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Theorem lspsolvlem 17341
Description: Lemma for lspsolv 17342. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsolv.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspsolv.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lspsolv.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspsolv.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lspsolv.b  |-  B  =  ( Base `  F
)
lspsolv.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
lspsolv.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lspsolv.q  |-  Q  =  { z  e.  V  |  E. r  e.  B  ( z  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A ) }
lspsolv.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lspsolv.ss  |-  ( ph  ->  A  C_  V )
lspsolv.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
lspsolv.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 ( A  u.  { Y } ) ) )
Assertion
Ref Expression
lspsolvlem  |-  ( ph  ->  E. r  e.  B  ( X  .+  ( r 
.x.  Y ) )  e.  ( N `  A ) )
Distinct variable groups:    z, r, A    B, r, z    N, r, z    ph, z    F, r    S, r    V, r, z    W, r, z    .+ , r,
z    .x. , r, z    X, r, z    Y, r, z
Allowed substitution hints:    ph( r)    Q( z, r)    S( z)    F( z)

Proof of Theorem lspsolvlem
Dummy variables  s 
t  x  y  a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lspsolv.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
2 lspsolv.q . . . . . . 7  |-  Q  =  { z  e.  V  |  E. r  e.  B  ( z  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A ) }
3 ssrab2 3540 . . . . . . 7  |-  { z  e.  V  |  E. r  e.  B  (
z  .+  ( r  .x.  Y ) )  e.  ( N `  A
) }  C_  V
42, 3eqsstri 3489 . . . . . 6  |-  Q  C_  V
54a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Q  C_  V )
6 lspsolv.ss . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  V )
71adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  W  e.  LMod )
8 lspsolv.f . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  (Scalar `  W )
9 lspsolv.b . . . . . . . . . . 11  |-  B  =  ( Base `  F
)
10 eqid 2452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0g
`  F )  =  ( 0g `  F
)
118, 9, 10lmod0cl 17092 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( 0g
`  F )  e.  B )
127, 11syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  ( 0g `  F )  e.  B )
13 lspsolv.y . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
14 lspsolv.v . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  V  =  ( Base `  W
)
15 lspsolv.t . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  .x.  =  ( .s `  W )
16 eqid 2452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
1714, 8, 15, 10, 16lmod0vs 17099 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  (
( 0g `  F
)  .x.  Y )  =  ( 0g `  W ) )
181, 13, 17syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 0g `  F )  .x.  Y
)  =  ( 0g
`  W ) )
1918adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  (
( 0g `  F
)  .x.  Y )  =  ( 0g `  W ) )
2019oveq2d 6211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  (
z  .+  ( ( 0g `  F )  .x.  Y ) )  =  ( z  .+  ( 0g `  W ) ) )
216sselda 3459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  V )
22 lspsolv.p . . . . . . . . . . . . 13  |-  .+  =  ( +g  `  W )
2314, 22, 16lmod0vrid 17097 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  z  e.  V )  ->  (
z  .+  ( 0g `  W ) )  =  z )
247, 21, 23syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  (
z  .+  ( 0g `  W ) )  =  z )
2520, 24eqtrd 2493 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  (
z  .+  ( ( 0g `  F )  .x.  Y ) )  =  z )
26 lspsolv.n . . . . . . . . . . . . 13  |-  N  =  ( LSpan `  W )
2714, 26lspssid 17184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  A  C_  V )  ->  A  C_  ( N `  A
) )
281, 6, 27syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  C_  ( N `  A ) )
2928sselda 3459 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  ( N `  A
) )
3025, 29eqeltrd 2540 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  (
z  .+  ( ( 0g `  F )  .x.  Y ) )  e.  ( N `  A
) )
31 oveq1 6202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  ( 0g `  F )  ->  (
r  .x.  Y )  =  ( ( 0g
`  F )  .x.  Y ) )
3231oveq2d 6211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  ( 0g `  F )  ->  (
z  .+  ( r  .x.  Y ) )  =  ( z  .+  (
( 0g `  F
)  .x.  Y )
) )
3332eleq1d 2521 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  ( 0g `  F )  ->  (
( z  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  <->  ( z  .+  ( ( 0g `  F )  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
3433rspcev 3173 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 0g `  F
)  e.  B  /\  ( z  .+  (
( 0g `  F
)  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A ) )  ->  E. r  e.  B  ( z  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A ) )
3512, 30, 34syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  E. r  e.  B  ( z  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) )
366, 35ssrabdv 3534 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  { z  e.  V  |  E. r  e.  B  (
z  .+  ( r  .x.  Y ) )  e.  ( N `  A
) } )
3736, 2syl6sseqr 3506 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  Q )
388lmodfgrp 17075 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e.  LMod  ->  F  e. 
