MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsnne1 Structured version   Unicode version

Theorem lspsnne1 17961
Description: Two ways to express that vectors have different spans. (Contributed by NM, 28-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsnne1.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspsnne1.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lspsnne1.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspsnne1.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lspsnne1.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
lspsnne1.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
lspsnne1.e  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
Assertion
Ref Expression
lspsnne1  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y } ) )

Proof of Theorem lspsnne1
StepHypRef Expression
1 lspsnne1.e . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
2 lspsnne1.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
4 lspsnne1.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  W )
5 lspsnne1.w . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
6 lveclmod 17950 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
75, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
8 lspsnne1.y . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
92, 3, 4lspsncl 17821 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
107, 8, 9syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
11 lspsnne1.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
1211eldifad 3473 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
132, 3, 4, 7, 10, 12lspsnel5 17839 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( N `  { Y } )  <->  ( N `  { X } ) 
C_  ( N `  { Y } ) ) )
1413notbid 292 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -.  X  e.  ( N `  { Y } )  <->  -.  ( N `  { X } )  C_  ( N `  { Y } ) ) )
15 lspsnne1.o . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
162, 15, 4, 5, 11, 8lspsncmp 17960 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  C_  ( N `  { Y } )  <->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) ) )
1716necon3bbid 2701 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -.  ( N `
 { X }
)  C_  ( N `  { Y } )  <-> 
( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) ) )
1814, 17bitrd 253 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  X  e.  ( N `  { Y } )  <->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) ) )
191, 18mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649    \ cdif 3458    C_ wss 3461   {csn 4016   ` cfv 5570   Basecbs 14719   0gc0g 14932   LModclmod 17710   LSubSpclss 17776   LSpanclspn 17815   LVecclvec 17946
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-tpos 6947  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-mulr 14801  df-0g 14934  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-grp 16259  df-minusg 16260  df-sbg 16261  df-mgp 17340  df-ur 17352  df-ring 17398  df-oppr 17470  df-dvdsr 17488  df-unit 17489  df-invr 17519  df-drng 17596  df-lmod 17712  df-lss 17777  df-lsp 17816  df-lvec 17947
This theorem is referenced by:  lspsnnecom  17963  lsatfixedN  35150  baerlem5amN  37859  baerlem5bmN  37860  baerlem5abmN  37861  mapdh6dN  37882  hdmaplem4  37917  hdmap1l6d  37957  hdmaprnlem3N  37996
  Copyright terms: Public domain W3C validator