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Theorem lspsolvlem 18301
Description: Lemma for lspsolv 18302. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsolv.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspsolv.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lspsolv.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspsolv.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lspsolv.b  |-  B  =  ( Base `  F
)
lspsolv.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
lspsolv.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lspsolv.q  |-  Q  =  { z  e.  V  |  E. r  e.  B  ( z  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A ) }
lspsolv.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lspsolv.ss  |-  ( ph  ->  A  C_  V )
lspsolv.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
lspsolv.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 ( A  u.  { Y } ) ) )
Assertion
Ref Expression
lspsolvlem  |-  ( ph  ->  E. r  e.  B  ( X  .+  ( r 
.x.  Y ) )  e.  ( N `  A ) )
Distinct variable groups:    z, r, A    B, r, z    N, r, z    ph, z    F, r    S, r    V, r, z    W, r, z    .+ , r,
z    .x. , r, z    X, r, z    Y, r, z
Allowed substitution hints:    ph( r)    Q( z, r)    S( z)    F( z)

Proof of Theorem lspsolvlem
Dummy variables  s 
t  x  y  a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lspsolv.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
2 lspsolv.q . . . . . . 7  |-  Q  =  { z  e.  V  |  E. r  e.  B  ( z  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A ) }
3 ssrab2 3482 . . . . . . 7  |-  { z  e.  V  |  E. r  e.  B  (
z  .+  ( r  .x.  Y ) )  e.  ( N `  A
) }  C_  V
42, 3eqsstri 3430 . . . . . 6  |-  Q  C_  V
54a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Q  C_  V )
6 lspsolv.ss . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  V )
71adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  W  e.  LMod )
8 lspsolv.f . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  (Scalar `  W )
9 lspsolv.b . . . . . . . . . . 11  |-  B  =  ( Base `  F
)
10 eqid 2422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0g
`  F )  =  ( 0g `  F
)
118, 9, 10lmod0cl 18053 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( 0g
`  F )  e.  B )
127, 11syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  ( 0g `  F )  e.  B )
13 lspsolv.y . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
14 lspsolv.v . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  V  =  ( Base `  W
)
15 lspsolv.t . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  .x.  =  ( .s `  W )
16 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
1714, 8, 15, 10, 16lmod0vs 18060 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  (
( 0g `  F
)  .x.  Y )  =  ( 0g `  W ) )
181, 13, 17syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 0g `  F )  .x.  Y
)  =  ( 0g
`  W ) )
1918adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  (
( 0g `  F
)  .x.  Y )  =  ( 0g `  W ) )
2019oveq2d 6258 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  (
z  .+  ( ( 0g `  F )  .x.  Y ) )  =  ( z  .+  ( 0g `  W ) ) )
216sselda 3400 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  V )
22 lspsolv.p . . . . . . . . . . . . 13  |-  .+  =  ( +g  `  W )
2314, 22, 16lmod0vrid 18058 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  z  e.  V )  ->  (
z  .+  ( 0g `  W ) )  =  z )
247, 21, 23syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  (
z  .+  ( 0g `  W ) )  =  z )
2520, 24eqtrd 2456 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  (
z  .+  ( ( 0g `  F )  .x.  Y ) )  =  z )
26 lspsolv.n . . . . . . . . . . . . 13  |-  N  =  ( LSpan `  W )
2714, 26lspssid 18144 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  A  C_  V )  ->  A  C_  ( N `  A
) )
281, 6, 27syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  C_  ( N `  A ) )
2928sselda 3400 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  ( N `  A
) )
3025, 29eqeltrd 2500 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  (
z  .+  ( ( 0g `  F )  .x.  Y ) )  e.  ( N `  A
) )
31 oveq1 6249 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  ( 0g `  F )  ->  (
r  .x.  Y )  =  ( ( 0g
`  F )  .x.  Y ) )
3231oveq2d 6258 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  ( 0g `  F )  ->  (
z  .+  ( r  .x.  Y ) )  =  ( z  .+  (
( 0g `  F
)  .x.  Y )
) )
3332eleq1d 2484 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  ( 0g `  F )  ->  (
( z  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  <->  ( z  .+  ( ( 0g `  F )  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
3433rspcev 3118 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 0g `  F
)  e.  B  /\  ( z  .+  (
( 0g `  F
)  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A ) )  ->  E. r  e.  B  ( z  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A ) )
3512, 30, 34syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  E. r  e.  B  ( z  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) )
366, 35ssrabdv 3476 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  { z  e.  V  |  E. r  e.  B  (
z  .+  ( r  .x.  Y ) )  e.  ( N `  A
) } )
3736, 2syl6sseqr 3447 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  Q )
388lmodfgrp 18036 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e.  LMod  ->  F  e. 
