MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsntrim Structured version   Unicode version

Theorem lspsntrim 17194
Description: Triangle-type inequality for span of a singleton of vector difference. (Contributed by NM, 25-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsntrim.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspsntrim.s  |-  .-  =  ( -g `  W )
lspsntrim.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lspsntrim.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
Assertion
Ref Expression
lspsntrim  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { ( X  .-  Y ) } )  C_  ( ( N `  { X } )  .(+)  ( N `
 { Y }
) ) )

Proof of Theorem lspsntrim
StepHypRef Expression
1 lspsntrim.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( invg `  W )  =  ( invg `  W )
31, 2lmodvnegcl 17001 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  (
( invg `  W ) `  Y
)  e.  V )
433adant2 1007 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( invg `  W ) `  Y
)  e.  V )
5 eqid 2443 . . . 4  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
6 lspsntrim.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  W )
7 lspsntrim.p . . . 4  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
81, 5, 6, 7lspsntri 17193 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  (
( invg `  W ) `  Y
)  e.  V )  ->  ( N `  { ( X ( +g  `  W ) ( ( invg `  W ) `  Y
) ) } ) 
C_  ( ( N `
 { X }
)  .(+)  ( N `  { ( ( invg `  W ) `
 Y ) } ) ) )
94, 8syld3an3 1263 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { ( X ( +g  `  W
) ( ( invg `  W ) `
 Y ) ) } )  C_  (
( N `  { X } )  .(+)  ( N `
 { ( ( invg `  W
) `  Y ) } ) ) )
10 lspsntrim.s . . . . . 6  |-  .-  =  ( -g `  W )
111, 5, 2, 10grpsubval 15596 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .-  Y
)  =  ( X ( +g  `  W
) ( ( invg `  W ) `
 Y ) ) )
1211sneqd 3904 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  { ( X  .-  Y ) }  =  { ( X ( +g  `  W ) ( ( invg `  W ) `  Y
) ) } )
1312fveq2d 5710 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  {
( X  .-  Y
) } )  =  ( N `  {
( X ( +g  `  W ) ( ( invg `  W
) `  Y )
) } ) )
14133adant1 1006 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { ( X  .-  Y ) } )  =  ( N `
 { ( X ( +g  `  W
) ( ( invg `  W ) `
 Y ) ) } ) )
151, 2, 6lspsnneg 17102 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { (
( invg `  W ) `  Y
) } )  =  ( N `  { Y } ) )
16153adant2 1007 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { (
( invg `  W ) `  Y
) } )  =  ( N `  { Y } ) )
1716eqcomd 2448 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { Y } )  =  ( N `  { ( ( invg `  W ) `  Y
) } ) )
1817oveq2d 6122 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( N `  { X } )  .(+)  ( N `
 { Y }
) )  =  ( ( N `  { X } )  .(+)  ( N `
 { ( ( invg `  W
) `  Y ) } ) ) )
199, 14, 183sstr4d 3414 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { ( X  .-  Y ) } )  C_  ( ( N `  { X } )  .(+)  ( N `
 { Y }
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    C_ wss 3343   {csn 3892   ` cfv 5433  (class class class)co 6106   Basecbs 14189   +g cplusg 14253   invgcminusg 15426   -gcsg 15428   LSSumclsm 16148   LModclmod 16963   LSpanclspn 17067
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4418  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387  ax-cnex 9353  ax-resscn 9354  ax-1cn 9355  ax-icn 9356  ax-addcl 9357  ax-addrcl 9358  ax-mulcl 9359  ax-mulrcl 9360  ax-mulcom 9361  ax-addass 9362  ax-mulass 9363  ax-distr 9364  ax-i2m1 9365  ax-1ne0 9366  ax-1rid 9367  ax-rnegex 9368  ax-rrecex 9369  ax-cnre 9370  ax-pre-lttri 9371  ax-pre-lttrn 9372  ax-pre-ltadd 9373  ax-pre-mulgt0 9374
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rmo 2738  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-pss 3359  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-tp 3897  df-op 3899  df-uni 4107  df-int 4144  df-iun 4188  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-tr 4401  df-eprel 4647  df-id 4651  df-po 4656  df-so 4657  df-fr 4694  df-we 4696  df-ord 4737  df-on 4738  df-lim 4739  df-suc 4740  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-riota 6067  df-ov 6109  df-oprab 6110  df-mpt2 6111  df-om 6492  df-1st 6592  df-2nd 6593  df-recs 6847  df-rdg 6881  df-er 7116  df-en 7326  df-dom 7327  df-sdom 7328  df-pnf 9435  df-mnf 9436  df-xr 9437  df-ltxr 9438  df-le 9439  df-sub 9612  df-neg 9613  df-nn 10338  df-2 10395  df-ndx 14192  df-slot 14193  df-base 14194  df-sets 14195  df-ress 14196  df-plusg 14266  df-0g 14395  df-mnd 15430  df-submnd 15480  df-grp 15560  df-minusg 15561  df-sbg 15562  df-subg 15693  df-cntz 15850  df-lsm 16150  df-cmn 16294  df-abl 16295  df-mgp 16607  df-ur 16619  df-rng 16662  df-lmod 16965  df-lss 17029  df-lsp 17068
This theorem is referenced by:  mapdpglem1  35336  baerlem3lem2  35374  baerlem5alem2  35375  baerlem5blem2  35376
  Copyright terms: Public domain W3C validator