MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsnne1 Structured version   Unicode version

Theorem lspsnne1 17301
Description: Two ways to express that vectors have different spans. (Contributed by NM, 28-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsnne1.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspsnne1.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lspsnne1.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspsnne1.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lspsnne1.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
lspsnne1.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
lspsnne1.e  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
Assertion
Ref Expression
lspsnne1  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y } ) )

Proof of Theorem lspsnne1
StepHypRef Expression
1 lspsnne1.e . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
2 lspsnne1.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
4 lspsnne1.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  W )
5 lspsnne1.w . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
6 lveclmod 17290 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
75, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
8 lspsnne1.y . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
92, 3, 4lspsncl 17161 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
107, 8, 9syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
11 lspsnne1.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
1211eldifad 3435 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
132, 3, 4, 7, 10, 12lspsnel5 17179 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( N `  { Y } )  <->  ( N `  { X } ) 
C_  ( N `  { Y } ) ) )
1413notbid 294 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -.  X  e.  ( N `  { Y } )  <->  -.  ( N `  { X } )  C_  ( N `  { Y } ) ) )
15 lspsnne1.o . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
162, 15, 4, 5, 11, 8lspsncmp 17300 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  C_  ( N `  { Y } )  <->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) ) )
1716necon3bbid 2693 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -.  ( N `
 { X }
)  C_  ( N `  { Y } )  <-> 
( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) ) )
1814, 17bitrd 253 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  X  e.  ( N `  { Y } )  <->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) ) )
191, 18mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2642    \ cdif 3420    C_ wss 3423   {csn 3972   ` cfv 5513   Basecbs 14273   0gc0g 14477   LModclmod 17051   LSubSpclss 17116   LSpanclspn 17155   LVecclvec 17286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4498  ax-sep 4508  ax-nul 4516  ax-pow 4565  ax-pr 4626  ax-un 6469  ax-cnex 9436  ax-resscn 9437  ax-1cn 9438  ax-icn 9439  ax-addcl 9440  ax-addrcl 9441  ax-mulcl 9442  ax-mulrcl 9443  ax-mulcom 9444  ax-addass 9445  ax-mulass 9446  ax-distr 9447  ax-i2m1 9448  ax-1ne0 9449  ax-1rid 9450  ax-rnegex 9451  ax-rrecex 9452  ax-cnre 9453  ax-pre-lttri 9454  ax-pre-lttrn 9455  ax-pre-ltadd 9456  ax-pre-mulgt0 9457
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ne 2644  df-nel 2645  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3067  df-sbc 3282  df-csb 3384  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-pss 3439  df-nul 3733  df-if 3887  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4187  df-int 4224  df-iun 4268  df-br 4388  df-opab 4446  df-mpt 4447  df-tr 4481  df-eprel 4727  df-id 4731  df-po 4736  df-so 4737  df-fr 4774  df-we 4776  df-ord 4817  df-on 4818  df-lim 4819  df-suc 4820  df-xp 4941  df-rel 4942  df-cnv 4943  df-co 4944  df-dm 4945  df-rn 4946  df-res 4947  df-ima 4948  df-iota 5476  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-riota 6148  df-ov 6190  df-oprab 6191  df-mpt2 6192  df-om 6574  df-1st 6674  df-2nd 6675  df-tpos 6842  df-recs 6929  df-rdg 6963  df-er 7198  df-en 7408  df-dom 7409  df-sdom 7410  df-pnf 9518  df-mnf 9519  df-xr 9520  df-ltxr 9521  df-le 9522  df-sub 9695  df-neg 9696  df-nn 10421  df-2 10478  df-3 10479  df-ndx 14276  df-slot 14277  df-base 14278  df-sets 14279  df-ress 14280  df-plusg 14350  df-mulr 14351  df-0g 14479  df-mnd 15514  df-grp 15644  df-minusg 15645  df-sbg 15646  df-mgp 16694  df-ur 16706  df-rng 16750  df-oppr 16818  df-dvdsr 16836  df-unit 16837  df-invr 16867  df-drng 16937  df-lmod 17053  df-lss 17117  df-lsp 17156  df-lvec 17287
This theorem is referenced by:  lspsnnecom  17303  lsatfixedN  32957  baerlem5amN  35664  baerlem5bmN  35665  baerlem5abmN  35666  mapdh6dN  35687  hdmaplem4  35722  hdmap1l6d  35762  hdmaprnlem3N  35801
  Copyright terms: Public domain W3C validator