Grp )
391, 38syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  Grp )
40 eqid 2422 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1r
`  F )  =  ( 1r `  F
)
418, 9, 40lmod1cl 18054 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( 1r
`  F )  e.  B )
421, 41syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1r `  F
)  e.  B )
43 eqid 2422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( invg `  F )  =  ( invg `  F )
449, 43grpinvcl 16647 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  Grp  /\  ( 1r `  F )  e.  B )  -> 
( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) )  e.  B )
4539, 42, 44syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) )  e.  B )
46 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( invg `  W )  =  ( invg `  W )
4714, 46, 8, 15, 40, 43lmodvneg1 18067 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  (
( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  Y )  =  ( ( invg `  W ) `  Y
) )
481, 13, 47syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( invg `  F ) `
 ( 1r `  F ) )  .x.  Y )  =  ( ( invg `  W ) `  Y
) )
4948oveq2d 6258 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  (
( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  Y ) )  =  ( Y  .+  ( ( invg `  W ) `  Y
) ) )
50 lmodgrp 18034 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
511, 50syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  W  e.  Grp )
5214, 22, 16, 46grprinv 16649 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  Y  e.  V )  ->  ( Y  .+  (
( invg `  W ) `  Y
) )  =  ( 0g `  W ) )
5351, 13, 52syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  (
( invg `  W ) `  Y
) )  =  ( 0g `  W ) )
5449, 53eqtrd 2456 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  (
( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  Y ) )  =  ( 0g `  W ) )
55 lspsolv.s . . . . . . . . . . . . 13  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
5614, 55, 26lspcl 18135 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  A  C_  V )  ->  ( N `  A )  e.  S )
571, 6, 56syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N `  A
)  e.  S )
5816, 55lss0cl 18106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  A )  e.  S )  ->  ( 0g `  W )  e.  ( N `  A
) )
591, 57, 58syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0g `  W
)  e.  ( N `
 A ) )
6054, 59eqeltrd 2500 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  (
( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  Y ) )  e.  ( N `  A ) )
61 oveq1 6249 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  ( ( invg `  F ) `
 ( 1r `  F ) )  -> 
( r  .x.  Y
)  =  ( ( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  Y ) )
6261oveq2d 6258 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  ( ( invg `  F ) `
 ( 1r `  F ) )  -> 
( Y  .+  (
r  .x.  Y )
)  =  ( Y 
.+  ( ( ( invg `  F
) `  ( 1r `  F ) )  .x.  Y ) ) )
6362eleq1d 2484 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  ( ( invg `  F ) `
 ( 1r `  F ) )  -> 
( ( Y  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  <-> 
( Y  .+  (
( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  Y ) )  e.  ( N `  A ) ) )
6463rspcev 3118 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) )  e.  B  /\  ( Y  .+  ( ( ( invg `  F
) `  ( 1r `  F ) )  .x.  Y ) )  e.  ( N `  A
) )  ->  E. r  e.  B  ( Y  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) )
6545, 60, 64syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E. r  e.  B  ( Y  .+  ( r 
.x.  Y ) )  e.  ( N `  A ) )
66 oveq1 6249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  Y  ->  (
z  .+  ( r  .x.  Y ) )  =  ( Y  .+  (
r  .x.  Y )
) )
6766eleq1d 2484 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  Y  ->  (
( z  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  <->  ( Y  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
6867rexbidv 2872 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  Y  ->  ( E. r  e.  B  ( z  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  <->  E. r  e.  B  ( Y  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
