Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsnneg Structured version   Unicode version

Theorem lspsnneg 17523
 Description: Negation does not change the span of a singleton. (Contributed by NM, 24-Apr-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsnneg.v
lspsnneg.m
lspsnneg.n
Assertion
Ref Expression
lspsnneg

Proof of Theorem lspsnneg
StepHypRef Expression
1 lspsnneg.v . . . . . 6
2 lspsnneg.m . . . . . 6
3 eqid 2467 . . . . . 6 Scalar Scalar
4 eqid 2467 . . . . . 6
5 eqid 2467 . . . . . 6 Scalar Scalar
6 eqid 2467 . . . . . 6 Scalar Scalar
71, 2, 3, 4, 5, 6lmodvneg1 17424 . . . . 5 ScalarScalar
87sneqd 4045 . . . 4 ScalarScalar
98fveq2d 5876 . . 3 ScalarScalar
10 simpl 457 . . . 4
113lmodfgrp 17392 . . . . . 6 Scalar
12 eqid 2467 . . . . . . 7 Scalar Scalar
133, 12, 5lmod1cl 17410 . . . . . 6 Scalar Scalar
1412, 6grpinvcl 15967 . . . . . 6 Scalar Scalar Scalar ScalarScalar Scalar
1511, 13, 14syl2anc 661 . . . . 5 ScalarScalar Scalar
1615adantr 465 . . . 4 ScalarScalar Scalar
17 simpr 461 . . . 4
18 lspsnneg.n . . . . 5
193, 12, 1, 4, 18lspsnvsi 17521 . . . 4 ScalarScalar Scalar ScalarScalar
2010, 16, 17, 19syl3anc 1228 . . 3 ScalarScalar
219, 20eqsstr3d 3544 . 2
221, 2lmodvnegcl 17422 . . . . . . 7
231, 2, 3, 4, 5, 6lmodvneg1 17424 . . . . . . 7 ScalarScalar
2422, 23syldan 470 . . . . . 6 ScalarScalar
25 lmodgrp 17390 . . . . . . 7
261, 2grpinvinv 15977 . . . . . . 7
2725, 26sylan 471 . . . . . 6
2824, 27eqtrd 2508 . . . . 5 ScalarScalar
2928sneqd 4045 . . . 4 ScalarScalar
3029fveq2d 5876 . . 3 ScalarScalar
313, 12, 1, 4, 18lspsnvsi 17521 . . . 4 ScalarScalar Scalar ScalarScalar
3210, 16, 22, 31syl3anc 1228 . . 3 ScalarScalar
3330, 32eqsstr3d 3544 . 2
3421, 33eqssd 3526 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1379   wcel 1767   wss 3481  csn 4033  cfv 5594  (class class class)co 6295  cbs 14507  Scalarcsca 14575  cvsca 14576  cgrp 15925  cminusg 15926  cur 17025  clmod 17383  clspn 17488 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-plusg 14585  df-0g 14714  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-lmod 17385  df-lss 17450  df-lsp 17489 This theorem is referenced by:  lspsnsub  17524  lmodindp1  17531  lspsntrim  17615  baerlem5amN  36914  baerlem5bmN  36915  baerlem5abmN  36916  hdmap1neglem1N  37026
 Copyright terms: Public domain W3C validator