MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsntrim Structured version   Unicode version

Theorem lspsntrim 18064
Description: Triangle-type inequality for span of a singleton of vector difference. (Contributed by NM, 25-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsntrim.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspsntrim.s  |-  .-  =  ( -g `  W )
lspsntrim.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lspsntrim.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
Assertion
Ref Expression
lspsntrim  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { ( X  .-  Y ) } )  C_  ( ( N `  { X } )  .(+)  ( N `
 { Y }
) ) )

Proof of Theorem lspsntrim
StepHypRef Expression
1 lspsntrim.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( invg `  W )  =  ( invg `  W )
31, 2lmodvnegcl 17871 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  (
( invg `  W ) `  Y
)  e.  V )
433adant2 1016 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( invg `  W ) `  Y
)  e.  V )
5 eqid 2402 . . . 4  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
6 lspsntrim.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  W )
7 lspsntrim.p . . . 4  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
81, 5, 6, 7lspsntri 18063 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  (
( invg `  W ) `  Y
)  e.  V )  ->  ( N `  { ( X ( +g  `  W ) ( ( invg `  W ) `  Y
) ) } ) 
C_  ( ( N `
 { X }
)  .(+)  ( N `  { ( ( invg `  W ) `
 Y ) } ) ) )
94, 8syld3an3 1275 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { ( X ( +g  `  W
) ( ( invg `  W ) `
 Y ) ) } )  C_  (
( N `  { X } )  .(+)  ( N `
 { ( ( invg `  W
) `  Y ) } ) ) )
10 lspsntrim.s . . . . . 6  |-  .-  =  ( -g `  W )
111, 5, 2, 10grpsubval 16417 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .-  Y
)  =  ( X ( +g  `  W
) ( ( invg `  W ) `
 Y ) ) )
1211sneqd 3984 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  { ( X  .-  Y ) }  =  { ( X ( +g  `  W ) ( ( invg `  W ) `  Y
) ) } )
1312fveq2d 5853 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  {
( X  .-  Y
) } )  =  ( N `  {
( X ( +g  `  W ) ( ( invg `  W
) `  Y )
) } ) )
14133adant1 1015 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { ( X  .-  Y ) } )  =  ( N `
 { ( X ( +g  `  W
) ( ( invg `  W ) `
 Y ) ) } ) )
151, 2, 6lspsnneg 17972 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { (
( invg `  W ) `  Y
) } )  =  ( N `  { Y } ) )
16153adant2 1016 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { (
( invg `  W ) `  Y
) } )  =  ( N `  { Y } ) )
1716eqcomd 2410 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { Y } )  =  ( N `  { ( ( invg `  W ) `  Y
) } ) )
1817oveq2d 6294 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( N `  { X } )  .(+)  ( N `
 { Y }
) )  =  ( ( N `  { X } )  .(+)  ( N `
 { ( ( invg `  W
) `  Y ) } ) ) )
199, 14, 183sstr4d 3485 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { ( X  .-  Y ) } )  C_  ( ( N `  { X } )  .(+)  ( N `
 { Y }
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    C_ wss 3414   {csn 3972   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   Basecbs 14841   +g cplusg 14909   invgcminusg 16378   -gcsg 16379   LSSumclsm 16978   LModclmod 17832   LSpanclspn 17937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-0g 15056  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-submnd 16291  df-grp 16381  df-minusg 16382  df-sbg 16383  df-subg 16522  df-cntz 16679  df-lsm 16980  df-cmn 17124  df-abl 17125  df-mgp 17462  df-ur 17474  df-ring 17520  df-lmod 17834  df-lss 17899  df-lsp 17938
This theorem is referenced by:  mapdpglem1  34692  baerlem3lem2  34730  baerlem5alem2  34731  baerlem5blem2  34732
  Copyright terms: Public domain W3C validator