6968, 2elrab2 3166 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  Q  <->  ( Y  e.  V  /\  E. r  e.  B  ( Y  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
7013, 65, 69sylanbrc 668 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  Q )
7170snssd 4081 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { Y }  C_  Q )
7237, 71unssd 3578 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  u.  { Y } )  C_  Q
)
7314, 26lspss 18143 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Q  C_  V  /\  ( A  u.  { Y }
)  C_  Q )  ->  ( N `  ( A  u.  { Y } ) )  C_  ( N `  Q ) )
741, 5, 72, 73syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  ( A  u.  { Y } ) )  C_  ( N `  Q ) )
758a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  =  (Scalar `  W ) )
769a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  F ) )
7714a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  W ) )
7822a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  .+  =  ( +g  `  W ) )
7915a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  .x.  =  ( .s
`  W ) )
8055a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  =  ( LSubSp `  W ) )
81 ne0i 3703 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  Q  ->  Q  =/=  (/) )
8270, 81syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Q  =/=  (/) )
83 oveq1 6249 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  x  ->  (
z  .+  ( r  .x.  Y ) )  =  ( x  .+  (
r  .x.  Y )
) )
8483eleq1d 2484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  x  ->  (
( z  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  <->  ( x  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
8584rexbidv 2872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  x  ->  ( E. r  e.  B  ( z  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  <->  E. r  e.  B  ( x  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
86 oveq1 6249 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( r  =  s  ->  (
r  .x.  Y )  =  ( s  .x.  Y ) )
8786oveq2d 6258 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  =  s  ->  (
x  .+  ( r  .x.  Y ) )  =  ( x  .+  (
s  .x.  Y )
) )
8887eleq1d 2484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  s  ->  (
( x  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  <->  ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
8988cbvrexv 2991 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. r  e.  B  ( x  .+  ( r 
.x.  Y ) )  e.  ( N `  A )  <->  E. s  e.  B  ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) )
9085, 89syl6bb 264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  x  ->  ( E. r  e.  B  ( z  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  <->  E. s  e.  B  ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
9190, 2elrab2 3166 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  Q  <->  ( x  e.  V  /\  E. s  e.  B  ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
92 oveq1 6249 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  y  ->  (
z  .+  ( r  .x.  Y ) )  =  ( y  .+  (
r  .x.  Y )
) )
9392eleq1d 2484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  y  ->  (
( z  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  <->  ( y  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
9493rexbidv 2872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  y  ->  ( E. r  e.  B  ( z  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  <->  E. r  e.  B  ( y  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
95 oveq1 6249 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( r  =  t  ->  (
r  .x.  Y )  =  ( t  .x.  Y ) )
9695oveq2d 6258 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  =  t  ->  (
y  .+  ( r  .x.  Y ) )  =  ( y  .+  (
t  .x.  Y )
) )
9796eleq1d 2484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  t  ->  (
( y  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  <->  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
