Theorem lspsnvsi 17200

Description: Span of a scalar product of a singleton. (Contributed by NM, 23-Apr-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 4-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsn.f	|- F = (Scalar ` W )
lspsn.k	|- K = ( Base ` F )
lspsn.v	|- V = ( Base ` W )
lspsn.t	|- .x. = ( .s ` W )
lspsn.n	|- N = ( LSpan ` W )

Assertion

Ref	Expression
lspsnvsi	|- ( ( W e. LMod /\ R e. K /\ X e. V ) -> ( N ` { ( R .x. X ) } ) C_ ( N ` { X } ) )

Proof of Theorem lspsnvsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2451	. 2 |- ( LSubSp ` W ) = ( LSubSp ` W )
2		lspsn.n	. 2 |- N = ( LSpan ` W )
3		simp1 988	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ R e. K /\ X e. V ) -> W e. LMod )
4		simp3 990	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ R e. K /\ X e. V ) -> X e. V )
5	4	snssd 4119	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ R e. K /\ X e. V ) -> { X } C_ V )
6		lspsn.v	. . . 4 |- V = ( Base ` W )
7	6, 1, 2	lspcl 17172	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ { X } C_ V ) -> ( N ` { X } ) e. ( LSubSp ` W ) )
8	3, 5, 7	syl2anc 661	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ R e. K /\ X e. V ) -> ( N ` { X } ) e. ( LSubSp ` W ) )
9		lspsn.t	. . 3 |- .x. = ( .s ` W )
10		lspsn.f	. . 3 |- F = (Scalar ` W )
11		lspsn.k	. . 3 |- K = ( Base ` F )
12		simp2 989	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ R e. K /\ X e. V ) -> R e. K )
13	6, 9, 10, 11, 2, 3, 12, 4	lspsneli 17197	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ R e. K /\ X e. V ) -> ( R .x. X ) e. ( N ` { X } ) )
14	1, 2, 3, 8, 13	lspsnel5a 17192	1 |- ( ( W e. LMod /\ R e. K /\ X e. V ) -> ( N ` { ( R .x. X ) } ) C_ ( N ` { X } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   C_ wss 3429   {csn 3978   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   Basecbs 14285  Scalarcsca 14352   .scvsca 14353   LModclmod 17063   LSubSpclss 17128   LSpanclspn 17167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-2 10484  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-sets 14291  df-plusg 14362  df-0g 14491  df-mnd 15526  df-grp 15656  df-minusg 15657  df-sbg 15658  df-mgp 16706  df-ur 16718  df-rng 16762  df-lmod 17065  df-lss 17129  df-lsp 17168

This theorem is referenced by:  lspsnneg  17202  lspsnvs  17310  lclkrlem2p  35476  hgmaprnlem2N  35854