MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsnneg Structured version   Unicode version

Theorem lspsnneg 17065
Description: Negation does not change the span of a singleton. (Contributed by NM, 24-Apr-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsnneg.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspsnneg.m  |-  M  =  ( invg `  W )
lspsnneg.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
Assertion
Ref Expression
lspsnneg  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { ( M `  X ) } )  =  ( N `  { X } ) )

Proof of Theorem lspsnneg
StepHypRef Expression
1 lspsnneg.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 lspsnneg.m . . . . . 6  |-  M  =  ( invg `  W )
3 eqid 2441 . . . . . 6  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
4 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
5 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)
6 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( invg `  (Scalar `  W ) )  =  ( invg `  (Scalar `  W ) )
71, 2, 3, 4, 5, 6lmodvneg1 16968 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  (
( ( invg `  (Scalar `  W )
) `  ( 1r `  (Scalar `  W )
) ) ( .s
`  W ) X )  =  ( M `
 X ) )
87sneqd 3886 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  { ( ( ( invg `  (Scalar `  W )
) `  ( 1r `  (Scalar `  W )
) ) ( .s
`  W ) X ) }  =  {
( M `  X
) } )
98fveq2d 5692 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { (
( ( invg `  (Scalar `  W )
) `  ( 1r `  (Scalar `  W )
) ) ( .s
`  W ) X ) } )  =  ( N `  {
( M `  X
) } ) )
10 simpl 454 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  W  e.  LMod )
113lmodfgrp 16937 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  (Scalar `  W )  e.  Grp )
12 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
133, 12, 5lmod1cl 16955 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) )
1412, 6grpinvcl 15576 . . . . . 6  |-  ( ( (Scalar `  W )  e.  Grp  /\  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) )  ->  (
( invg `  (Scalar `  W ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  W ) ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) )
1511, 13, 14syl2anc 656 . . . . 5  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( ( invg `  (Scalar `  W ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  W ) ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )
1615adantr 462 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  (
( invg `  (Scalar `  W ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  W ) ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) )
17 simpr 458 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  X  e.  V )
18 lspsnneg.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  W )
193, 12, 1, 4, 18lspsnvsi 17063 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( invg `  (Scalar `  W ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  W ) ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
)  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { (
( ( invg `  (Scalar `  W )
) `  ( 1r `  (Scalar `  W )
) ) ( .s
`  W ) X ) } )  C_  ( N `  { X } ) )
2010, 16, 17, 19syl3anc 1213 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { (
( ( invg `  (Scalar `  W )
) `  ( 1r `  (Scalar `  W )
) ) ( .s
`  W ) X ) } )  C_  ( N `  { X } ) )
219, 20eqsstr3d 3388 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { ( M `  X ) } )  C_  ( N `  { X } ) )
221, 2lmodvnegcl 16966 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( M `  X )  e.  V )
231, 2, 3, 4, 5, 6lmodvneg1 16968 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( M `  X )  e.  V )  ->  (
( ( invg `  (Scalar `  W )
) `  ( 1r `  (Scalar `  W )
) ) ( .s
`  W ) ( M `  X ) )  =  ( M `
 ( M `  X ) ) )
2422, 23syldan 467 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  (
( ( invg `  (Scalar `  W )
) `  ( 1r `  (Scalar `  W )
) ) ( .s
`  W ) ( M `  X ) )  =  ( M `
 ( M `  X ) ) )
25 lmodgrp 16935 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
261, 2grpinvinv 15586 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  X  e.  V )  ->  ( M `  ( M `  X )
)  =  X )
2725, 26sylan 468 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( M `  ( M `  X ) )  =  X )
2824, 27eqtrd 2473 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  (
( ( invg `  (Scalar `  W )
) `  ( 1r `  (Scalar `  W )
) ) ( .s
`  W ) ( M `  X ) )  =  X )
2928sneqd 3886 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  { ( ( ( invg `  (Scalar `  W )
) `  ( 1r `  (Scalar `  W )
) ) ( .s
`  W ) ( M `  X ) ) }  =  { X } )
3029fveq2d 5692 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { (
( ( invg `  (Scalar `  W )
) `  ( 1r `  (Scalar `  W )
) ) ( .s
`  W ) ( M `  X ) ) } )  =  ( N `  { X } ) )
313, 12, 1, 4, 18lspsnvsi 17063 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( invg `  (Scalar `  W ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  W ) ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
)  /\  ( M `  X )  e.  V
)  ->  ( N `  { ( ( ( invg `  (Scalar `  W ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) ( M `  X ) ) } )  C_  ( N `  { ( M `  X ) } ) )
3210, 16, 22, 31syl3anc 1213 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { (
( ( invg `  (Scalar `  W )
) `  ( 1r `  (Scalar `  W )
) ) ( .s
`  W ) ( M `  X ) ) } )  C_  ( N `  { ( M `  X ) } ) )
3330, 32eqsstr3d 3388 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  C_  ( N `  { ( M `  X ) } ) )
3421, 33eqssd 3370 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { ( M `  X ) } )  =  ( N `  { X } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761    C_ wss 3325   {csn 3874   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Basecbs 14170  Scalarcsca 14237   .scvsca 14238   Grpcgrp 15406   invgcminusg 15407   1rcur 16593   LModclmod 16928   LSpanclspn 17030
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-plusg 14247  df-0g 14376  df-mnd 15411  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-sbg 15540  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-lmod 16930  df-lss 16992  df-lsp 17031
This theorem is referenced by:  lspsnsub  17066  lmodindp1  17073  lspsntrim  17157  baerlem5amN  35083  baerlem5bmN  35084  baerlem5abmN  35085  hdmap1neglem1N  35195
  Copyright terms: Public domain W3C validator