9897cbvrexv 2991 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. r  e.  B  ( y  .+  ( r 
.x.  Y ) )  e.  ( N `  A )  <->  E. t  e.  B  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) )
9994, 98syl6bb 264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  y  ->  ( E. r  e.  B  ( z  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  <->  E. t  e.  B  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
10099, 2elrab2 3166 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  Q  <->  ( y  e.  V  /\  E. t  e.  B  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
10191, 100anbi12i 701 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  Q  /\  y  e.  Q )  <->  ( ( x  e.  V  /\  E. s  e.  B  ( x  .+  ( s 
.x.  Y ) )  e.  ( N `  A ) )  /\  ( y  e.  V  /\  E. t  e.  B  ( y  .+  (
t  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A ) ) ) )
102 an4 831 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  V  /\  E. s  e.  B  ( x  .+  ( s 
.x.  Y ) )  e.  ( N `  A ) )  /\  ( y  e.  V  /\  E. t  e.  B  ( y  .+  (
t  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A ) ) )  <->  ( ( x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( E. s  e.  B  ( x  .+  ( s 
.x.  Y ) )  e.  ( N `  A )  /\  E. t  e.  B  (
y  .+  ( t  .x.  Y ) )  e.  ( N `  A
) ) ) )
103101, 102bitri 252 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  Q  /\  y  e.  Q )  <->  ( ( x  e.  V  /\  y  e.  V
)  /\  ( E. s  e.  B  (
x  .+  ( s  .x.  Y ) )  e.  ( N `  A
)  /\  E. t  e.  B  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) ) )
104 reeanv 2929 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. s  e.  B  E. t  e.  B  (
( x  .+  (
s  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  /\  ( y  .+  (
t  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A ) )  <-> 
( E. s  e.  B  ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  E. t  e.  B  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
105 simp1ll 1068 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  ph )
106105, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  W  e.  LMod )
107 simp1lr 1069 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  a  e.  B )
108 simp1rl 1070 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  x  e.  V )
10914, 8, 15, 9lmodvscl 18044 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  a  e.  B  /\  x  e.  V )  ->  (
a  .x.  x )  e.  V )
110106, 107, 108, 109syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
a  .x.  x )  e.  V )
111 simp1rr 1071 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  y  e.  V )
11214, 22lmodvacl 18041 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
a  .x.  x )  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  (
( a  .x.  x
)  .+  y )  e.  V )
113106, 110, 111, 112syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
( a  .x.  x
)  .+  y )  e.  V )
114 simp2l 1031 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  s  e.  B )
115 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( .r
`  F )  =  ( .r `  F
)
1168, 9, 115lmodmcl 18039 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  a  e.  B  /\  s  e.  B )  ->  (
a ( .r `  F ) s )  e.  B )
117106, 107, 114, 116syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
a ( .r `  F ) s )  e.  B )
118 simp2r 1032 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  t  e.  B )
119 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( +g  `  F )  =  ( +g  `  F )
1208, 9, 119lmodacl 18038 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
a ( .r `  F ) s )  e.  B  /\  t  e.  B )  ->  (
( a ( .r
`  F ) s ) ( +g  `  F
) t )  e.  B )
121106, 117, 118, 120syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
( a ( .r
`  F ) s ) ( +g  `  F
) t )  e.  B )
122105, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  Y  e.  V )
12314, 8, 15, 9lmodvscl 18044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  s  e.  B  /\  Y  e.  V )  ->  (
s  .x.  Y )  e.  V )