Grp )
391, 38syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  Grp )
40 eqid 2452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1r
`  F )  =  ( 1r `  F
)
418, 9, 40lmod1cl 17093 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( 1r
`  F )  e.  B )
421, 41syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1r `  F
)  e.  B )
43 eqid 2452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( invg `  F )  =  ( invg `  F )
449, 43grpinvcl 15697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  Grp  /\  ( 1r `  F )  e.  B )  -> 
( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) )  e.  B )
4539, 42, 44syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) )  e.  B )
46 eqid 2452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( invg `  W )  =  ( invg `  W )
4714, 46, 8, 15, 40, 43lmodvneg1 17106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  (
( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  Y )  =  ( ( invg `  W ) `  Y
) )
481, 13, 47syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( invg `  F ) `
 ( 1r `  F ) )  .x.  Y )  =  ( ( invg `  W ) `  Y
) )
4948oveq2d 6211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  (
( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  Y ) )  =  ( Y  .+  ( ( invg `  W ) `  Y
) ) )
50 lmodgrp 17073 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
511, 50syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  W  e.  Grp )
5214, 22, 16, 46grprinv 15699 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  Y  e.  V )  ->  ( Y  .+  (
( invg `  W ) `  Y
) )  =  ( 0g `  W ) )
5351, 13, 52syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  (
( invg `  W ) `  Y
) )  =  ( 0g `  W ) )
5449, 53eqtrd 2493 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  (
( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  Y ) )  =  ( 0g `  W ) )
55 lspsolv.s . . . . . . . . . . . . 13  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
5614, 55, 26lspcl 17175 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  A  C_  V )  ->  ( N `  A )  e.  S )
571, 6, 56syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N `  A
)  e.  S )
5816, 55lss0cl 17146 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  A )  e.  S )  ->  ( 0g `  W )  e.  ( N `  A
) )
591, 57, 58syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0g `  W
)  e.  ( N `
 A ) )
6054, 59eqeltrd 2540 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  (
( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  Y ) )  e.  ( N `  A ) )
61 oveq1 6202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  ( ( invg `  F ) `
 ( 1r `  F ) )  -> 
( r  .x.  Y
)  =  ( ( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  Y ) )
6261oveq2d 6211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  ( ( invg `  F ) `
 ( 1r `  F ) )  -> 
( Y  .+  (
r  .x.  Y )
)  =  ( Y 
.+  ( ( ( invg `  F
) `  ( 1r `  F ) )  .x.  Y ) ) )
6362eleq1d 2521 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  ( ( invg `  F ) `
 ( 1r `  F ) )  -> 
( ( Y  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  <-> 
( Y  .+  (
( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  Y ) )  e.  ( N `  A ) ) )
6463rspcev 3173 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) )  e.  B  /\  ( Y  .+  ( ( ( invg `  F
) `  ( 1r `  F ) )  .x.  Y ) )  e.  ( N `  A
) )  ->  E. r  e.  B  ( Y  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) )
6545, 60, 64syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E. r  e.  B  ( Y  .+  ( r 
.x.  Y ) )  e.  ( N `  A ) )
66 oveq1 6202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  Y  ->  (
z  .+  ( r  .x.  Y ) )  =  ( Y  .+  (
r  .x.  Y )
) )
6766eleq1d 2521 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  Y  ->  (
( z  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  <->  ( Y  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
6867rexbidv 2857 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  Y  ->  ( E. r  e.  B  ( z  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  <->  E. r  e.  B  ( Y  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
6968, 2elrab2 3220 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  Q  <->  ( Y  e.  V  /\  E. r  e.  B  ( Y  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
7013, 65, 69sylanbrc 664 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  Q )
7170snssd 4121 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { Y }  C_  Q )
7237, 71unssd 3635 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  u.  { Y } )  C_  Q
)
