MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsnne2 Structured version   Unicode version

Theorem lspsnne2 17890
Description: Two ways to express that vectors have different spans. (Contributed by NM, 20-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsnne2.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspsnne2.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspsnne2.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lspsnne2.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lspsnne2.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
lspsnne2.e  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y } ) )
Assertion
Ref Expression
lspsnne2  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )

Proof of Theorem lspsnne2
StepHypRef Expression
1 lspsnne2.e . 2  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y } ) )
2 eqimss 3551 . . . 4  |-  ( ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } )  ->  ( N `  { X } )  C_  ( N `  { Y } ) )
3 lspsnne2.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
4 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
5 lspsnne2.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  W )
6 lspsnne2.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
7 lspsnne2.y . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
83, 4, 5lspsncl 17749 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
96, 7, 8syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
10 lspsnne2.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
113, 4, 5, 6, 9, 10lspsnel5 17767 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( N `  { Y } )  <->  ( N `  { X } ) 
C_  ( N `  { Y } ) ) )
122, 11syl5ibr 221 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } )  ->  X  e.  ( N `  { Y } ) ) )
1312necon3bd 2669 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  X  e.  ( N `  { Y } )  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) ) )
141, 13mpd 15 1  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652    C_ wss 3471   {csn 4032   ` cfv 5594   Basecbs 14643   LModclmod 17638   LSubSpclss 17704   LSpanclspn 17743
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-plusg 14724  df-0g 14858  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-grp 16183  df-minusg 16184  df-sbg 16185  df-mgp 17268  df-ur 17280  df-ring 17326  df-lmod 17640  df-lss 17705  df-lsp 17744
This theorem is referenced by:  lspsnnecom  17891  lspexchn1  17902  hdmaplem1  37599  hdmaplem2N  37600  mapdh9a  37618  hdmap1eulem  37652  hdmap11lem1  37672  hdmap11lem2  37673  hdmaprnlem1N  37680  hdmaprnlem3N  37681
  Copyright terms: Public domain W3C validator