Theorem lspsnvsi 17845

Description: Span of a scalar product of a singleton. (Contributed by NM, 23-Apr-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 4-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsn.f	|- F = (Scalar ` W )
lspsn.k	|- K = ( Base ` F )
lspsn.v	|- V = ( Base ` W )
lspsn.t	|- .x. = ( .s ` W )
lspsn.n	|- N = ( LSpan ` W )

Assertion

Ref	Expression
lspsnvsi	|- ( ( W e. LMod /\ R e. K /\ X e. V ) -> ( N ` { ( R .x. X ) } ) C_ ( N ` { X } ) )

Proof of Theorem lspsnvsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2454	. 2 |- ( LSubSp ` W ) = ( LSubSp ` W )
2		lspsn.n	. 2 |- N = ( LSpan ` W )
3		simp1 994	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ R e. K /\ X e. V ) -> W e. LMod )
4		simp3 996	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ R e. K /\ X e. V ) -> X e. V )
5	4	snssd 4161	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ R e. K /\ X e. V ) -> { X } C_ V )
6		lspsn.v	. . . 4 |- V = ( Base ` W )
7	6, 1, 2	lspcl 17817	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ { X } C_ V ) -> ( N ` { X } ) e. ( LSubSp ` W ) )
8	3, 5, 7	syl2anc 659	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ R e. K /\ X e. V ) -> ( N ` { X } ) e. ( LSubSp ` W ) )
9		lspsn.t	. . 3 |- .x. = ( .s ` W )
10		lspsn.f	. . 3 |- F = (Scalar ` W )
11		lspsn.k	. . 3 |- K = ( Base ` F )
12		simp2 995	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ R e. K /\ X e. V ) -> R e. K )
13	6, 9, 10, 11, 2, 3, 12, 4	lspsneli 17842	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ R e. K /\ X e. V ) -> ( R .x. X ) e. ( N ` { X } ) )
14	1, 2, 3, 8, 13	lspsnel5a 17837	1 |- ( ( W e. LMod /\ R e. K /\ X e. V ) -> ( N ` { ( R .x. X ) } ) C_ ( N ` { X } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 971   = wceq 1398   e. wcel 1823   C_ wss 3461   {csn 4016   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Basecbs 14716  Scalarcsca 14787   .scvsca 14788   LModclmod 17707   LSubSpclss 17773   LSpanclspn 17812

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-plusg 14797  df-0g 14931  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-sbg 16258  df-mgp 17337  df-ur 17349  df-ring 17395  df-lmod 17709  df-lss 17774  df-lsp 17813

This theorem is referenced by:  lspsnneg  17847  lspsnvs  17955  lclkrlem2p  37646  hgmaprnlem2N  38024