7314, 26lspss 17183 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Q  C_  V  /\  ( A  u.  { Y }
)  C_  Q )  ->  ( N `  ( A  u.  { Y } ) )  C_  ( N `  Q ) )
741, 5, 72, 73syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  ( A  u.  { Y } ) )  C_  ( N `  Q ) )
758a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  =  (Scalar `  W ) )
769a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  F ) )
7714a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  W ) )
7822a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  .+  =  ( +g  `  W ) )
7915a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  .x.  =  ( .s
`  W ) )
8055a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  =  ( LSubSp `  W ) )
81 ne0i 3746 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  Q  ->  Q  =/=  (/) )
8270, 81syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Q  =/=  (/) )
83 oveq1 6202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  x  ->  (
z  .+  ( r  .x.  Y ) )  =  ( x  .+  (
r  .x.  Y )
) )
8483eleq1d 2521 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  x  ->  (
( z  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  <->  ( x  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
8584rexbidv 2857 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  x  ->  ( E. r  e.  B  ( z  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  <->  E. r  e.  B  ( x  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
86 oveq1 6202 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( r  =  s  ->  (
r  .x.  Y )  =  ( s  .x.  Y ) )
8786oveq2d 6211 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  =  s  ->  (
x  .+  ( r  .x.  Y ) )  =  ( x  .+  (
s  .x.  Y )
) )
8887eleq1d 2521 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  s  ->  (
( x  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  <->  ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
8988cbvrexv 3048 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. r  e.  B  ( x  .+  ( r 
.x.  Y ) )  e.  ( N `  A )  <->  E. s  e.  B  ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) )
9085, 89syl6bb 261 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  x  ->  ( E. r  e.  B  ( z  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  <->  E. s  e.  B  ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
9190, 2elrab2 3220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  Q  <->  ( x  e.  V  /\  E. s  e.  B  ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
92 oveq1 6202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  y  ->  (
z  .+  ( r  .x.  Y ) )  =  ( y  .+  (
r  .x.  Y )
) )
9392eleq1d 2521 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  y  ->  (
( z  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  <->  ( y  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
9493rexbidv 2857 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  y  ->  ( E. r  e.  B  ( z  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  <->  E. r  e.  B  ( y  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
95 oveq1 6202 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( r  =  t  ->  (
r  .x.  Y )  =  ( t  .x.  Y ) )
9695oveq2d 6211 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  =  t  ->  (
y  .+  ( r  .x.  Y ) )  =  ( y  .+  (
t  .x.  Y )
) )
9796eleq1d 2521 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  t  ->  (
( y  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  <->  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
9897cbvrexv 3048 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. r  e.  B  ( y  .+  ( r 
.x.  Y ) )  e.  ( N `  A )  <->  E. t  e.  B  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) )
9994, 98syl6bb 261 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  y  ->  ( E. r  e.  B  ( z  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  <->  E. t  e.  B  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
10099, 2elrab2 3220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  Q  <->  ( y  e.  V  /\  E. t  e.  B  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
10191, 100anbi12i 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  Q  /\  y  e.  Q )  <->  ( ( x  e.  V  /\  E. s  e.  B  ( x  .+  ( s 
.x.  Y ) )  e.  ( N `  A ) )  /\  ( y  e.  V  /\  E. t  e.  B  ( y  .+  (
t  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A ) ) ) )
102 an4 820 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  V  /\  E. s  e.  B  ( x  .+  ( s 
.x.  Y ) )  e.  ( N `  A ) )  /\  ( y  e.  V  /\  E. t  e.  B  ( y  .+  (
