Theorem lspsnvsi 18220

Description: Span of a scalar product of a singleton. (Contributed by NM, 23-Apr-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 4-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsn.f	|- F = (Scalar ` W )
lspsn.k	|- K = ( Base ` F )
lspsn.v	|- V = ( Base ` W )
lspsn.t	|- .x. = ( .s ` W )
lspsn.n	|- N = ( LSpan ` W )

Assertion

Ref	Expression
lspsnvsi	|- ( ( W e. LMod /\ R e. K /\ X e. V ) -> ( N ` { ( R .x. X ) } ) C_ ( N ` { X } ) )

Proof of Theorem lspsnvsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2450	. 2 |- ( LSubSp ` W ) = ( LSubSp ` W )
2		lspsn.n	. 2 |- N = ( LSpan ` W )
3		simp1 1007	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ R e. K /\ X e. V ) -> W e. LMod )
4		simp3 1009	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ R e. K /\ X e. V ) -> X e. V )
5	4	snssd 4116	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ R e. K /\ X e. V ) -> { X } C_ V )
6		lspsn.v	. . . 4 |- V = ( Base ` W )
7	6, 1, 2	lspcl 18192	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ { X } C_ V ) -> ( N ` { X } ) e. ( LSubSp ` W ) )
8	3, 5, 7	syl2anc 666	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ R e. K /\ X e. V ) -> ( N ` { X } ) e. ( LSubSp ` W ) )
9		lspsn.t	. . 3 |- .x. = ( .s ` W )
10		lspsn.f	. . 3 |- F = (Scalar ` W )
11		lspsn.k	. . 3 |- K = ( Base ` F )
12		simp2 1008	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ R e. K /\ X e. V ) -> R e. K )
13	6, 9, 10, 11, 2, 3, 12, 4	lspsneli 18217	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ R e. K /\ X e. V ) -> ( R .x. X ) e. ( N ` { X } ) )
14	1, 2, 3, 8, 13	lspsnel5a 18212	1 |- ( ( W e. LMod /\ R e. K /\ X e. V ) -> ( N ` { ( R .x. X ) } ) C_ ( N ` { X } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 984   = wceq 1443   e. wcel 1886   C_ wss 3403   {csn 3967   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   Basecbs 15114  Scalarcsca 15186   .scvsca 15187   LModclmod 18084   LSubSpclss 18148   LSpanclspn 18187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-2 10665  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-plusg 15196  df-0g 15333  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-grp 16666  df-minusg 16667  df-sbg 16668  df-mgp 17717  df-ur 17729  df-ring 17775  df-lmod 18086  df-lss 18149  df-lsp 18188

This theorem is referenced by:  lspsnneg  18222  lspsnvs  18330  lclkrlem2p  35084  hgmaprnlem2N  35462