Theorem lspsnvs 17972

Description: A non-zero scalar product does not change the span of a singleton. (spansncol 26780 analog.) (Contributed by NM, 23-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnvs.v	|- V = ( Base ` W )
lspsnvs.f	|- F = (Scalar ` W )
lspsnvs.t	|- .x. = ( .s ` W )
lspsnvs.k	|- K = ( Base ` F )
lspsnvs.o	|- .0. = ( 0g ` F )
lspsnvs.n	|- N = ( LSpan ` W )

Assertion

Ref	Expression
lspsnvs	|- ( ( W e. LVec /\ ( R e. K /\ R =/= .0. ) /\ X e. V ) -> ( N ` { ( R .x. X ) } ) = ( N ` { X } ) )

Proof of Theorem lspsnvs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lveclmod 17964	. . . 4 |- ( W e. LVec -> W e. LMod )
2	1	3ad2ant1 1018	. . 3 |- ( ( W e. LVec /\ ( R e. K /\ R =/= .0. ) /\ X e. V ) -> W e. LMod )
3		simp2l 1023	. . 3 |- ( ( W e. LVec /\ ( R e. K /\ R =/= .0. ) /\ X e. V ) -> R e. K )
4		simp3 999	. . 3 |- ( ( W e. LVec /\ ( R e. K /\ R =/= .0. ) /\ X e. V ) -> X e. V )
5		lspsnvs.f	. . . 4 |- F = (Scalar ` W )
6		lspsnvs.k	. . . 4 |- K = ( Base ` F )
7		lspsnvs.v	. . . 4 |- V = ( Base ` W )
8		lspsnvs.t	. . . 4 |- .x. = ( .s ` W )
9		lspsnvs.n	. . . 4 |- N = ( LSpan ` W )
10	5, 6, 7, 8, 9	lspsnvsi 17862	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ R e. K /\ X e. V ) -> ( N ` { ( R .x. X ) } ) C_ ( N ` { X } ) )
11	2, 3, 4, 10	syl3anc 1230	. 2 |- ( ( W e. LVec /\ ( R e. K /\ R =/= .0. ) /\ X e. V ) -> ( N ` { ( R .x. X ) } ) C_ ( N ` { X } ) )
12	5	lvecdrng 17963	. . . . . . . . 9 |- ( W e. LVec -> F e. DivRing )
13	12	3ad2ant1 1018	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LVec /\ ( R e. K /\ R =/= .0. ) /\ X e. V ) -> F e. DivRing )
14		simp2r 1024	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LVec /\ ( R e. K /\ R =/= .0. ) /\ X e. V ) -> R =/= .0. )
15		lspsnvs.o	. . . . . . . . 9 |- .0. = ( 0g ` F )
16		eqid 2402	. . . . . . . . 9 |- ( .r ` F ) = ( .r ` F )
17		eqid 2402	. . . . . . . . 9 |- ( 1r ` F ) = ( 1r ` F )
18		eqid 2402	. . . . . . . . 9 |- ( invr ` F ) = ( invr ` F )
19	6, 15, 16, 17, 18	drnginvrl 17627	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. DivRing /\ R e. K /\ R =/= .0. ) -> ( ( ( invr ` F ) ` R ) ( .r ` F ) R ) = ( 1r ` F ) )
20	13, 3, 14, 19	syl3anc 1230	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LVec /\ ( R e. K /\ R =/= .0. ) /\ X e. V ) -> ( ( ( invr ` F ) ` R ) ( .r ` F ) R ) = ( 1r ` F ) )
21	20	oveq1d 6249	. . . . . 6 |- ( ( W e. LVec /\ ( R e. K /\ R =/= .0. ) /\ X e. V ) -> ( ( ( ( invr ` F ) ` R ) ( .r ` F ) R ) .x. X ) = ( ( 1r ` F ) .x. X ) )
22	6, 15, 18	drnginvrcl 17625	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. DivRing /\ R e. K /\ R =/= .0. ) -> ( ( invr ` F ) ` R ) e. K )
23	13, 3, 14, 22	syl3anc 1230	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LVec /\ ( R e. K /\ R =/= .0. ) /\ X e. V ) -> ( ( invr ` F ) ` R ) e. K )
24	7, 5, 8, 6, 16	lmodvsass 17749	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( ( invr ` F ) ` R ) e. K /\ R e. K /\ X e. V ) ) -> ( ( ( ( invr ` F ) ` R ) ( .r ` F ) R ) .x. X ) = ( ( ( invr ` F ) ` R ) .x. ( R .x. X ) ) )
