Theorem lspsnvs 17195

Description: A non-zero scalar product does not change the span of a singleton. (spansncol 24971 analog.) (Contributed by NM, 23-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnvs.v	|- V = ( Base ` W )
lspsnvs.f	|- F = (Scalar ` W )
lspsnvs.t	|- .x. = ( .s ` W )
lspsnvs.k	|- K = ( Base ` F )
lspsnvs.o	|- .0. = ( 0g ` F )
lspsnvs.n	|- N = ( LSpan ` W )

Assertion

Ref	Expression
lspsnvs	|- ( ( W e. LVec /\ ( R e. K /\ R =/= .0. ) /\ X e. V ) -> ( N ` { ( R .x. X ) } ) = ( N ` { X } ) )

Proof of Theorem lspsnvs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lveclmod 17187	. . . 4 |- ( W e. LVec -> W e. LMod )
2	1	3ad2ant1 1009	. . 3 |- ( ( W e. LVec /\ ( R e. K /\ R =/= .0. ) /\ X e. V ) -> W e. LMod )
3		simp2l 1014	. . 3 |- ( ( W e. LVec /\ ( R e. K /\ R =/= .0. ) /\ X e. V ) -> R e. K )
4		simp3 990	. . 3 |- ( ( W e. LVec /\ ( R e. K /\ R =/= .0. ) /\ X e. V ) -> X e. V )
5		lspsnvs.f	. . . 4 |- F = (Scalar ` W )
6		lspsnvs.k	. . . 4 |- K = ( Base ` F )
7		lspsnvs.v	. . . 4 |- V = ( Base ` W )
8		lspsnvs.t	. . . 4 |- .x. = ( .s ` W )
9		lspsnvs.n	. . . 4 |- N = ( LSpan ` W )
10	5, 6, 7, 8, 9	lspsnvsi 17085	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ R e. K /\ X e. V ) -> ( N ` { ( R .x. X ) } ) C_ ( N ` { X } ) )
11	2, 3, 4, 10	syl3anc 1218	. 2 |- ( ( W e. LVec /\ ( R e. K /\ R =/= .0. ) /\ X e. V ) -> ( N ` { ( R .x. X ) } ) C_ ( N ` { X } ) )
12	5	lvecdrng 17186	. . . . . . . . 9 |- ( W e. LVec -> F e. DivRing )
13	12	3ad2ant1 1009	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LVec /\ ( R e. K /\ R =/= .0. ) /\ X e. V ) -> F e. DivRing )
14		simp2r 1015	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LVec /\ ( R e. K /\ R =/= .0. ) /\ X e. V ) -> R =/= .0. )
15		lspsnvs.o	. . . . . . . . 9 |- .0. = ( 0g ` F )
16		eqid 2443	. . . . . . . . 9 |- ( .r ` F ) = ( .r ` F )
17		eqid 2443	. . . . . . . . 9 |- ( 1r ` F ) = ( 1r ` F )
18		eqid 2443	. . . . . . . . 9 |- ( invr ` F ) = ( invr ` F )
19	6, 15, 16, 17, 18	drnginvrl 16851	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. DivRing /\ R e. K /\ R =/= .0. ) -> ( ( ( invr ` F ) ` R ) ( .r ` F ) R ) = ( 1r ` F ) )
20	13, 3, 14, 19	syl3anc 1218	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LVec /\ ( R e. K /\ R =/= .0. ) /\ X e. V ) -> ( ( ( invr ` F ) ` R ) ( .r ` F ) R ) = ( 1r ` F ) )
21	20	oveq1d 6106	. . . . . 6 |- ( ( W e. LVec /\ ( R e. K /\ R =/= .0. ) /\ X e. V ) -> ( ( ( ( invr ` F ) ` R ) ( .r ` F ) R ) .x. X ) = ( ( 1r ` F ) .x. X ) )
22	6, 15, 18	drnginvrcl 16849	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. DivRing /\ R e. K /\ R =/= .0. ) -> ( ( invr ` F ) ` R ) e. K )
23	13, 3, 14, 22	syl3anc 1218	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LVec /\ ( R e. K /\ R =/= .0. ) /\ X e. V ) -> ( ( invr ` F ) ` R ) e. K )