t  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A ) ) )  <->  ( ( x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( E. s  e.  B  ( x  .+  ( s 
.x.  Y ) )  e.  ( N `  A )  /\  E. t  e.  B  (
y  .+  ( t  .x.  Y ) )  e.  ( N `  A
) ) ) )
103101, 102bitri 249 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  Q  /\  y  e.  Q )  <->  ( ( x  e.  V  /\  y  e.  V
)  /\  ( E. s  e.  B  (
x  .+  ( s  .x.  Y ) )  e.  ( N `  A
)  /\  E. t  e.  B  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) ) )
104 reeanv 2988 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. s  e.  B  E. t  e.  B  (
( x  .+  (
s  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  /\  ( y  .+  (
t  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A ) )  <-> 
( E. s  e.  B  ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  E. t  e.  B  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
105 simp1ll 1051 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  ph )
106105, 1syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  W  e.  LMod )
107 simp1lr 1052 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  a  e.  B )
108 simp1rl 1053 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  x  e.  V )
10914, 8, 15, 9lmodvscl 17083 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  a  e.  B  /\  x  e.  V )  ->  (
a  .x.  x )  e.  V )
110106, 107, 108, 109syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
a  .x.  x )  e.  V )
111 simp1rr 1054 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  y  e.  V )
11214, 22lmodvacl 17080 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
a  .x.  x )  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  (
( a  .x.  x
)  .+  y )  e.  V )
113106, 110, 111, 112syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
( a  .x.  x
)  .+  y )  e.  V )
114 simp2l 1014 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  s  e.  B )
115 eqid 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( .r
`  F )  =  ( .r `  F
)
1168, 9, 115lmodmcl 17078 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  a  e.  B  /\  s  e.  B )  ->  (
a ( .r `  F ) s )  e.  B )
117106, 107, 114, 116syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
a ( .r `  F ) s )  e.  B )
118 simp2r 1015 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  t  e.  B )
119 eqid 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( +g  `  F )  =  ( +g  `  F )
1208, 9, 119lmodacl 17077 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
a ( .r `  F ) s )  e.  B  /\  t  e.  B )  ->  (
( a ( .r
`  F ) s ) ( +g  `  F
) t )  e.  B )
121106, 117, 118, 120syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
( a ( .r
`  F ) s ) ( +g  `  F
) t )  e.  B )
122105, 13syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  Y  e.  V )
12314, 8, 15, 9lmodvscl 17083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  s  e.  B  /\  Y  e.  V )  ->  (
s  .x.  Y )  e.  V )
124106, 114, 122, 123syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
s  .x.  Y )  e.  V )
12514, 8, 15, 9lmodvscl 17083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  a  e.  B  /\  (
s  .x.  Y )  e.  V )  ->  (
a  .x.  ( s  .x.  Y ) )  e.  V )
126106, 107, 124, 125syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
a  .x.  ( s  .x.  Y ) )  e.  V )
12714, 8, 15, 9lmodvscl 17083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  t  e.  B  /\  Y  e.  V )  ->  (
t  .x.  Y )  e.  V )
128106, 118, 122, 127syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
t  .x.  Y )  e.  V )
12914, 22lmod4 17113 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( a  .x.  x
)  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( a  .x.  ( s  .x.  Y
) )  e.  V  /\  ( t  .x.  Y
)  e.  V ) )  ->  ( (
( a  .x.  x
)  .+  y )  .+  ( ( a  .x.  ( s  .x.  Y
) )  .+  (
t  .x.  Y )
) )  =  ( ( ( a  .x.  x )  .+  (
a  .x.  ( s  .x.  Y ) ) ) 
.+  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) ) ) )
130106, 110, 111, 126, 128, 129syl122anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
( ( a  .x.  x )  .+  y
)  .+  ( (
a  .x.  ( s  .x.  Y ) )  .+  ( t  .x.  Y
) ) )  =  ( ( ( a 
.x.  x )  .+  ( a  .x.  (
s  .x.  Y )
) )  .+  (
y  .+  ( t  .x.  Y ) ) ) )
13114, 22, 8, 15, 9, 119lmodvsdir 17090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( a ( .r
`  F ) s )  e.  B  /\  t  e.  B  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( (
( a ( .r
`  F ) s ) ( +g  `  F
) t )  .x.  Y )  =  ( ( ( a ( .r `  F ) s )  .x.  Y
)  .+  ( t  .x.  Y ) ) )
132106, 117, 118, 122, 131syl13anc 1221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
( ( a ( .r `  F ) s ) ( +g  `  F ) t ) 