25	2, 23, 3, 4, 24	syl13anc 1232	. . . . . 6 |- ( ( W e. LVec /\ ( R e. K /\ R =/= .0. ) /\ X e. V ) -> ( ( ( ( invr ` F ) ` R ) ( .r ` F ) R ) .x. X ) = ( ( ( invr ` F ) ` R ) .x. ( R .x. X ) ) )
26	7, 5, 8, 17	lmodvs1 17752	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( ( 1r ` F ) .x. X ) = X )
27	2, 4, 26	syl2anc 659	. . . . . 6 |- ( ( W e. LVec /\ ( R e. K /\ R =/= .0. ) /\ X e. V ) -> ( ( 1r ` F ) .x. X ) = X )
28	21, 25, 27	3eqtr3d 2451	. . . . 5 |- ( ( W e. LVec /\ ( R e. K /\ R =/= .0. ) /\ X e. V ) -> ( ( ( invr ` F ) ` R ) .x. ( R .x. X ) ) = X )
29	28	sneqd 3983	. . . 4 |- ( ( W e. LVec /\ ( R e. K /\ R =/= .0. ) /\ X e. V ) -> { ( ( ( invr ` F ) ` R ) .x. ( R .x. X ) ) } = { X } )
30	29	fveq2d 5809	. . 3 |- ( ( W e. LVec /\ ( R e. K /\ R =/= .0. ) /\ X e. V ) -> ( N ` { ( ( ( invr ` F ) ` R ) .x. ( R .x. X ) ) } ) = ( N ` { X } ) )
31	7, 5, 8, 6	lmodvscl 17741	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ R e. K /\ X e. V ) -> ( R .x. X ) e. V )
32	2, 3, 4, 31	syl3anc 1230	. . . 4 |- ( ( W e. LVec /\ ( R e. K /\ R =/= .0. ) /\ X e. V ) -> ( R .x. X ) e. V )
33	5, 6, 7, 8, 9	lspsnvsi 17862	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( invr ` F ) ` R ) e. K /\ ( R .x. X ) e. V ) -> ( N ` { ( ( ( invr ` F ) ` R ) .x. ( R .x. X ) ) } ) C_ ( N ` { ( R .x. X ) } ) )
34	2, 23, 32, 33	syl3anc 1230	. . 3 |- ( ( W e. LVec /\ ( R e. K /\ R =/= .0. ) /\ X e. V ) -> ( N ` { ( ( ( invr ` F ) ` R ) .x. ( R .x. X ) ) } ) C_ ( N ` { ( R .x. X ) } ) )
35	30, 34	eqsstr3d 3476	. 2 |- ( ( W e. LVec /\ ( R e. K /\ R =/= .0. ) /\ X e. V ) -> ( N ` { X } ) C_ ( N ` { ( R .x. X ) } ) )
36	11, 35	eqssd 3458	1 |- ( ( W e. LVec /\ ( R e. K /\ R =/= .0. ) /\ X e. V ) -> ( N ` { ( R .x. X ) } ) = ( N ` { X } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   /\ w3a 974   = wceq 1405   e. wcel 1842   =/= wne 2598   C_ wss 3413   {csn 3971   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   Basecbs 14733   .rcmulr 14802  Scalarcsca 14804   .scvsca 14805   0gc0g 14946   1rcur 17365   invrcinvr 17532   DivRingcdr 17608   LModclmod 17724   LSpanclspn 17829   LVecclvec 17960

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-tpos 6912  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-er 7268  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-nn 10497  df-2 10555  df-3 10556  df-ndx 14736  df-slot 14737  df-base 14738  df-sets 14739  df-ress 14740  df-plusg 14814  df-mulr 14815  df-0g 14948  df-mgm 16088  df-sgrp 16127  df-mnd 16137  df-grp 16273  df-minusg 16274  df-sbg 16275  df-mgp 17354  df-ur 17366  df-ring 17412  df-oppr 17484  df-dvdsr 17502  df-unit 17503  df-invr 17533  df-drng 17610  df-lmod 17726  df-lss 17791  df-lsp 17830  df-lvec 17961

This theorem is referenced by:  lspsneleq  17973  lspsneq  17980  lspfixed  17986  islbs2  18012  mapdpglem22  34694  hdmap14lem1a  34870