124106, 114, 122, 123syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
s  .x.  Y )  e.  V )
12514, 8, 15, 9lmodvscl 18044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  a  e.  B  /\  (
s  .x.  Y )  e.  V )  ->  (
a  .x.  ( s  .x.  Y ) )  e.  V )
126106, 107, 124, 125syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
a  .x.  ( s  .x.  Y ) )  e.  V )
12714, 8, 15, 9lmodvscl 18044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  t  e.  B  /\  Y  e.  V )  ->  (
t  .x.  Y )  e.  V )
128106, 118, 122, 127syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
t  .x.  Y )  e.  V )
12914, 22lmod4 18074 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( a  .x.  x
)  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( a  .x.  ( s  .x.  Y
) )  e.  V  /\  ( t  .x.  Y
)  e.  V ) )  ->  ( (
( a  .x.  x
)  .+  y )  .+  ( ( a  .x.  ( s  .x.  Y
) )  .+  (
t  .x.  Y )
) )  =  ( ( ( a  .x.  x )  .+  (
a  .x.  ( s  .x.  Y ) ) ) 
.+  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) ) ) )
130106, 110, 111, 126, 128, 129syl122anc 1273 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
( ( a  .x.  x )  .+  y
)  .+  ( (
a  .x.  ( s  .x.  Y ) )  .+  ( t  .x.  Y
) ) )  =  ( ( ( a 
.x.  x )  .+  ( a  .x.  (
s  .x.  Y )
) )  .+  (
y  .+  ( t  .x.  Y ) ) ) )
13114, 22, 8, 15, 9, 119lmodvsdir 18051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( a ( .r
`  F ) s )  e.  B  /\  t  e.  B  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( (
( a ( .r
`  F ) s ) ( +g  `  F
) t )  .x.  Y )  =  ( ( ( a ( .r `  F ) s )  .x.  Y
)  .+  ( t  .x.  Y ) ) )
132106, 117, 118, 122, 131syl13anc 1266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
( ( a ( .r `  F ) s ) ( +g  `  F ) t ) 
.x.  Y )  =  ( ( ( a ( .r `  F
) s )  .x.  Y )  .+  (
t  .x.  Y )
) )
13314, 8, 15, 9, 115lmodvsass 18052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
a  e.  B  /\  s  e.  B  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( (
a ( .r `  F ) s ) 
.x.  Y )  =  ( a  .x.  (
s  .x.  Y )
) )
134106, 107, 114, 122, 133syl13anc 1266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
( a ( .r
`  F ) s )  .x.  Y )  =  ( a  .x.  ( s  .x.  Y
) ) )
135134oveq1d 6257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
( ( a ( .r `  F ) s )  .x.  Y
)  .+  ( t  .x.  Y ) )  =  ( ( a  .x.  ( s  .x.  Y
) )  .+  (
t  .x.  Y )
) )
136132, 135eqtrd 2456 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
( ( a ( .r `  F ) s ) ( +g  `  F ) t ) 
.x.  Y )  =  ( ( a  .x.  ( s  .x.  Y
) )  .+  (
t  .x.  Y )
) )
137136oveq2d 6258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
( ( a  .x.  x )  .+  y
)  .+  ( (
( a ( .r
`  F ) s ) ( +g  `  F
) t )  .x.  Y ) )  =  ( ( ( a 
.x.  x )  .+  y )  .+  (
( a  .x.  (
s  .x.  Y )
)  .+  ( t  .x.  Y ) ) ) )
13814, 22, 8, 15, 9lmodvsdi 18050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
a  e.  B  /\  x  e.  V  /\  ( s  .x.  Y
)  e.  V ) )  ->  ( a  .x.  ( x  .+  (
s  .x.  Y )
) )  =  ( ( a  .x.  x
)  .+  ( a  .x.  ( s  .x.  Y
) ) ) )
139106, 107, 108, 124, 138syl13anc 1266 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
a  .x.  ( x  .+  ( s  .x.  Y
) ) )  =  ( ( a  .x.  x )  .+  (
a  .x.  ( s  .x.  Y ) ) ) )
140139oveq1d 6257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
( a  .x.  (
x  .+  ( s  .x.  Y ) ) ) 
.+  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) ) )  =  ( ( ( a 
.x.  x )  .+  ( a  .x.  (
s  .x.  Y )
) )  .+  (
y  .+  ( t  .x.  Y ) ) ) )
141130, 137, 1403eqtr4d 2466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
( ( a  .x.  x )  .+  y
)  .+  ( (
( a ( .r
`  F ) s ) ( +g  `  F
) t )  .x.  Y ) )  =  ( ( a  .x.  ( x  .+  ( s 
.x.  Y ) ) )  .+  ( y 
.+  ( t  .x.  Y ) ) ) )
142105, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  ( N `  A )  e.  S )
143 simp3l 1033 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
x  .+  ( s  .x.  Y ) )  e.  ( N `  A
) )
144 simp3r 1034 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
y  .+  ( t  .x.  Y ) )  e.  ( N `  A
) )