.x.  Y )  =  ( ( ( a ( .r `  F
) s )  .x.  Y )  .+  (
t  .x.  Y )
) )
13314, 8, 15, 9, 115lmodvsass 17091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
a  e.  B  /\  s  e.  B  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( (
a ( .r `  F ) s ) 
.x.  Y )  =  ( a  .x.  (
s  .x.  Y )
) )
134106, 107, 114, 122, 133syl13anc 1221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
( a ( .r
`  F ) s )  .x.  Y )  =  ( a  .x.  ( s  .x.  Y
) ) )
135134oveq1d 6210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
( ( a ( .r `  F ) s )  .x.  Y
)  .+  ( t  .x.  Y ) )  =  ( ( a  .x.  ( s  .x.  Y
) )  .+  (
t  .x.  Y )
) )
136132, 135eqtrd 2493 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
( ( a ( .r `  F ) s ) ( +g  `  F ) t ) 
.x.  Y )  =  ( ( a  .x.  ( s  .x.  Y
) )  .+  (
t  .x.  Y )
) )
137136oveq2d 6211 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
( ( a  .x.  x )  .+  y
)  .+  ( (
( a ( .r
`  F ) s ) ( +g  `  F
) t )  .x.  Y ) )  =  ( ( ( a 
.x.  x )  .+  y )  .+  (
( a  .x.  (
s  .x.  Y )
)  .+  ( t  .x.  Y ) ) ) )
13814, 22, 8, 15, 9lmodvsdi 17089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
a  e.  B  /\  x  e.  V  /\  ( s  .x.  Y
)  e.  V ) )  ->  ( a  .x.  ( x  .+  (
s  .x.  Y )
) )  =  ( ( a  .x.  x
)  .+  ( a  .x.  ( s  .x.  Y
) ) ) )
139106, 107, 108, 124, 138syl13anc 1221 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
a  .x.  ( x  .+  ( s  .x.  Y
) ) )  =  ( ( a  .x.  x )  .+  (
a  .x.  ( s  .x.  Y ) ) ) )
140139oveq1d 6210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
( a  .x.  (
x  .+  ( s  .x.  Y ) ) ) 
.+  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) ) )  =  ( ( ( a 
.x.  x )  .+  ( a  .x.  (
s  .x.  Y )
) )  .+  (
y  .+  ( t  .x.  Y ) ) ) )
141130, 137, 1403eqtr4d 2503 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
( ( a  .x.  x )  .+  y
)  .+  ( (
( a ( .r
`  F ) s ) ( +g  `  F
) t )  .x.  Y ) )  =  ( ( a  .x.  ( x  .+  ( s 
.x.  Y ) ) )  .+  ( y 
.+  ( t  .x.  Y ) ) ) )
142105, 57syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  ( N `  A )  e.  S )
143 simp3l 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
x  .+  ( s  .x.  Y ) )  e.  ( N `  A
) )
144 simp3r 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
y  .+  ( t  .x.  Y ) )  e.  ( N `  A
) )
1458, 9, 22, 15, 55lsscl 17142 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N `  A
)  e.  S  /\  ( a  e.  B  /\  ( x  .+  (
s  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  /\  ( y  .+  (
t  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A ) ) )  ->  ( (
a  .x.  ( x  .+  ( s  .x.  Y
) ) )  .+  ( y  .+  (
t  .x.  Y )
) )  e.  ( N `  A ) )
146142, 107, 143, 144, 145syl13anc 1221 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
( a  .x.  (
x  .+  ( s  .x.  Y ) ) ) 
.+  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) ) )  e.  ( N `  A
) )
147141, 146eqeltrd 2540 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
( ( a  .x.  x )  .+  y
)  .+  ( (
( a ( .r
`  F ) s ) ( +g  `  F
) t )  .x.  Y ) )  e.  ( N `  A
) )
148 oveq1 6202 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( r  =  ( ( a ( .r `  F
) s ) ( +g  `  F ) t )  ->  (
r  .x.  Y )  =  ( ( ( a ( .r `  F ) s ) ( +g  `  F
) t )  .x.  Y ) )
149148oveq2d 6211 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( r  =  ( ( a ( .r `  F
) s ) ( +g  `  F ) t )  ->  (
( ( a  .x.  x )  .+  y
)  .+  ( r  .x.  Y ) )  =  ( ( ( a 
.x.  x )  .+  y )  .+  (
( ( a ( .r `  F ) s ) ( +g  `  F ) t ) 
.x.  Y ) ) )
150149eleq1d 2521 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( r  =  ( ( a ( .r `  F
) s ) ( +g  `  F ) t )  ->  (
( ( ( a 
.x.  x )  .+  y )  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  <->  ( (
( a  .x.  x
)  .+  y )  .+  ( ( ( a ( .r `  F
) s ) ( +g  `  F ) t )  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
151150rspcev 3173 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( a ( .r `  F ) s ) ( +g  `  F ) t )  e.  B  /\  (
( ( a  .x.  x )  .+  y
)  .+  ( (
( a ( .r
`  F ) s ) ( +g  `  F
) t )  .x.  Y ) )  e.  ( N `  A
) )  ->  E. r  e.  B  ( (
( a  .x.  x
)  .+  y )  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) )
152121, 147, 151syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  E. r  e.  B  ( (
( a  .x.  x
)  .+  y )  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) )
153 oveq1 6202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( ( a 
.x.  x )  .+  y )  ->  (
z  .+  ( r  .x.  Y ) )  =  ( ( ( a 
.x.  x )  .+  y )  .+  (
r  .x.  Y )
) )
154153eleq1d 2521 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( ( a 
.x.  x )  .+  y )  ->  (
