Theorem lspsnvs 18337

Description: A non-zero scalar product does not change the span of a singleton. (spansncol 27221 analog.) (Contributed by NM, 23-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnvs.v	|- V = ( Base ` W )
lspsnvs.f	|- F = (Scalar ` W )
lspsnvs.t	|- .x. = ( .s ` W )
lspsnvs.k	|- K = ( Base ` F )
lspsnvs.o	|- .0. = ( 0g ` F )
lspsnvs.n	|- N = ( LSpan ` W )

Assertion

Ref	Expression
lspsnvs	|- ( ( W e. LVec /\ ( R e. K /\ R =/= .0. ) /\ X e. V ) -> ( N ` { ( R .x. X ) } ) = ( N ` { X } ) )

Proof of Theorem lspsnvs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lveclmod 18329	. . . 4 |- ( W e. LVec -> W e. LMod )
2	1	3ad2ant1 1029	. . 3 |- ( ( W e. LVec /\ ( R e. K /\ R =/= .0. ) /\ X e. V ) -> W e. LMod )
3		simp2l 1034	. . 3 |- ( ( W e. LVec /\ ( R e. K /\ R =/= .0. ) /\ X e. V ) -> R e. K )
4		simp3 1010	. . 3 |- ( ( W e. LVec /\ ( R e. K /\ R =/= .0. ) /\ X e. V ) -> X e. V )
5		lspsnvs.f	. . . 4 |- F = (Scalar ` W )
6		lspsnvs.k	. . . 4 |- K = ( Base ` F )
7		lspsnvs.v	. . . 4 |- V = ( Base ` W )
8		lspsnvs.t	. . . 4 |- .x. = ( .s ` W )
9		lspsnvs.n	. . . 4 |- N = ( LSpan ` W )
10	5, 6, 7, 8, 9	lspsnvsi 18227	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ R e. K /\ X e. V ) -> ( N ` { ( R .x. X ) } ) C_ ( N ` { X } ) )
11	2, 3, 4, 10	syl3anc 1268	. 2 |- ( ( W e. LVec /\ ( R e. K /\ R =/= .0. ) /\ X e. V ) -> ( N ` { ( R .x. X ) } ) C_ ( N ` { X } ) )
12	5	lvecdrng 18328	. . . . . . . . 9 |- ( W e. LVec -> F e. DivRing )
13	12	3ad2ant1 1029	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LVec /\ ( R e. K /\ R =/= .0. ) /\ X e. V ) -> F e. DivRing )
14		simp2r 1035	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LVec /\ ( R e. K /\ R =/= .0. ) /\ X e. V ) -> R =/= .0. )
15		lspsnvs.o	. . . . . . . . 9 |- .0. = ( 0g ` F )
16		eqid 2451	. . . . . . . . 9 |- ( .r ` F ) = ( .r ` F )
17		eqid 2451	. . . . . . . . 9 |- ( 1r ` F ) = ( 1r ` F )
18		eqid 2451	. . . . . . . . 9 |- ( invr ` F ) = ( invr ` F )
19	6, 15, 16, 17, 18	drnginvrl 17994	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. DivRing /\ R e. K /\ R =/= .0. ) -> ( ( ( invr ` F ) ` R ) ( .r ` F ) R ) = ( 1r ` F ) )
20	13, 3, 14, 19	syl3anc 1268	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LVec /\ ( R e. K /\ R =/= .0. ) /\ X e. V ) -> ( ( ( invr ` F ) ` R ) ( .r ` F ) R ) = ( 1r ` F ) )
21	20	oveq1d 6305	. . . . . 6 |- ( ( W e. LVec /\ ( R e. K /\ R =/= .0. ) /\ X e. V ) -> ( ( ( ( invr ` F ) ` R ) ( .r ` F ) R ) .x. X ) = ( ( 1r ` F ) .x. X ) )
22	6, 15, 18	drnginvrcl 17992	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. DivRing /\ R e. K /\ R =/= .0. ) -> ( ( invr ` F ) ` R ) e. K )
23	13, 3, 14, 22	syl3anc 1268	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LVec /\ ( R e. K /\ R =/= .0. ) /\ X e. V ) -> ( ( invr ` F ) ` R ) e. K )