24	7, 5, 8, 6, 16	lmodvsass 16973	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( ( invr ` F ) ` R ) e. K /\ R e. K /\ X e. V ) ) -> ( ( ( ( invr ` F ) ` R ) ( .r ` F ) R ) .x. X ) = ( ( ( invr ` F ) ` R ) .x. ( R .x. X ) ) )
25	2, 23, 3, 4, 24	syl13anc 1220	. . . . . 6 |- ( ( W e. LVec /\ ( R e. K /\ R =/= .0. ) /\ X e. V ) -> ( ( ( ( invr ` F ) ` R ) ( .r ` F ) R ) .x. X ) = ( ( ( invr ` F ) ` R ) .x. ( R .x. X ) ) )
26	7, 5, 8, 17	lmodvs1 16976	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( ( 1r ` F ) .x. X ) = X )
27	2, 4, 26	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( W e. LVec /\ ( R e. K /\ R =/= .0. ) /\ X e. V ) -> ( ( 1r ` F ) .x. X ) = X )
28	21, 25, 27	3eqtr3d 2483	. . . . 5 |- ( ( W e. LVec /\ ( R e. K /\ R =/= .0. ) /\ X e. V ) -> ( ( ( invr ` F ) ` R ) .x. ( R .x. X ) ) = X )
29	28	sneqd 3889	. . . 4 |- ( ( W e. LVec /\ ( R e. K /\ R =/= .0. ) /\ X e. V ) -> { ( ( ( invr ` F ) ` R ) .x. ( R .x. X ) ) } = { X } )
30	29	fveq2d 5695	. . 3 |- ( ( W e. LVec /\ ( R e. K /\ R =/= .0. ) /\ X e. V ) -> ( N ` { ( ( ( invr ` F ) ` R ) .x. ( R .x. X ) ) } ) = ( N ` { X } ) )
31	7, 5, 8, 6	lmodvscl 16965	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ R e. K /\ X e. V ) -> ( R .x. X ) e. V )
32	2, 3, 4, 31	syl3anc 1218	. . . 4 |- ( ( W e. LVec /\ ( R e. K /\ R =/= .0. ) /\ X e. V ) -> ( R .x. X ) e. V )
33	5, 6, 7, 8, 9	lspsnvsi 17085	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( invr ` F ) ` R ) e. K /\ ( R .x. X ) e. V ) -> ( N ` { ( ( ( invr ` F ) ` R ) .x. ( R .x. X ) ) } ) C_ ( N ` { ( R .x. X ) } ) )
34	2, 23, 32, 33	syl3anc 1218	. . 3 |- ( ( W e. LVec /\ ( R e. K /\ R =/= .0. ) /\ X e. V ) -> ( N ` { ( ( ( invr ` F ) ` R ) .x. ( R .x. X ) ) } ) C_ ( N ` { ( R .x. X ) } ) )
35	30, 34	eqsstr3d 3391	. 2 |- ( ( W e. LVec /\ ( R e. K /\ R =/= .0. ) /\ X e. V ) -> ( N ` { X } ) C_ ( N ` { ( R .x. X ) } ) )
36	11, 35	eqssd 3373	1 |- ( ( W e. LVec /\ ( R e. K /\ R =/= .0. ) /\ X e. V ) -> ( N ` { ( R .x. X ) } ) = ( N ` { X } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2606   C_ wss 3328   {csn 3877   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   Basecbs 14174   .rcmulr 14239  Scalarcsca 14241   .scvsca 14242   0gc0g 14378   1rcur 16603   invrcinvr 16763   DivRingcdr 16832   LModclmod 16948   LSpanclspn 17052   LVecclvec 17183

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-tpos 6745  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-0g 14380  df-mnd 15415  df-grp 15545  df-minusg 15546  df-sbg 15547  df-mgp 16592  df-ur 16604  df-rng 16647  df-oppr 16715  df-dvdsr 16733  df-unit 16734  df-invr 16764  df-drng 16834  df-lmod 16950  df-lss 17014  df-lsp 17053  df-lvec 17184

This theorem is referenced by:  lspsneleq  17196  lspsneq  17203  lspfixed  17209  islbs2  17235  mapdpglem22  35338  hdmap14lem1a  35514