1458, 9, 22, 15, 55lsscl 18102 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N `  A
)  e.  S  /\  ( a  e.  B  /\  ( x  .+  (
s  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  /\  ( y  .+  (
t  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A ) ) )  ->  ( (
a  .x.  ( x  .+  ( s  .x.  Y
) ) )  .+  ( y  .+  (
t  .x.  Y )
) )  e.  ( N `  A ) )
146142, 107, 143, 144, 145syl13anc 1266 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
( a  .x.  (
x  .+  ( s  .x.  Y ) ) ) 
.+  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) ) )  e.  ( N `  A
) )
147141, 146eqeltrd 2500 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
( ( a  .x.  x )  .+  y
)  .+  ( (
( a ( .r
`  F ) s ) ( +g  `  F
) t )  .x.  Y ) )  e.  ( N `  A
) )
148 oveq1 6249 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( r  =  ( ( a ( .r `  F
) s ) ( +g  `  F ) t )  ->  (
r  .x.  Y )  =  ( ( ( a ( .r `  F ) s ) ( +g  `  F
) t )  .x.  Y ) )
149148oveq2d 6258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( r  =  ( ( a ( .r `  F
) s ) ( +g  `  F ) t )  ->  (
( ( a  .x.  x )  .+  y
)  .+  ( r  .x.  Y ) )  =  ( ( ( a 
.x.  x )  .+  y )  .+  (
( ( a ( .r `  F ) s ) ( +g  `  F ) t ) 
.x.  Y ) ) )
150149eleq1d 2484 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( r  =  ( ( a ( .r `  F
) s ) ( +g  `  F ) t )  ->  (
( ( ( a 
.x.  x )  .+  y )  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  <->  ( (
( a  .x.  x
)  .+  y )  .+  ( ( ( a ( .r `  F
) s ) ( +g  `  F ) t )  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
151150rspcev 3118 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( a ( .r `  F ) s ) ( +g  `  F ) t )  e.  B  /\  (
( ( a  .x.  x )  .+  y
)  .+  ( (
( a ( .r
`  F ) s ) ( +g  `  F
) t )  .x.  Y ) )  e.  ( N `  A
) )  ->  E. r  e.  B  ( (
( a  .x.  x
)  .+  y )  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) )
152121, 147, 151syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  E. r  e.  B  ( (
( a  .x.  x
)  .+  y )  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) )
153 oveq1 6249 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( ( a 
.x.  x )  .+  y )  ->  (
z  .+  ( r  .x.  Y ) )  =  ( ( ( a 
.x.  x )  .+  y )  .+  (
r  .x.  Y )
) )
154153eleq1d 2484 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( ( a 
.x.  x )  .+  y )  ->  (
( z  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  <->  ( (
( a  .x.  x
)  .+  y )  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
155154rexbidv 2872 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( ( a 
.x.  x )  .+  y )  ->  ( E. r  e.  B  ( z  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  <->  E. r  e.  B  ( (
( a  .x.  x
)  .+  y )  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
156155, 2elrab2 3166 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( a  .x.  x
)  .+  y )  e.  Q  <->  ( ( ( a  .x.  x ) 
.+  y )  e.  V  /\  E. r  e.  B  ( (
( a  .x.  x
)  .+  y )  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
157113, 152, 156sylanbrc 668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  /\  ( ( x  .+  ( s  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A )  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )  ->  (
( a  .x.  x
)  .+  y )  e.  Q )
1581573exp 1204 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V )
)  ->  ( (
s  e.  B  /\  t  e.  B )  ->  ( ( ( x 
.+  ( s  .x.  Y ) )  e.  ( N `  A
)  /\  ( y  .+  ( t  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) )  ->  ( (
a  .x.  x )  .+  y )  e.  Q
) ) )
159158rexlimdvv 2856 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V )
)  ->  ( E. s  e.  B  E. t  e.  B  (
( x  .+  (
s  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  /\  ( y  .+  (
t  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A ) )  ->  ( ( a 
.x.  x )  .+  y )  e.  Q
) )
160104, 159syl5bir 221 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V )
)  ->  ( ( E. s  e.  B  ( x  .+  ( s 
.x.  Y ) )  e.  ( N `  A )  /\  E. t  e.  B  (
y  .+  ( t  .x.  Y ) )  e.  ( N `  A
