159syl5bir 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V )
)  ->  ( ( E. s  e.  B  ( x  .+  ( s 
.x.  Y ) )  e.  ( N `  A )  /\  E. t  e.  B  (
y  .+  ( t  .x.  Y ) )  e.  ( N `  A
) )  ->  (
( a  .x.  x
)  .+  y )  e.  Q ) )
161160expimpd 587 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( ( x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( E. s  e.  B  ( x  .+  ( s 
.x.  Y ) )  e.  ( N `  A )  /\  E. t  e.  B  (
y  .+  ( t  .x.  Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( ( a  .x.  x )  .+  y
)  e.  Q ) )
162103, 161syl5bi 209 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( x  e.  Q  /\  y  e.  Q
)  ->  ( (
a  .x.  x )  .+  y )  e.  Q
) )
163162exp4b 591 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( a  e.  B  ->  ( x  e.  Q  ->  ( y  e.  Q  ->  ( ( a  .x.  x )  .+  y
)  e.  Q ) ) ) )
1641633imp2 1168 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  x  e.  Q  /\  y  e.  Q ) )  -> 
( ( a  .x.  x )  .+  y
)  e.  Q )
16575, 76, 77, 78, 79, 80, 5, 82, 164islssd 15967 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Q  e.  S )
16655, 26lspid 16013 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Q  e.  S )  ->  ( N `  Q )  =  Q )
1671, 165, 166syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  Q
)  =  Q )
16874, 167sseqtrd 3344 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  ( A  u.  { Y } ) )  C_  Q )
169 lspsolv.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 ( A  u.  { Y } ) ) )
170168, 169sseldd 3309 . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  Q )
171 oveq1 6047 . . . . . 6  |-  ( z  =  X  ->  (
z  .+  ( r  .x.  Y ) )  =  ( X  .+  (
r  .x.  Y )
) )
172171eleq1d 2470 . . . . 5  |-  ( z  =  X  ->  (
( z  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  <->  ( X  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
173172rexbidv 2687 . . . 4  |-  ( z  =  X  ->  ( E. r  e.  B  ( z  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  <->  E. r  e.  B  ( X  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
174173, 2elrab2 3054 . . 3  |-  ( X  e.  Q  <->  ( X  e.  V  /\  E. r  e.  B  ( X  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
175174simprbi 451 . 2  |-  ( X  e.  Q  ->  E. r  e.  B  ( X  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) )
176170, 175syl 16 1  |-  ( ph  ->  E. r  e.  B  ( X  .+  ( r 
.x.  Y ) )  e.  ( N `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   E.wrex 2667   {crab 2670    u. cun 3278    C_ wss 3280   (/)c0 3588   {csn 3774   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424   +g cplusg 13484   .rcmulr 13485  Scalarcsca 13487   .scvsca 13488   0gc0g 13678   Grpcgrp 14640   inv gcminusg 14641   1rcur 15617   LModclmod 15905   LSubSpclss 15963   LSpanclspn 16002
This theorem is referenced by:  lspsolv  16170
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-plusg 13497  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-ur 15620  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-lsp 16003
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