24	7, 5, 8, 6, 16	lmodvsass 18116	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( ( invr ` F ) ` R ) e. K /\ R e. K /\ X e. V ) ) -> ( ( ( ( invr ` F ) ` R ) ( .r ` F ) R ) .x. X ) = ( ( ( invr ` F ) ` R ) .x. ( R .x. X ) ) )
25	2, 23, 3, 4, 24	syl13anc 1270	. . . . . 6 |- ( ( W e. LVec /\ ( R e. K /\ R =/= .0. ) /\ X e. V ) -> ( ( ( ( invr ` F ) ` R ) ( .r ` F ) R ) .x. X ) = ( ( ( invr ` F ) ` R ) .x. ( R .x. X ) ) )
26	7, 5, 8, 17	lmodvs1 18119	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( ( 1r ` F ) .x. X ) = X )
27	2, 4, 26	syl2anc 667	. . . . . 6 |- ( ( W e. LVec /\ ( R e. K /\ R =/= .0. ) /\ X e. V ) -> ( ( 1r ` F ) .x. X ) = X )
28	21, 25, 27	3eqtr3d 2493	. . . . 5 |- ( ( W e. LVec /\ ( R e. K /\ R =/= .0. ) /\ X e. V ) -> ( ( ( invr ` F ) ` R ) .x. ( R .x. X ) ) = X )
29	28	sneqd 3980	. . . 4 |- ( ( W e. LVec /\ ( R e. K /\ R =/= .0. ) /\ X e. V ) -> { ( ( ( invr ` F ) ` R ) .x. ( R .x. X ) ) } = { X } )
30	29	fveq2d 5869	. . 3 |- ( ( W e. LVec /\ ( R e. K /\ R =/= .0. ) /\ X e. V ) -> ( N ` { ( ( ( invr ` F ) ` R ) .x. ( R .x. X ) ) } ) = ( N ` { X } ) )
31	7, 5, 8, 6	lmodvscl 18108	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ R e. K /\ X e. V ) -> ( R .x. X ) e. V )
32	2, 3, 4, 31	syl3anc 1268	. . . 4 |- ( ( W e. LVec /\ ( R e. K /\ R =/= .0. ) /\ X e. V ) -> ( R .x. X ) e. V )
33	5, 6, 7, 8, 9	lspsnvsi 18227	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( invr ` F ) ` R ) e. K /\ ( R .x. X ) e. V ) -> ( N ` { ( ( ( invr ` F ) ` R ) .x. ( R .x. X ) ) } ) C_ ( N ` { ( R .x. X ) } ) )
34	2, 23, 32, 33	syl3anc 1268	. . 3 |- ( ( W e. LVec /\ ( R e. K /\ R =/= .0. ) /\ X e. V ) -> ( N ` { ( ( ( invr ` F ) ` R ) .x. ( R .x. X ) ) } ) C_ ( N ` { ( R .x. X ) } ) )
35	30, 34	eqsstr3d 3467	. 2 |- ( ( W e. LVec /\ ( R e. K /\ R =/= .0. ) /\ X e. V ) -> ( N ` { X } ) C_ ( N ` { ( R .x. X ) } ) )
36	11, 35	eqssd 3449	1 |- ( ( W e. LVec /\ ( R e. K /\ R =/= .0. ) /\ X e. V ) -> ( N ` { ( R .x. X ) } ) = ( N ` { X } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   =/= wne 2622   C_ wss 3404   {csn 3968   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Basecbs 15121   .rcmulr 15191  Scalarcsca 15193   .scvsca 15194   0gc0g 15338   1rcur 17735   invrcinvr 17899   DivRingcdr 17975   LModclmod 18091   LSpanclspn 18194   LVecclvec 18325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-tpos 6973  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-0g 15340  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-sbg 16675  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-oppr 17851  df-dvdsr 17869  df-unit 17870  df-invr 17900  df-drng 17977  df-lmod 18093  df-lss 18156  df-lsp 18195  df-lvec 18326

This theorem is referenced by:  lspsneleq  18338  lspsneq  18345  lspfixed  18351  islbs2  18377  mapdpglem22  35261  hdmap14lem1a  35437