) )  ->  (
( a  .x.  x
)  .+  y )  e.  Q ) )
161160expimpd 606 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( ( x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( E. s  e.  B  ( x  .+  ( s 
.x.  Y ) )  e.  ( N `  A )  /\  E. t  e.  B  (
y  .+  ( t  .x.  Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( ( a  .x.  x )  .+  y
)  e.  Q ) )
162103, 161syl5bi 220 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( x  e.  Q  /\  y  e.  Q
)  ->  ( (
a  .x.  x )  .+  y )  e.  Q
) )
163162exp4b 610 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( a  e.  B  ->  ( x  e.  Q  ->  ( y  e.  Q  ->  ( ( a  .x.  x )  .+  y
)  e.  Q ) ) ) )
1641633imp2 1220 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  x  e.  Q  /\  y  e.  Q ) )  -> 
( ( a  .x.  x )  .+  y
)  e.  Q )
16575, 76, 77, 78, 79, 80, 5, 82, 164islssd 18095 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Q  e.  S )
16655, 26lspid 18141 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Q  e.  S )  ->  ( N `  Q )  =  Q )
1671, 165, 166syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  Q
)  =  Q )
16874, 167sseqtrd 3436 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  ( A  u.  { Y } ) )  C_  Q )
169 lspsolv.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 ( A  u.  { Y } ) ) )
170168, 169sseldd 3401 . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  Q )
171 oveq1 6249 . . . . . 6  |-  ( z  =  X  ->  (
z  .+  ( r  .x.  Y ) )  =  ( X  .+  (
r  .x.  Y )
) )
172171eleq1d 2484 . . . . 5  |-  ( z  =  X  ->  (
( z  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  <->  ( X  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
173172rexbidv 2872 . . . 4  |-  ( z  =  X  ->  ( E. r  e.  B  ( z  .+  (
r  .x.  Y )
)  e.  ( N `
 A )  <->  E. r  e.  B  ( X  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
174173, 2elrab2 3166 . . 3  |-  ( X  e.  Q  <->  ( X  e.  V  /\  E. r  e.  B  ( X  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) ) )
175174simprbi 465 . 2  |-  ( X  e.  Q  ->  E. r  e.  B  ( X  .+  ( r  .x.  Y
) )  e.  ( N `  A ) )
176170, 175syl 17 1  |-  ( ph  ->  E. r  e.  B  ( X  .+  ( r 
.x.  Y ) )  e.  ( N `  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2593   E.wrex 2709   {crab 2712    u. cun 3370    C_ wss 3372   (/)c0 3697   {csn 3934   ` cfv 5537  (class class class)co 6242   Basecbs 15057   +g cplusg 15126   .rcmulr 15127  Scalarcsca 15129   .scvsca 15130   0gc0g 15274   Grpcgrp 16605   invgcminusg 16606   1rcur 17671   LModclmod 18027   LSubSpclss 18091   LSpanclspn 18130
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2402  ax-rep 4472  ax-sep 4482  ax-nul 4491  ax-pow 4538  ax-pr 4596  ax-un 6534  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2552  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2713  df-rex 2714  df-reu 2715  df-rmo 2716  df-rab 2717  df-v 3018  df-sbc 3236  df-csb 3332  df-dif 3375  df-un 3377  df-in 3379  df-ss 3386  df-pss 3388  df-nul 3698  df-if 3848  df-pw 3919  df-sn 3935  df-pr 3937  df-tp 3939  df-op 3941  df-uni 4156  df-int 4192  df-iun 4237  df-br 4360  df-opab 4419  df-mpt 4420  df-tr 4455  df-eprel 4700  df-id 4704  df-po 4710  df-so 4711  df-fr 4748  df-we 4750  df-xp 4795  df-rel 4796  df-cnv 4797  df-co 4798  df-dm 4799  df-rn 4800  df-res 4801  df-ima 4802  df-pred 5335  df-ord 5381  df-on 5382  df-lim 5383  df-suc 5384  df-iota 5501  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-riota 6204  df-ov 6245  df-oprab 6246  df-mpt2 6247  df-om 6644  df-1st 6744  df-2nd 6745  df-wrecs 6976  df-recs 7038  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10554  df-2 10612  df-ndx 15060  df-slot 15061  df-base 15062  df-sets 15063  df-plusg 15139  df-0g 15276  df-mgm 16424  df-sgrp 16463  df-mnd 16473  df-grp 16609  df-minusg 16610  df-sbg 16611  df-cmn 17368  df-abl 17369  df-mgp 17660  df-ur 17672  df-ring 17718  df-lmod 18029  df-lss 18092  df-lsp 18131
This theorem is referenced by:  lspsolv  18302
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