( z  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  <->  ( (
( a  .x.  x
)  .+  y )  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
155154rexbidv 2857 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( ( a 
.x.  x )  .+  y )  ->  ( E. r  e.  B  ( z  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  <->  E. r  e.  B  ( (
( a  .x.  x
)  .+  y )  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
156155, 2elrab2 3220 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( a  .x.  x
)  .+  y )  e.  Q  <->  ( ( ( a  .x.  x ) 
.+  y )  e.  V  /\  E. r  e.  B  ( (
( a  .x.  x
)  .+  y )  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
157113, 152, 156sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
( a  .x.  x
)  .+  y )  e.  Q )
1581573exp 1187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V )
)  ->  ( (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  ->  ( ( ( x 
.+  ( s  .x.  Y ) )  e.  ( N `  A
)  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) )  ->  ( (
a  .x.  x )  .+  y )  e.  Q
) ) )
159158rexlimdvv 2947 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V )
)  ->  ( E. s  e.  B  E. t  e.  B  (
( x  .+  (
s  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  /\  ( y  .+  (
t  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A ) )  ->  ( ( a 
.x.  x )  .+  y )  e.  Q
) )
160104, 159syl5bir 218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V )
)  ->  ( ( E. s  e.  B  ( x  .+  ( s 
.x.  Y ) )  e.  ( N `  A )  /\  E. t  e.  B  (
y  .+  ( t  .x.  Y ) )  e.  ( N `  A
) )  ->  (
( a  .x.  x
)  .+  y )  e.  Q ) )
161160expimpd 603 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( ( x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( E. s  e.  B  ( x  .+  ( s 
.x.  Y ) )  e.  ( N `  A )  /\  E. t  e.  B  (
y  .+  ( t  .x.  Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( ( a  .x.  x )  .+  y
)  e.  Q ) )
162103, 161syl5bi 217 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( x  e.  Q  /\  y  e.  Q
)  ->  ( (
a  .x.  x )  .+  y )  e.  Q
) )
163162exp4b 607 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( a  e.  B  ->  ( x  e.  Q  ->  ( y  e.  Q  ->  ( ( a  .x.  x )  .+  y
)  e.  Q ) ) ) )
1641633imp2 1203 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  x  e.  Q  /\  y  e.  Q ) )  -> 
( ( a  .x.  x )  .+  y
)  e.  Q )
16575, 76, 77, 78, 79, 80, 5, 82, 164islssd 17135 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Q  e.  S )
16655, 26lspid 17181 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Q  e.  S )  ->  ( N `  Q )  =  Q )
1671, 165, 166syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  Q
)  =  Q )
16874, 167sseqtrd 3495 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  ( A  u.  { Y } ) )  C_  Q )
169 lspsolv.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 ( A  u.  { Y } ) ) )
170168, 169sseldd 3460 . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  Q )
171 oveq1 6202 . . . . . 6  |-  ( z  =  X  ->  (
z  .+  ( r  .x.  Y ) )  =  ( X  .+  (
r  .x.  Y )
) )
172171eleq1d 2521 . . . . 5  |-  ( z  =  X  ->  (
( z  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  <->  ( X  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
173172rexbidv 2857 . . . 4  |-  ( z  =  X  ->  ( E. r  e.  B  ( z  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  <->  E. r  e.  B  ( X  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
174173, 2elrab2 3220 . . 3  |-  ( X  e.  Q  <->  ( X  e.  V  /\  E. r  e.  B  ( X  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
175174simprbi 464 . 2  |-  ( X  e.  Q  ->  E. r  e.  B  ( X  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) )
176170, 175syl 16 1  |-  ( ph  ->  E. r  e.  B  ( X  .+  ( r 
.x.  Y ) )  e.  ( N `  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2645   E.wrex 2797   {crab 2800    u. cun 3429    C_ wss 3431   (/)c0 3740   {csn 3980   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   Basecbs 14287   +g cplusg 14352   .rcmulr 14353  Scalarcsca 14355   .scvsca 14356   0gc0g 14492   Grpcgrp 15524   invgcminusg 15525   1rcur 16720   LModclmod 17066   LSubSpclss 17131   LSpanclspn 17170
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-nn 10429  df-2 10486  df-ndx 14290  df-slot 14291  df-base 14292  df-sets 14293  df-plusg 14365  df-0g 14494  df-mnd 15529  df-grp 15659  df-minusg 15660  df-sbg 15661  df-cmn 16395  df-abl 16396  df-mgp 16709  df-ur 16721  df-rng 16765  df-lmod 17068  df-lss 17132  df-lsp 17171
This theorem is referenced by:  lspsolv  17342
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