MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsnsub Structured version   Unicode version

Theorem lspsnsub 17196
Description: Swapping subtraction order does not change the span of a singleton. (Contributed by NM, 4-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsnsub.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspsnsub.s  |-  .-  =  ( -g `  W )
lspsnsub.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspsnsub.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lspsnsub.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lspsnsub.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
Assertion
Ref Expression
lspsnsub  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .-  Y
) } )  =  ( N `  {
( Y  .-  X
) } ) )

Proof of Theorem lspsnsub
StepHypRef Expression
1 lspsnsub.w . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
2 lspsnsub.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
3 lspsnsub.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
4 lspsnsub.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
5 lspsnsub.s . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  W )
64, 5lmodvsubcl 17098 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .-  Y )  e.  V )
71, 2, 3, 6syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  .-  Y
)  e.  V )
8 eqid 2451 . . . 4  |-  ( invg `  W )  =  ( invg `  W )
9 lspsnsub.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  W )
104, 8, 9lspsnneg 17195 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( X  .-  Y )  e.  V )  ->  ( N `  { (
( invg `  W ) `  ( X  .-  Y ) ) } )  =  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )
111, 7, 10syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( ( invg `  W ) `  ( X  .-  Y ) ) } )  =  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )
12 lmodgrp 17063 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
131, 12syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  Grp )
144, 5, 8grpinvsub 15712 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( ( invg `  W ) `  ( X  .-  Y ) )  =  ( Y  .-  X ) )
1513, 2, 3, 14syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( invg `  W ) `  ( X  .-  Y ) )  =  ( Y  .-  X ) )
1615sneqd 3989 . . 3  |-  ( ph  ->  { ( ( invg `  W ) `
 ( X  .-  Y ) ) }  =  { ( Y 
.-  X ) } )
1716fveq2d 5795 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( ( invg `  W ) `  ( X  .-  Y ) ) } )  =  ( N `  { ( Y  .-  X ) } ) )
1811, 17eqtr3d 2494 1  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .-  Y
) } )  =  ( N `  {
( Y  .-  X
) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   {csn 3977   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   Basecbs 14278   Grpcgrp 15514   invgcminusg 15515   -gcsg 15517   LModclmod 17056   LSpanclspn 17160
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-er 7203  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-nn 10426  df-2 10483  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-sets 14284  df-plusg 14355  df-0g 14484  df-mnd 15519  df-grp 15649  df-minusg 15650  df-sbg 15651  df-mgp 16699  df-ur 16711  df-rng 16755  df-lmod 17058  df-lss 17122  df-lsp 17161
This theorem is referenced by:  baerlem3lem2  35663  baerlem5blem2  35665  mapdheq2  35682  hdmap1neglem1N  35781
  Copyright terms: Public domain W3C validator