MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsntri Structured version   Unicode version

Theorem lspsntri 18061
Description: Triangle-type inequality for span of a singleton. (Contributed by NM, 24-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsntri.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspsntri.a  |-  .+  =  ( +g  `  W )
lspsntri.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspsntri.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
Assertion
Ref Expression
lspsntri  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { ( X  .+  Y ) } )  C_  ( ( N `  { X } )  .(+)  ( N `
 { Y }
) ) )

Proof of Theorem lspsntri
StepHypRef Expression
1 lspsntri.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 lspsntri.a . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  W )
3 lspsntri.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  W )
41, 2, 3lspvadd 18060 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { ( X  .+  Y ) } )  C_  ( N `  { X ,  Y } ) )
5 df-pr 3974 . . . 4  |-  { X ,  Y }  =  ( { X }  u.  { Y } )
65fveq2i 5851 . . 3  |-  ( N `
 { X ,  Y } )  =  ( N `  ( { X }  u.  { Y } ) )
74, 6syl6sseq 3487 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { ( X  .+  Y ) } )  C_  ( N `  ( { X }  u.  { Y } ) ) )
8 simp1 997 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  W  e.  LMod )
9 simp2 998 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  X  e.  V )
109snssd 4116 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  { X }  C_  V )
11 simp3 999 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  Y  e.  V )
1211snssd 4116 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  { Y }  C_  V )
13 lspsntri.p . . . 4  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
141, 3, 13lsmsp2 18051 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  { X }  C_  V  /\  { Y }  C_  V
)  ->  ( ( N `  { X } )  .(+)  ( N `
 { Y }
) )  =  ( N `  ( { X }  u.  { Y } ) ) )
158, 10, 12, 14syl3anc 1230 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( N `  { X } )  .(+)  ( N `
 { Y }
) )  =  ( N `  ( { X }  u.  { Y } ) ) )
167, 15sseqtr4d 3478 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { ( X  .+  Y ) } )  C_  ( ( N `  { X } )  .(+)  ( N `
 { Y }
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    u. cun 3411    C_ wss 3413   {csn 3971   {cpr 3973   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   Basecbs 14839   +g cplusg 14907   LSSumclsm 16976   LModclmod 17830   LSpanclspn 17935
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-0g 15054  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-submnd 16289  df-grp 16379  df-minusg 16380  df-sbg 16381  df-subg 16520  df-cntz 16677  df-lsm 16978  df-cmn 17122  df-abl 17123  df-mgp 17460  df-ur 17472  df-ring 17518  df-lmod 17832  df-lss 17897  df-lsp 17936
This theorem is referenced by:  lspsntrim  18062  cdlemn4a  34199  lcfrlem23  34565  baerlem5blem2  34712
  Copyright terms: Public domain W3C validator